Giải Toán 11 trang 56 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 11 trang 56 Tập 2

Bài 1 trang 56 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a. Cho biết SA = $\text{a}\sqrt{3}$ , SA ⊥AB và SA ⊥AD. Tính góc giữa SB và CD, SD và CB.

Lời giải:

Vì CD // AB nên (SB, CD) = (SB, AB) = $\widehat{\mathrm{SBA}}$

Xét tam giác SBA có: SA ⊥AB nên ΔSAB vuông tại A.

$\tan \widehat{\mathrm{SBA}}=\frac{\mathrm{SA}}{\mathrm{AB}}=\frac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}$. Vậy $\widehat{\mathrm{SBA}}=60°$ .

Mặt khác, CB // AD nên (SD, CB) = (SD, AD) = $\widehat{\mathrm{SDA}}$

Xét tam giác SDA có: SD⊥AD nên ΔSDA vuông tại D.

$\tan \widehat{\mathrm{SDA}}=\frac{\mathrm{SA}}{\mathrm{AD}}=\frac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}$.

Vậy $\widehat{\mathrm{SDA}}=60°$.

Bài 2 trang 56 Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện đều ABCD. Chứng minh rằng AB ⊥ CD.

Lời giải:

Gọi a là độ dài cạnh của tứ diện đều ABCD.

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BC và AD.

Xét tam giác ABC:

M là trung điểm của AC.

N là trung điểm của BC.

Nên MN là đường trung bình của tam giác ABC.

⇒ MN // AB; MN = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{a}{2}$ (1)

Tương tự: MP là đường trung bình tam giác ACD:

⇒ MP // CD; MP = $\frac{1}{2}$CD = $\frac{a}{2}$ (2)

Từ (1) và (2) ⇒ MN = MP = $\frac{a}{2}$

Tam giác ABD đều có BP là trung tuyến nên BP = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Tam giác ACD đều có CP là trung tuyến nên CP = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Xét tam giác BCP có: BP = CP = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

⇒ Tam giác BCP cân tại P.

Mà N là trung điểm của BC ⇒ PN là đường trung tuyến nên PN ⊥ CN

PN = $\sqrt{{\mathrm{CP}}^2-{\mathrm{CN}}^2}=\sqrt{{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Xét tam giác MNP:

MP² + MN² = ${\left(\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=\frac{2a^2}{4}$ ; PN² = ${\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2=\frac{2a^2}{4}$

⇒ MP² + MN² = PN²

⇒ Tam giác MNP vuông tại M.

Ta có: (AB, CD) = (MN, MP) = $\widehat{\mathrm{NMP}}=90°$.

Vậy AB ⊥CD.

Bài 3 trang 56 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a, $\widehat{\mathrm{BSA}}=\widehat{\mathrm{CSA}}=60°,\widehat{\mathrm{BSC}}=90°.$ Cho I và J lần lượt là trung điểm của SA và BC. Chứng minh rằng IJ ⊥SA và IJ ⊥BC.

Lời giải:

Xét tam giác SAB có:

SA = SB = a

$\widehat{\mathrm{BSA}}=60°$

⇒ $$Tam giác SAB đều.

Mà I là trung điểm của SA ⇒ $$IB = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Xét tam giác SAC có:

SA = SC = a

$\widehat{\mathrm{ASC}}=60°$

⇒ $$Tam giác SAC đều.

Mà I là trung điểm của SA ⇒ $$IC = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Ta có BSC là tam giác vuông cân tại S.

⇒ $\text{BC}=\sqrt{{\text{SB}}^2+{\text{SC}}^2}=a\sqrt{2}$

Xét tam giác ABC:

AB = AC = a

AB² + AC² = a² + a² = 2a²

BC² = ${\left(a\sqrt{2}\right)}^2$= 2a²

⇒ $$AB² + AC² = BC²

⇒ Tam giác ABC vuông cân tại A.

Mà J là trung điểm đoạn BC ⇒ AJ ⊥ BC

⇒ $$ AJ = $\sqrt{{\text{AB}}^2-{\text{BJ}}^2}=\sqrt{a^2-{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Xét tam giác SBC vuông cân tại S:

Mà J là trung điểm đoạn BC ⇒ $$ SJ ⊥ BC

⇒ $$ SJ = $\sqrt{{\text{SB}}^2-{\text{BJ}}^2}=\sqrt{a^2-{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Xét tam giác JSA:

AJ = SJ = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

⇒ $$ Tam giác JSA cân tại J.

Mà I là trung điểm của SA ⇒ IJ là đường trung tuyến của tam giác JSA.

hay IJ ⊥SA.

Xét tam giác IBC:

IB = IC = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

⇒ $$Tam giác IBC cân tại I.

Mà J là trung điểm của BC ⇒ $$ IJ là đường trung tuyến của tam giác IBC.

hay IJ ⊥BC.

Bài 4 trang 56 Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi K là trung điểm CD. Tính góc giữa hai đường thẳng AK và BC.

Lời giải:

Gọi H là trung điểm của BD.

Ta có: K là trung điểm của CD.

Nên HK là đường trung bình tam giác BCD

⇒ HK // BC; HK = $\frac{1}{2}\mathrm{BC}=\frac{a}{2}$

⇒ (AK, BC) = (AK, HK)

Xét tam giác ABC đều có H là trung điểm của BC ⇒ $$ AH = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Xét tam giác ACD đều có K là trung điểm của CD ⇒ $$ AK = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Xét tam giác AHK: $\text{cos}\widehat{\mathrm{AKH}}=\frac{{\mathrm{AK}}^2+{\mathrm{HK}}^2-{\mathrm{AH}}^2}{2.\mathrm{AK}.\mathrm{HK}}=\frac{\sqrt{3}}{6}$

⇒ $\widehat{\mathrm{AKH}}\approx 73,2°$

Vậy (AK, BC) = $\widehat{\mathrm{AKH}}\approx 73,2°$

Bài 5 trang 56 Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Biết AB = CD = 2a và MN = $\mathrm{a}\sqrt{3}$ . Tính góc giữa AB và CD.

Lời giải:

Gọi O là trung điểm của AC.

Ta có M là trung điểm của BC.

⇒ $$OM là đường trung bình tam giác ABC

⇒ $$OM // AB; OM = $\frac{1}{2}$ AB = a

Tương tự ON là đường trung bình tam giác ACD.

⇒ $$ ON // CD; ON = $\frac{1}{2}$CD = a

⇒ $$ (AB, CD) = (OM, ON)

Trong tam giác MON:

OM = ON = a; MN = $a\sqrt{3}$

$\cos \widehat{\mathrm{MON}}=\frac{{\mathrm{OM}}^2+{\mathrm{ON}}^2-{\mathrm{MN}}^2}{2.\mathrm{OM}.\mathrm{ON}}=\frac{a^2+a^2-{\left(a\sqrt{3}\right)}^2}{2.a.a}=\frac{-1}{2}$

⇒ $\widehat{\mathrm{MON}}=120°$.

Vậy $(\mathrm{AB},\mathrm{CD})=180°-\widehat{\mathrm{MON}}=60°$.

Bài 6 trang 56 Toán 11 Tập 2: Một ô che nắng có viền khung hình lục giác đều ABCDEF song song với mặt bàn và có cạnh AB song song với cạnh bàn a (Hình 5). Tính số đo góc hợp bởi đường thẳng a lần lượt với các đường thẳng AF, AE và AD.

Lời giải:

Ta có: AB // a, nên

(a, AF) = (AB, AF) = 120°

(a, AE) = (AB, AE) = 90°

(a, AD) = (AB, AD) = 60°

Xem thêm Lời giải bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Giải Toán 11 trang 54 Tập 2

Giải Toán 11 trang 55 Tập 2

Giải Toán 11 trang 56 Tập 2