Bài 4 trang 56 Toán 11 Tập 2 | Chân trời sáng tạo Giải Toán lớp 11

Giải Toán 11 Bài 1: Hai đường thẳng vuông góc

Bài 4 trang 56 Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi K là trung điểm CD. Tính góc giữa hai đường thẳng AK và BC.

Lời giải:

Gọi H là trung điểm của BD.

Ta có: K là trung điểm của CD.

Nên HK là đường trung bình tam giác BCD

⇒ HK // BC; HK = $\frac{1}{2}\mathrm{BC}=\frac{a}{2}$

⇒ (AK, BC) = (AK, HK)

Xét tam giác ABC đều có H là trung điểm của BC ⇒ $$ AH = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Xét tam giác ACD đều có K là trung điểm của CD ⇒ $$ AK = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Xét tam giác AHK: $\text{cos}\widehat{\mathrm{AKH}}=\frac{{\mathrm{AK}}^2+{\mathrm{HK}}^2-{\mathrm{AH}}^2}{2.\mathrm{AK}.\mathrm{HK}}=\frac{\sqrt{3}}{6}$

⇒ $\widehat{\mathrm{AKH}}\approx 73,2°$

Vậy (AK, BC) = $\widehat{\mathrm{AKH}}\approx 73,2°$