Bài 3 trang 56 Toán 11 Tập 2 | Chân trời sáng tạo Giải Toán lớp 11

Giải Toán 11 Bài 1: Hai đường thẳng vuông góc

Bài 3 trang 56 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a, $\widehat{\mathrm{BSA}}=\widehat{\mathrm{CSA}}=60°,\widehat{\mathrm{BSC}}=90°.$ Cho I và J lần lượt là trung điểm của SA và BC. Chứng minh rằng IJ ⊥SA và IJ ⊥BC.

Lời giải:

Xét tam giác SAB có:

SA = SB = a

$\widehat{\mathrm{BSA}}=60°$

⇒ $$Tam giác SAB đều.

Mà I là trung điểm của SA ⇒ $$IB = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Xét tam giác SAC có:

SA = SC = a

$\widehat{\mathrm{ASC}}=60°$

⇒ $$Tam giác SAC đều.

Mà I là trung điểm của SA ⇒ $$IC = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Ta có BSC là tam giác vuông cân tại S.

⇒ $\text{BC}=\sqrt{{\text{SB}}^2+{\text{SC}}^2}=a\sqrt{2}$

Xét tam giác ABC:

AB = AC = a

AB² + AC² = a² + a² = 2a²

BC² = ${\left(a\sqrt{2}\right)}^2$= 2a²

⇒ $$AB² + AC² = BC²

⇒ Tam giác ABC vuông cân tại A.

Mà J là trung điểm đoạn BC ⇒ AJ ⊥ BC

⇒ $$ AJ = $\sqrt{{\text{AB}}^2-{\text{BJ}}^2}=\sqrt{a^2-{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Xét tam giác SBC vuông cân tại S:

Mà J là trung điểm đoạn BC ⇒ $$ SJ ⊥ BC

⇒ $$ SJ = $\sqrt{{\text{SB}}^2-{\text{BJ}}^2}=\sqrt{a^2-{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Xét tam giác JSA:

AJ = SJ = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

⇒ $$ Tam giác JSA cân tại J.

Mà I là trung điểm của SA ⇒ IJ là đường trung tuyến của tam giác JSA.

hay IJ ⊥SA.

Xét tam giác IBC:

IB = IC = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

⇒ $$Tam giác IBC cân tại I.

Mà J là trung điểm của BC ⇒ $$ IJ là đường trung tuyến của tam giác IBC.

hay IJ ⊥BC.