Giải Toán 11 trang 67 Kết nối tri thức

Giải Toán 11 trang 67

Bài 3.4 trang 67 Toán 11 Tập 1: Quãng đường (km) đi từ nhà đến nơi làm việc của 40 công nhân một nhà máy được ghi lại như sau:

a) Ghép nhóm dãy số liệu trên thành các khoảng có độ rộng bằng nhau, khoảng đầu tiên là [0; 5). Tìm giá trị đại diện cho mỗi nhóm.

b) Tính số trung bình của mẫu số liệu không ghép nhóm và mẫu số liệu ghép nhóm. Giá trị nào chính xác hơn?

c) Xác định nhóm chứa mốt của mẫu số liệu ghép nhóm thu được.

Lời giải:

a) Giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu là 2, giá trị lớn nhất của mẫu số liệu là 32, do đó khoảng biến thiên là 32 – 2 = 30.

Các nhóm có độ rộng bằng nhau và độ rộng của mỗi nhóm là 5. Để cho thuận tiện, ta chia thành 7 nhóm là các nhóm [0; 5), [5; 10), [10; 15), [15; 20), [20; 25), [25; 30), [30; 35). Đếm số giá trị thuộc mỗi nhóm, ta có mẫu số liệu ghép nhóm như sau:

Giá trị đại diện cho mỗi nhóm là trung bình của hai đầu mút của nhóm. Ta có bảng giá trị đại diện như sau:

b) Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là

Ta có: 5 + 3 + 10 + 20 + 25 + 11 + 13 + 7 + 12 + 31 + 19 + 10 + 12 + 17 + 18 + 11 + 32 + 17 + 16 + 2 + 7 + 9 + 7 + 8 + 3 + 5 + 12 + 15 + 18 + 3 + 12 + 14 + 2 + 9 + 6 + 15 + 15 + 7 + 6 + 12 = 476.

Số trung bình của mẫu số liệu không ghép nhóm là $\overline{x}=\frac{476}{40}=11,9$ .

Giá trị trung bình của mẫu số liệu không ghép nhóm chính xác hơn vì nó là giá trị của mẫu số liệu gốc.

c) Tần số lớn nhất trong bảng tần số của mẫu số liệu ghép nhóm là 11. Do đó, nhóm chứa mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là các nhóm [5; 10) và [10; 15).

Bài 3.5 trang 67 Toán 11 Tập 1: Tuổi thọ (năm) của 50 bình ắc quy ô tô được cho như sau:

a) Xác định mốt và giải thích ý nghĩa.

b) Tính tuổi thọ trung bình của 50 bình ắc quy ô tô này.

Lời giải:

a) Tần số lớn nhất là 14 nên nhóm chứa mốt là nhóm [3; 3,5). Ta có, j = 3, a₃ = 3, m₃ = 14, m₂ = 9, m₄ = 11, h = 0,5. Do đó mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là

$M_o=3+\frac{14-9}{\left(14-9\right)+\left(14-11\right)}.0,5=3,3125$.

Ý nghĩa: Tuổi thọ của bình ắc quy ô tô khoảng 3,3125 năm là nhiều nhất hay tuổi thọ chủ yếu của bình ắc quy ô tô khoảng 3,3125 năm.

b) Trong mỗi khoảng tuổi thọ, giá trị đại diện là trung bình cộng của giá trị hai đầu mút nên ta có bảng sau:

Tổng số ắc quy ô tô là 50. Tuổi thọ trung bình của 50 ắc quy ô tô này là

$\overline{x}=\frac{4.2,25+9.2,75+14.3,25+11.3,75+7.4,25+5.4,75}{50}=3,48$.

Bài 3.6 trang 67 Toán 11 Tập 1: Điểm thi môn Toán (thang điểm 100, điểm được làm tròn đến 1) của 60 thí sinh được cho trong bảng sau:

a) Hiệu chỉnh để thu được mẫu số liệu ghép nhóm dạng Bảng 3.2.

b) Tìm các tứ phân vị và giải thích ý nghĩa của chúng.

Lời giải:

a) Hiệu chỉnh để thu được mẫu số liệu ghép nhóm dạng Bảng 3.2 ta được mẫu số liệu ghép nhóm như sau:

b) Cỡ mẫu là n = 60.

Gọi x₁, x₂, ..., x₆₀ là điểm thi môn Toán của 60 thí sinh và giả sử dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Khi đó, trung vị là $\frac{x_{30}+x_{31}}{2}$ . Do hai giá trị x₃₀, x₃₁ thuộc nhóm [49,5; 59,5) nên nhóm này chứa trung vị. Do đó, p = 6; a₆ = 49,5; m₆ = 12; m₁ + m₂ + m₃ + m₄ + m₅ = 1 + 2 + 4 + 6 + 15 = 28; a₇ – a₆ = 59,5 – 49,5 = 10 và ta có

$M_e=49,5+\frac{\frac{60}{2}-28}{12}.10\approx 51,17$.

Tứ phân vị thứ nhất Q₁ là $\frac{x_{15}+x_{16}}{2}$ . Do x₁₅ và x₁₆ đều thuộc nhóm [39,5; 49,5) nên nhóm này chứa Q₁. Do đó, p = 5; a₅ = 39,5; m₅ = 15; m₁ + m₂ + m₃ + m₄ = 13; a₆ – a₅ = 10 và ta có

$Q_1=39,5+\frac{\frac{60}{4}-13}{15}.10\approx 40,83$.

Tứ phân vị thứ ba Q₃ là $\frac{x_{45}+x_{46}}{2}$. Do x₄₅ và x₄₆ đều thuộc nhóm [59,5; 69,5) nên nhóm này chứa Q₃. Do đó, p = 7; a₇ = 59,5; m₇ = 10; m₁ + m₂ + m₃ + m₄ + m₅ + m₆ = 40; a₆ – a₅ = 10 và ta có

$Q_3=59,5+\frac{\frac{3.60}{4}-40}{10}.10=64,5$.

Tứ phân vị thứ hai Q₂ = M_e ≈ 51,17.

Vậy các tứ phân vị của mẫu số liệu là Q₁ ≈ 40,83; Q₂ ≈ 51,17 và Q₃ = 64,5. Các giá trị này các là ngưỡng để phân điểm của 60 học sinh thành 4 phần để xếp loại học sinh.

Bài 3.7 trang 67 Toán 11 Tập 1: Phỏng vấn một số học sinh khối 11 về thời gian (giờ) ngủ của một buổi tối, thu được bảng số liệu ở bên.

a) So sánh thời gian ngủ trung bình của các bạn học sinh nam và nữ.

b) Hãy cho biết 75% học sinh khối 11 ngủ ít nhất bao nhiêu giờ?

Lời giải:

a) Trong mỗi khoảng thời gian, giá trị đại diện là trung bình cộng của giá trị hai đầu mút nên ta có bảng sau:

Tổng số các bạn nam là n₁ = 6 + 10 + 13 + 9 + 7 = 45.

Thời gian ngủ trung bình của các bạn học sinh nam là

$\overline{x_1}=\frac{6.4,5+10.5,5+13.6,5+9.7,5+7.8,5}{45}\approx 6,52$.

Tổng số các bạn nữ là n₂ = 4 + 8 + 10 + 11 + 8 = 41.

Thời gian ngủ trung bình của các bạn học sinh nữ là

$\overline{x_2}=\frac{4.4,5+8.5,5+10.6,5+11.7,5+8.8,5}{41}\approx 6,77$.

Vì 6,52 < 6,77 nên thời gian ngủ trung bình của các học sinh nam ít hơn các học sinh nữ.

b) Ta có:

Tổng số học sinh khối 11 được khảo sát là n = 45 + 41 = 86.

Gọi x₁, x₂, x₃, ..., x₈₆ là thời gian ngủ của các học sinh khối 11 được khảo sát và giả sử dãy này đã sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Khi đó trung vị của mẫu số liệu là $\frac{x_{43}+x_{44}}{2}$ .

Do đó, tứ phân vị thứ ba Q₃ = x₆₅. Vì x₆₅ thuộc nhóm [7; 8) nên nhóm này chứa Q₃. Do đó, p = 4; a₄ = 7; m₄ = 20; m₁ + m₂ + m₃ = 10 + 18 + 23 = 51; a₅ – a₄ = 8 – 7 = 1 và ta có

$Q_3=7+\frac{\frac{3.86}{4}-51}{20}.1=7,675$.

Tứ phân vị thứ ba Q₃ chia mẫu số liệu thành 2 phần, phần dưới chiếm 75% số liệu của mẫu và phần trên chiếm 25% số liệu của mẫu.

Vậy 75% học sinh khối 11 ngủ ít nhất 7,675 giờ.

Xem thêm lời giải bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: 

Giải Toán 11 trang 62

Giải Toán 11 trang 63

Giải Toán 11 trang 64

Giải Toán 11 trang 65

Giải Toán 11 trang 66

Giải Toán 11 trang 67