Giải Toán 12 trang 58 Tập 1 Kết nối tri thức

Với giải bài tập Toán 12 trang 58 Tập 1 trong Bài 6: Vectơ trong không gian sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12 trang 58 Tập 1.

1 740 09/06/2024


Giải Toán 12 trang 58 Tập 1

Bài 2.1 trang 58 Toán 12 Tập 1: Trong không gian, cho ba vectơ a,b,c phân biệt và đều khác 0. Những mệnh đề nào sau đây là đúng?

a) Nếu ab đều cùng hướng với c thì ab cùng hướng.

b) Nếu ab đều ngược hướng với c thì ab cùng hướng.

c) Nếu ab đều cùng hướng với c thì ab ngược hướng.

d) Nếu ab đều ngược hướng với c thì ab ngược hướng.

Lời giải:

Các câu đúng: Nếu ab đều cùng hướng với c thì ab cùng hướng.

Nếu ab đều ngược hướng với c thì ab cùng hướng.

Bài 2.2 trang 58 Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=2,AD=3AA=4. Tính độ dài của các vectơ BB,BDBD.

Lời giải:

Tài liệu VietJack

Vì B’BAA’ là hình chữ nhật nên BB=AA=DD=4|BB|=4

Vì tứ giác ABCD là hình chữ nhật nên tam giác BAD vuông tại A.

Do đó, BD=AB2+AD2=22+32=13 (định lí Pythagore), suy ra: |BD|=13

Vì BB’D’D là hình chữ nhật nên tam giác DD’B vuông tại D

Theo định lí Pythagore ta có: BD=BD2+DD2=13+42=29|BD|=29

Bài 2.3 trang 58 Toán 12 Tập 1: Một chiếc bàn cân đối hình chữ nhật được đặt trên mặt sàn nằm ngang, mặt bàn song song với mặt sàn và bốn chân bàn vuông góc với mặt sàn như Hình 2.29. Trọng lực tác dụng lên bàn (biểu thị bởi vectơ a) phân tán đều qua bốn chân bàn và gây nên các phản lực từ mặt sàn lên các chân bàn (biểu thị bởi các vectơ b,c,d,e).

Tài liệu VietJack

a) Hãy chỉ ra mối quan hệ về phương và hướng của các vectơ a,b,c,de.

b) Giải thích vì sao các vectơ b,c,d,e đôi một bằng nhau.

Lời giải:

a) Các vectơ a,b,c,de có cùng phương; các vectơ a,b,c,d cùng hướng với nhau và ngược hướng với vectơ e.

b) Vì trọng lực tác dụng lên bàn phân tán đều qua bốn chân bàn và gây nên các phản lực từ mặt sàn lên các chân bàn nên các vectơ b,c,d,e có độ lớn bằng nhau. Mà các vectơ a,b,c,d cùng hướng với nhau. Do đó, các vectơ b,c,d,e đôi một bằng nhau.

Bài 2.4 trang 58 Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng:
a) AB+DD+CD=CC;
b) AB+CDCC=0;
c) BCCC+DC=AC

Lời giải:

Tài liệu VietJack

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB=DC

Vì CDD’C’ là hình bình hành nên CD=CD,DD=CC

Ta có:AB+DD+CD=DC+CC+CD=(CD+DC)+CC=CC

b) Ta có: AB+CDCC=AB+CD=AB+CD=0

c) Vì ABCD là hình bình hành nên CB+CD=CA

Vì A’ACC’ là hình bình hành nên CA+CC=CA

BCCC+DC=(CB+CD)CC=CACC=(CA+CC)=CA=AC

Bài 2.5 trang 58 Toán 12 Tập 1: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AA=a,AB=bAC=c. Hãy biểu diễn các vectơ sau qua các vectơ a,b,c:
a) AB;
b) BC;
c) BC.

Lời giải:

Tài liệu VietJack

a) Vì A’ABB’ là hình bình hành nên AB=AA+AB=a+b

b) Vì A’ABB’ là hình bình hành nên AA=BB=a

Ta có: BC=BA+AC=b+c

Vì C’CBB’ là hình bình hành nên

+ BC=BC=b+c

+ BC=BC+BB=b+ca

c) Vì C’CBB’ là hình bình hành nên BC=BC+BB=b+c+a

Bài 2.6 trang 58 Toán 12 Tập 1: Cho hình chóp tứ giác S. ABCD. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành nếu và chỉ nếu SA+SC=SB+SD.

Lời giải:

Tài liệu VietJack

Chứng minh: Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì SA+SC=SB+SD

Gọi O là tâm hình bình hành ABCD. Khi đó, O là trung điểm của AC, BD.

Suy ra OC=OA,OD=OB

Ta có:SA+SC=SO+OA+SO+OC=2SO+(OAOA)=2SO

SB+SD=SO+OB+SO+OD=2SO+(OBOB)=2SO

Do đó, SA+SC=SB+SD

Chứng minh: Nếu SA+SC=SB+SD thì tứ giác ABCD là hình bình hành:

Ta có: SA+SC=SB+SDSASB=SDSCBA=CD

Suy ra, hai vectơ BACD cùng hướng và có độ lớn bằng nhau.

Suy ra, AB=CD, AB//CD. Khi đó, tứ giác ABCD là hình bình hành.

Vậy tứ giác ABCD là hình bình hành nếu và chỉ nếu SA+SC=SB+SD

Bài 2.7 trang 58 Toán 12 Tập 1: Cho hình chóp S.ABC. Trên cạnh SA, lấy điểm M sao cho SM=2AM. Trên cạnh BC, lấy điểm N sao cho CN=2BN. Chứng minh rằng MN=13(SA+BC)+AB.

Lời giải:

Ta có: MN=MA+AC+CN=13SA+AB+BC+23CB

=13SA+BC23BC+AB=13(SA+BC)+AB (đpcm)

Ta có: MN=MA+AC+CN=13SA+AB+BC+23CB

=13SA+BC23BC+AB=13(SA+BC)+AB (đpcm)

Tài liệu VietJack

Bài 2.8 trang 58 Toán 12 Tập 1: Trong Luyện tập 8, ta đã biết trọng tâm của tứ diện ABCD là một điểm I thỏa mãn AI=3IG, ở đó G là trọng tâm của tam giác BCD. Áp dụng tính chất trên để tính khoảng cách từ trọng tâm của một khối rubik (đồng chất) hình tứ diện đều đến một mặt của nó, biết rằng chiều cao của khối rubik là 8cm (H.2.30).

Tài liệu VietJack

Lời giải:

Tài liệu VietJack

Đặt tên khối rubik là tứ diện đều ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD, I là trọng tâm tứ diện ABCD. Do đó, AI=3IGIG=14AG

Vì chiều cao của rubik bằng 8cm nên AG=8cmIG=14.8=2(cm)

Vậy khoảng cách từ trọng tâm của một khối rubik (đồng chất) hình tứ diện đều đến một mặt của nó bằng 2cm.

Xem thêm các bài giải sách giáo khoa Toán 12 bộ sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Giải Toán 12 trang 46 Tập 1

Giải Toán 12 trang 47 Tập 1

Giải Toán 12 trang 48 Tập 1

Giải Toán 12 trang 49 Tập 1

Giải Toán 12 trang 50 Tập 1

Giải Toán 12 trang 51 Tập 1

Giải Toán 12 trang 52 Tập 1

Giải Toán 12 trang 53 Tập 1

Giải Toán 12 trang 54 Tập 1

Giải Toán 12 trang 55 Tập 1

Giải Toán 12 trang 56 Tập 1

Giải Toán 12 trang 57 Tập 1

Giải Toán 12 trang 58 Tập 1

Giải Toán 12 trang 59 Tập 1

1 740 09/06/2024


Xem thêm các chương trình khác: