Giải Toán 10 trang 44 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 10

Với giải bài tập Toán lớp 10 trang 44 Tập 1 trong Bài tập cuối chương 3 sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 10 trang 44 Tập 1.

1 635 02/06/2023

Trang trước

Trang sau

Giải Toán 10 trang 44 Tập 1

Bài 3.12 trang 44 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có $\hat{B} = 135^{o}$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $S = \frac{1}{2} c a .$

B. $S = \frac{- \sqrt{2}}{4} a c .$

C. $S = \frac{\sqrt{2}}{4} b c .$

D. $S = \frac{\sqrt{2}}{4} c a .$

A. $R = \frac{a}{\sin A} .$

B. $R = \frac{\sqrt{2}}{2} b .$

C. $R = \frac{\sqrt{2}}{2} c .$

D. $R = \frac{\sqrt{2}}{2} a .$

A. $a^{2} = b^{2} + c^{2} + \sqrt{2} a b$ .

B. $\frac{b}{\sin A} = \frac{a}{\sin B} .$

C. $\sin B = \frac{- \sqrt{2}}{2} .$

D. b² = c² + a² – 2ca.cos135^o.

Lời giải:

Tam giác ABC có BC = a; AC = b; AB = c; $\hat{B} = 135^{o}$ .

Cho tam giác ABC có góc B = 135 độ. Khẳng định nào sau đây là đúng (ảnh 1)

a) Diện tích tam giác ABC:

$S = \frac{1}{2} a c . \sin B = \frac{1}{2} a c . \sin 135^{o} = \frac{\sqrt{2}}{4} a c$ .

Chọn D.

b) Theo định lí sin, ta có:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2 R$

A. $R = \frac{a}{\sin A}$ sai vì $R = \frac{a}{2 \sin A}$

B. $R = \frac{\sqrt{2}}{2} b$

Mà $\sin B = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow R = \frac{b}{2 \sin B} = \frac{b}{2 . \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} b$ .

Do đó B đúng.

C. $R = \frac{\sqrt{2}}{2} c$ (loại vì không có dữ kiện về góc C nên không thể tính R theo c).

D. $R = \frac{\sqrt{2}}{2} a$ (loại vì không có dữ kiện về góc A nên không thể tính R theo a).

Chọn B.

A. $a^{2} = b^{2} + c^{2} + \sqrt{2} a b$ .

Vì theo định lí côsin, ta có: a²= b²+ c²− 2bc . cosA

Không đủ dữ kiện để suy ra: $a^{2} = b^{2} + c^{2} + \sqrt{2} a b$ .

Do đó A sai.

B. $\frac{b}{\sin A} = \frac{a}{\sin B}$ .

Theo định lí sin, ta có: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

Nên $\frac{b}{\sin A} \neq \frac{a}{\sin B}$ .

Do đó B sai.

C. $\sin B = \frac{- \sqrt{2}}{2}$ .

Vì theo câu a, $\sin B = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Do đó C sai.

D. b² = c² + a² – 2ca . cos135^o. đúng.

Theo định lý côsin ta có:

b² = c² + a² − 2ca . cosB (*)

Mà $\hat{B} = 135 °$ $\Rightarrow$ cosB = cos 135^o.

Thay vào (*) ta được: b² = c² + a² − 2ca . cos 135^o.

Do đó D đúng.

Chọn D.

Bài 3.13 trang 44 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $S = \frac{a b c}{4 r} .$

B. $r = \frac{2 S}{a + b + c} .$

C. a² = b² + c² + 2bc . cos A.

D. S = r(a + b + c).

A. sin A = sin(B + C).

B. cos A = cos(B + C).

C. cos A > 0.

D. sin A ≤ 0.

Lời giải:

A. $S = \frac{a b c}{4 r} .$

Ta có $S = \frac{a b c}{4 R}$ . Mà r < R nên $S = \frac{a b c}{4 R} < \frac{a b c}{4 r}$ .

Do đó A sai.

B. $r = \frac{2 S}{a + b + c} .$

Ta có: S = pr $\Rightarrow$ $r = \frac{S}{p}$ .

Mà $p = \frac{a + b + c}{2}$

$\Rightarrow r = \frac{S}{p} = \frac{S}{\frac{a + b + c}{2}} = \frac{2 S}{a + b + c}$ .

Do đó B đúng.

C. a² = b² + c² + 2bc . cos A.

Sai vì theo định lí côsin ta có: a² = b² + c² − 2bc . cos A.

D. S = r(a + b + c).

Sai vì $S = p r = r . \frac{a + b + c}{2}$ .

Chọn B.

A. sinA = sin(B + C).

Ta có $\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180^{o}$

$\Rightarrow \hat{B} + \hat{C} = 180^{o} - \hat{A}$

$\Rightarrow$ sin(B + C) = sin(180° – $\hat{A}$ ) = sin A.

Do đó, đáp án A đúng.

B. cos A = cos(B + C).

Sai vì cos (B + C) = cos(180° – $\hat{A}$ ) = – cosA (do $\hat{B} + \hat{C} = 180^{o} - \hat{A}$ ).

C. cos A > 0.

∙ Nếu 0^o< $\hat{A}$ < 90^o thì cos A > 0.

∙ Nếu 90^o < $\hat{A}$ < 180^o thì cos A < 0.

Do đó C không đủ dữ kiện để kết luận.

D. sin A ≤ 0.

Ta có: $S = \frac{1}{2} b c . \sin A > 0$

Mà b, c > 0 nên sin A > 0.

Do đó D sai.

Chọn D.

B. Tự luận

Bài 3.14 trang 44 Toán 10 Tập 1: Tính giá trị các biểu thức sau:

a) M = sin45^o. cos45^o + sin30^o;

b) $ N = \sin 60^{o} . c o s 30^{o} + \frac{1}{2} \sin 45^{o} . c o s 45^{o}$ ;

c) P = 1 + tan²60^o;

d) $Q = \frac{1}{\sin^{2} 120^{o}} - \cot^{2} 120^{o} .$

Lời giải:

a) M = sin45^o. cos45^o + sin30^o

Ta có: sin 45^o = cos 45^o = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ; sin 30^o = $\frac{1}{2}$ .

Thay vào M, ta được:

M $= \frac{\sqrt{2}}{2} . \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ .

b) $ N = \sin 60^{o} . c o s 30^{o} + \frac{1}{2} \sin 45^{o} . c o s 45^{o}$

Ta có: $\sin 60^{o} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ; $\cos 30^{o} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ; $\sin 45 ° = c o s 45 ° = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Thay vào N, ta được:

N = $\frac{\sqrt{3}}{2} . \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} . \frac{\sqrt{2}}{2} . \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$ .

c) P = 1 + tan²60^o

Ta có: $\tan 60^{o} = \sqrt{3}$ .

Thay vào P, ta được: P $= 1 + {(\sqrt{3})}^{2} = 1 + 3 = 4$ .

d) $Q = \frac{1}{\sin^{2} 120^{o}} - \cot^{2} 120^{o} .$

Ta có: $\sin 120^{o} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ; $\cot 120^{o} = \frac{- 1}{\sqrt{3}}$

Thay vào Q, ta được:

Q $= \frac{1}{{(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}} - {(\frac{- 1}{\sqrt{3}})}^{2}$

$= \frac{1}{\frac{3}{4}} - \frac{1}{3} = \frac{4}{3} - \frac{1}{3} = 1$

Bài 3.15 trang 44 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có $\hat{B} = 60^{o}, \hat{C} = 45^{o},$ AC = 10. Tính a, R, S, r.

Lời giải:

Cho tam giác ABC có AC = 10, góc B = 60 độ, góc C = 45 độ . Tính a, R, S, r (ảnh 1)

Theo định lí sin: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2 R$

Ta có:

+ $R = \frac{b}{2 \sin B}$ .

Mà b = AC = 10, $\hat{B} = 60^{o}$ .

Nên $R = \frac{10}{2 \sin 60^{o}} = \frac{10}{2 . \frac{\sqrt{3}}{2}}$

$= \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10 \sqrt{3}}{3}$ .

+ $R = \frac{a}{2 \sin A}$ $\Rightarrow$ a = 2R. sin A.

Mà $R = \frac{10 \sqrt{3}}{3}$ , $\hat{A} = 180^{o} - \hat{B} - \hat{C}$ = 180^o – 60^o – 45^o = 75^o.

Nên a = 2. $\frac{10 \sqrt{3}}{3}$ . sin 75^o ≈ 11,15.

Diện tích tam giác ABC là:

$S = \frac{1}{2} a b . \sin C = \frac{1}{2} . 11, 15 . 10 . \sin 45^{o} \approx 39, 42$ (đvdt)

Khi đó:

+ $R = \frac{c}{2 \sin C}$ $\Rightarrow c = \frac{10 \sqrt{3}}{3} . 2 . \sin 45^{o} = \frac{10 \sqrt{6}}{3} \approx 8, 16$ .

+ $p = \frac{a + b + c}{2} \approx \frac{5, 58 + 10 + 8, 165}{2} \approx 14, 66$ .

+ $r = \frac{S}{p} \approx \frac{48, 3}{14, 66} \approx 2, 69$ .

Vậy a ≈ 11,15; $R = \frac{10 \sqrt{3}}{3}$ , c ≈ 8,16, r ≈ 2,69.

Bài 3.16 trang 44 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Chứng minh rằng:

a) $c o s \hat{A M B} + c o s \hat{A M C} = 0;$

b) MA² + MB² – AB² = 2MA.MB.cos $\hat{A M B}$ và MA² + MC² – AC² = 2MA.MC.cos $\hat{A M C}$ ;

c) $M A^{2} = \frac{2 (A B^{2} + A C^{2}) - B C^{2}}{4}$ (công thức đường trung tuyến).

Lời giải:

Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Chứng minh rằng (ảnh 1)

a) Ta có: $\hat{A M B} + \hat{A M C} = 180^{o}$

Þ $\hat{A M C} = 180^{o} - \hat{A M B}$

Þ $c o s \hat{A M B} = - c o s (180^{o} - \hat{A M B}) = - c o s \hat{A M C}$

Þ $c o s \hat{A M B} + c o s \hat{A M C} = - c o s \hat{A M C} + c o s \hat{A M C} = 0$

Vậy $c o s \hat{A M B} + c o s \hat{A M C} = 0$ (đpcm)

b) Áp dụng định lí côsin trong ΔAMB, ta có:

AB² = MA² + MB² – 2MA.MB.cos $\hat{A M B}$

$\Leftrightarrow$ MA² + MB² – AB² = 2MA.MB.cos $\hat{A M B}$ (1)

Áp dụng định lí côsin trong ΔAMC, ta có:

AC² = MA² + MC² – 2MA.MC.cos $\hat{A M C}$

$\Leftrightarrow$ MA² + MC² – AC² = 2MA.MC.cos $\hat{A M C}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.

c) Từ (1) suy ra: MA² = AB² – MB² + 2MA.MB.cos $\hat{A M B}$

Từ (2) suy ra: MA² = AC² – MC² + 2MA.MC.cos $\hat{A M C}$

Cộng vế với vế, ta được:

2MA² = (AB² – MB² + 2MA.MB.cos $\hat{A M B}$ ) + (AC² – MC² + 2MA.MC.cos $\hat{A M C}$ )

$\Leftrightarrow$ 2MA² = AB² + AC² – MB² – MC² + 2MA.MB.cos $\hat{A M B}$ + 2MA.MC.cos $\hat{A M C}$

Mà $M B = M C = \frac{B C}{2}$ (do AM là trung tuyến) nên:

2MA² = AB² + AC² – ${(\frac{B C}{2})}^{2}$ – ${(\frac{B C}{2})}^{2}$ + 2MA.MB.cos $\hat{A M B}$ + 2MA.MB.cos $\hat{A M C}$

$\Leftrightarrow$ 2MA² = AB² + AC² – $2 . {(\frac{B C}{2})}^{2}$ + 2MA.MB.(cos $\hat{A M B}$ + cos $\hat{A M C}$ )

$\Leftrightarrow$ 2MA² = AB² + AC² – $\frac{B C^{2}}{2}$

$\Leftrightarrow$ $M A^{2} = \frac{A B^{2} + A C^{2} - \frac{B C^{2}}{2}}{2}$

$\Leftrightarrow M A^{2} = \frac{2 (A B^{2} + A C^{2}) - B C^{2}}{4}$ (công thức đường trung tuyến).

Bài 3.17 trang 44 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

a) Nếu góc A nhọn thì b² + c² > a²;

b) Nếu góc A tù thì b² + c² < a²;

c) Nếu góc A vuông thì b² + c² = a².

Lời giải:

Theo định lí côsin, ta có: a² = b² + c² – 2bc.cosA

$\Rightarrow$ b² + c² – a² = 2bc.cosA.

a) Nếu góc A nhọn thì cosA > 0 $\Rightarrow$ 2bccosA > 0

Do đó: b² + c² – a² = 2bc.cosA > 0.

Vậy b² + c² > a² (đpcm).

b) Nếu góc A tù thì cosA < 0 $\Rightarrow$ 2bccosA < 0

Do đó: b² + c² – a² = 2bc.cosA < 0.

Vậy b² + c² < a² (đpcm).

c) Nếu góc A vuông thì cosA = 0 $\Rightarrow$ 2bccosA = 0

Do đó: b² + c² – a² = 2bc.cosA = 0.

Vậy b² + c² = a² (đpcm).

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Giải Toán 10 trang 45 Tập 1

1 635 02/06/2023

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác:

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Giáo án lớp 1

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đề thi các môn lớp 2

Đề thi các môn lớp 2 - Kết nối tri thức

Đề thi các môn lớp 2 - Cánh diều

Đề thi các môn lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Giáo án lớp 2

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3