Bài 3.16 trang 44 Toán 10 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 10

Giải Toán lớp 10 Bài tập cuối chương 3

Bài 3.16 trang 44 Toán 10 tập 1: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Chứng minh rằng:

a) $cos\widehat{AMB}+cos\widehat{AMC}=0;$

b) MA² + MB² – AB² = 2MA.MB.cos$\widehat{AMB}$ và MA² + MC² – AC² = 2MA.MC.cos$\widehat{AMC}$;

c) $M{A}^2=\frac{2\left(A{B}^2+A{C}^2\right)-B{C}^2}{4}$ (công thức đường trung tuyến).

Lời giải:

a) Ta có: $\widehat{AMB}+\widehat{AMC}={180}^o$

$\Rightarrow$ $\widehat{AMC}={180}^o-\widehat{AMB}$

$\Rightarrow$ $cos\widehat{AMB}=-cos\left({180}^o-\widehat{AMB}\right)=-cos\widehat{AMC}$

$\Rightarrow$ $cos\widehat{AMB}+cos\widehat{AMC}=-cos\widehat{AMC}+cos\widehat{AMC}=0$

Vậy $cos\widehat{AMB}+cos\widehat{AMC}=0$ (đpcm)

b) Áp dụng định lí côsin trong ΔAMB, ta có:

AB² = MA² + MB² – 2MA.MB.cos$\widehat{AMB}$ 

$\iff$ MA² + MB² – AB² = 2MA.MB.cos$\widehat{AMB}$ (1)

Áp dụng định lí côsin trong ΔAMC, ta có:

AC² = MA² + MC² – 2MA.MC.cos$\widehat{AMC}$

$\iff$ MA² + MC² – AC² = 2MA.MC.cos$\widehat{AMC}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.

c) Từ (1) suy ra: MA² = AB² – MB² + 2MA.MB.cos$\widehat{AMB}$

Từ (2) suy ra: MA² = AC² – MC² + 2MA.MC.cos$\widehat{AMC}$

Cộng vế với vế, ta được:

2MA² = (AB² – MB² + 2MA.MB.cos$\widehat{AMB}$) + (AC² – MC² + 2MA.MC.cos$\widehat{AMC}$)

$\iff$2MA² = AB² + AC² – MB² – MC² + 2MA.MB.cos$\widehat{AMB}$ + 2MA.MC.cos$\widehat{AMC}$

Mà $MB=MC=\frac{BC}{2}$(do AM là trung tuyến) nên:

2MA² = AB² + AC² – ${\left(\frac{BC}{2}\right)}^2$ – ${\left(\frac{BC}{2}\right)}^2$ + 2MA.MB.cos$\widehat{AMB}$ + 2MA.MB.cos$\widehat{AMC}$

$\iff$2MA² = AB² + AC² – $2.{\left(\frac{BC}{2}\right)}^2$ + 2MA.MB.(cos$\widehat{AMB}$ + cos$\widehat{AMC}$)

$\iff$2MA² = AB² + AC² – $\frac{B{C}^2}{2}$

$\iff$ $M{A}^2=\frac{A{B}^2+A{C}^2-\frac{B{C}^2}{2}}{2}$

$\iff M{A}^2=\frac{2\left(A{B}^2+A{C}^2\right)-B{C}^2}{4}$ (công thức đường trung tuyến).

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác: 

Bài 3.12 trang 44 Toán 10 tập 1: Cho tam giác ABC có góc B = 135 độ...

Bài 3.13 trang 44 Toán 10 tập 1: Cho tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây là đúng

Bài 3.14 trang 44 Toán 10 tập 1: Tính giá trị các biểu thức sau...

Bài 3.15 trang 44 Toán 10 tập 1: Cho tam giác ABC có góc B = 60 độ...

Bài 3.17 trang 44 Toán 10 tập 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng...

Bài 3.18 trang 45 Toán 10 tập 1: Trên biển, tàu B ở vị trí cách tàu A 53 km về hương N34oE...

Bài 3.19 trang 45 Toán 10 tập 1: Trên sân bóng chày dành cho nam, các vị trí gôn nhà (Home plate), gôn 1...

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Bài 7: Các khái niệm mở đầu

Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ

Bài 9: Tích của một vecto với một số

Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

Bài 11: Tích vô hướng của hai vecto