Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng A'C.B'D'=0

Lời giải Luyện tập 11 trang 57 Toán 12 Tập 1 sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12.

1 466 09/06/2024

Trang trước

Trang sau

Giải Toán 12 Kết nối tri thức Bài 6: Vectơ trong không gian

Luyện tập 11 trang 57 Toán 12 Tập 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng $\vec{A^{'} C} . \vec{B^{'} D^{'}} = 0$ .

Lời giải:

Tài liệu VietJack

Giả sử cạnh của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ bằng 1. Khi đó, $A^{'} C^{'} = B^{'} D^{'} = \sqrt{2}$

Gọi E’ là giao điểm của hai đường chéo A’C’ và B’D’ của hình vuông A’B’C’D’. Khi đó, E’ là trung điểm của A’C’ và B’D’. Suy ra $\vec{B^{'} D^{'}} = 2 \vec{E^{'} D^{'}}$ và $E^{'} D^{'} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Gọi E là trung điểm của CC’. Mà E’ là trung điểm của A’C’ nên EE’ là đường trung bình của tam giác A’C’C. Do đó, $\vec{A^{'} C} = 2 \vec{E^{'} E}$ và $E^{'} E = \frac{1}{2} A^{'} C$

Áp dụng định lí Pythagore vào $Δ$ A’C’C vuông tại C’ có: $A^{'} C = \sqrt{A^{'} C^{' 2} + C^{'} C^{2}} = \sqrt{2 + 1} = \sqrt{3}$ $\Rightarrow E^{'} E = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Áp dụng định lí Pythagore vào $Δ$ D’C’E vuông tại C’ có:

$E D^{' 2} = C^{'} D^{' 2} + C^{'} E^{2} = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$

Vì $E^{'} D^{' 2} + E^{'} E^{2} = \frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{5}{4} = E D^{' 2}$ nên $Δ$ E’D’E vuông tại E’. Do đó, $\vec{E^{'} E} ⊥ \vec{E^{'} D^{'}}$

Ta có: $\vec{A^{'} C} . \vec{B^{'} D^{'}} = 2. \vec{E^{'} E} .2 . \vec{E^{'} D^{'}}$ $= 0$ (đpcm)

Xem thêm các bài giải sách giáo khoa Toán 12 bộ sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

HĐ1 trang 46 Toán 12 Tập 1: Trong Hình 2.2, lực căng dây (được tạo ra bởi sức nặng của kiện hàng) được thể hiện bởi các đoạn thẳng có mũi tên màu đỏ...

Câu hỏi trang 6 Toán 12 Tập 1: Hình 2.3 cho ta ví dụ về một số đại lượng có thể biểu diễn bởi vectơ trong không gian. Hãy tìm thêm một số ví dụ tương tự...

Luyện tập 1 trang 47 Toán 12 Tập 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ (H.2.6). Trong các vectơ $\vec{A C}, \vec{A D}, \vec{A D^{'}}$ : a) Hai vectơ nào có giá cùng nằm trong mặt phẳng (ABCD)?...

HĐ2 trang 47 Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ (H.2.7) a) So sánh độ dài hai vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{D^{'} C^{'}}$ ...

Câu hỏi trang 47 Toán 12 Tập 1: Nếu hai vectơ cùng bằng một vectơ thứ ba thì hai vectơ đó có bằng nhau không?

Luyện tập 2 trang 48 Toán 12 Tập 1: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.

a) Trong ba vectơ $\vec{S C}, \vec{A D}$ và $\vec{D C}$ , vectơ nào bằng vectơ $\vec{A B}$ ...

Vận dụng 1 trang 48 Toán 12 Tập 1: Một tòa nhà có chiều cao của các tầng là như nhau. Một chiếc thang máy di chuyển từ tầng 15 lên tầng 22 của tòa nhà...

HĐ3 trang 49 Toán 12 Tập 1: Trong không gian, cho hai vectơ và không cùng phương. Lấy điểm A và vẽ các vectơ . Lấy điểm A’ và vẽ các vectơ (H.2.10)...

Luyện tập 3 trang 50 Toán 12 Tập 1: Trong Ví dụ 3, hãy tính độ dài của vectơ $\vec{A C} + \vec{C^{'} D^{'}}$ . Ví dụ 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài mỗi cạnh bằng 1 (H.2.12)...

Luyện tập 4 trang 50 Toán 12 Tập 1: Cho tứ diện ABCD (H.2.13). Chứng minh rằng $\vec{A B} + \vec{C D} = \vec{A D} + \vec{C B}$ ...

HĐ4 trang 50 Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ (H.2.14). a) Hai vectơ $\vec{A B} + \vec{A D}$ và $\vec{A C}$ có bằng nhau hay không?...

Câu hỏi trang 50 Toán 12 Tập 1: Trong Hình 2.14, hãy phát biểu quy tắc hình hộp với các vectơ có điểm đầu là B...

Luyện tập 5 trang 50 Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp hình chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng $\vec{B B^{'}} + \vec{C D} + \vec{A D} = \vec{B D^{'}}$

HĐ5 trang 51 Toán 12 Tập 1: Hình 2.15 mô tả một lọ hoa được đặt trên bàn, trọng lượng của lọ hoa tạo nên một lực tác dụng lên mặt bàn và một phản lực từ mặt bàn lên lọ hoa...

Luyện tập 6 trang 52 Toán 12 Tập 1: Trong Ví dụ 6, chứng minh rằng: a) $\vec{B N}$ và $\vec{D M}$ là hai vectơ đối nhau; b) $\vec{S D} - \vec{B N} - \vec{C M} = \vec{S C}$ ...

Vận dụng 2 trang 52 Toán 12 Tập 1: Thang cuốn tại các trung tâm thương mại, siêu thị hay nhà ga, sân bay thường có hai làn, trong đó một làn lên và một làn xuống...

HĐ6 trang 52 Toán 12 Tập 1: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC (H.2.17)...

Câu hỏi trang 53 Toán 12 Tập 1: Hai vectơ $1 \vec{a}$ và $\vec{a}$ có bằng nhau không? Hai vectơ $(- 1) \vec{a}$ và $- \vec{a}$ có bằng nhau không?

Luyện tập 7 trang 53 Toán 12 Tập 1: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F lần lượt là các điểm thuộc các cạnh SA, SB sao cho $S E = \frac{1}{3} S A, S F = \frac{1}{3} S B$ ...

Luyện tập 8 trang 54 Toán 12 Tập 1: Trong Ví dụ 8, gọi I là điểm thuộc đoạn thẳng AG sao cho $\vec{A I} = 3 \vec{I G}$ (H.2.19). Chứng minh rằng $\vec{I A} + \vec{I B} + \vec{I C} + \vec{I D} = \vec{0}$ .

Vận dụng 3 trang 54 Toán 12 Tập 1: Khi chuyển động trong không gian, máy bay luôn chịu tác động của bốn lực chính: lực đẩy của động cơ, lực cản của không khí, trọng lực...

HĐ7 trang 54 Toán 12 Tập 1: Trong không gian, cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ khác $\vec{0}$ . Lấy điểm O và vẽ các vectơ $\vec{O A} = \vec{a}, \vec{O B} = \vec{b}$ . Lấy điểm O’ khác O và vẽ các vectơ $\vec{O^{'} A^{'}} = \vec{a}, \vec{O^{'} B^{'}} = \vec{b}$ (H.2.21)...

Câu hỏi trang 55 Toán 12 Tập 1: Xác định góc giữa hai vectơ cùng hướng (và khác $\vec{0}$ ), góc giữa hai vectơ ngược hướng trong không gian

Luyện tập 9 trang 56 Toán 12 Tập 1: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ (H.2.25). Tính các góc $(\vec{A A^{'}}, \vec{B C})$ và $(\vec{A B}, \vec{A^{'} C^{'}})$ .

HĐ8 trang 56 Toán 12 Tập 1: Hãy nhắc lại công thức xác định tích vô hướng của hai vectơ trong mặt phẳng.

Luyện tập 10 trang 57 Toán 12 Tập 1: Trong Ví dụ 10, hãy tính các tích vô hướng $\vec{A S} . \vec{B D}$ và $\vec{A S} . \vec{C D}$

Luyện tập 11 trang 57 Toán 12 Tập 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng $\vec{A^{'} C} . \vec{B^{'} D^{'}} = 0$ .

Vận dụng 4 trang 57 Toán 12 Tập 1: Như đã biết, nếu có một lực tác động vào một vật tại điểm M và làm cho vật đó di chuyển một quãng đường MN thì công A sinh ra...

Bài 2.1 trang 58 Toán 12 Tập 1: Trong không gian, cho ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ phân biệt và đều khác $\vec{0}$ . Những mệnh đề nào sau đây là đúng?...

Bài 2.2 trang 58 Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có $A B = 2, A D = 3$ và $A A^{'} = 4$ . Tính độ dài của các vectơ $\vec{B B^{'}}, \vec{B D}$ và $\vec{B D^{'}}$ .

Bài 2.3 trang 58 Toán 12 Tập 1: Một chiếc bàn cân đối hình chữ nhật được đặt trên mặt sàn nằm ngang, mặt bàn song song với mặt sàn và bốn chân bàn vuông góc với mặt sàn như Hình 2.29...

Bài 2.4 trang 58 Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng: a) $\vec{A B} + \vec{D D^{'}} + \vec{C^{'} D^{'}} = \vec{C C^{'}}$ ; b) $\vec{A B} + \vec{C D^{'}} - \vec{C C^{'}} = \vec{0}$ ; c) $\vec{B C} - \vec{C C^{'}} + \vec{D C} = \vec{A^{'} C}$

Bài 2.5 trang 58 Toán 12 Tập 1: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có $\vec{A A^{'}} = \vec{a}, \vec{A B} = \vec{b}$ và $\vec{A C} = \vec{c}$ . Hãy biểu diễn các vectơ sau qua các vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ : a) $\vec{A B^{'}}$ ; b) $\vec{B^{'} C}$ ; c) $\vec{B C^{'}}$ .

Bài 2.6 trang 58 Toán 12 Tập 1: Cho hình chóp tứ giác S. ABCD. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành nếu và chỉ nếu $\vec{S A} + \vec{S C} = \vec{S B} + \vec{S D}$ .

Bài 2.7 trang 58 Toán 12 Tập 1: Cho hình chóp S.ABC. Trên cạnh SA, lấy điểm M sao cho $S M = 2 A M$ . Trên cạnh BC, lấy điểm N sao cho $C N = 2 B N$ ...

Bài 2.8 trang 58 Toán 12 Tập 1: Trong Luyện tập 8, ta đã biết trọng tâm của tứ diện ABCD là một điểm I thỏa mãn $\vec{A I} = 3 \vec{I G}$ , ở đó G là trọng tâm của tam giác BCD...

Bài 2.9 trang 59 Toán 12 Tập 1: Ba sợi dây không giãn với khối lượng không đáng kể được buộc chung một đầu và được kéo căng về ba hướng khác nhau (H.2.31)...

Bài 2.10 trang 59 Toán 12 Tập 1: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có độ dài mỗi cạnh đáy bằng 1 và độ dài mỗi cạnh bên bằng 2...

Bài 2.11 trang 59 Toán 12 Tập 1: Trong không gian, cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ có cùng độ dài bằng 1. Biết rằng góc giữa hai vectơ đó là $45^{0}$ , hãy tính...

Bài 2.12 trang 59 Toán 12 Tập 1: Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng: a) $\vec{A B} . \vec{C D} = \vec{A C} . \vec{C D} + \vec{B C} . \vec{D C}$ ; b) $\vec{A B} . \vec{C D} + \vec{A C} . \vec{D B} + \vec{A D} . \vec{B C} = 0$ .

Xem thêm các bài giải sách giáo khoa Toán 12 bộ sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 1 trang 42

Bài 7: Hệ trục toạ độ trong không gian

Bài 8: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

Bài tập cuối chương 2 trang 73, 74

Bài 9: Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

1 466 09/06/2024

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác: