Giải Toán 10 trang 28 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 10

Giải Toán 10 trang 28 Tập 2

Bài 6.24 trang 28 Toán 10 Tập 2: Tập xác định của hàm số y = $\frac{1}{\sqrt{x-2}}$ là:

A. D = [2; + ∞).

B. D = (2; + ∞).

C. D = ℝ \{2}.

D. D = ℝ.

Lời giải 

Đáp án đúng là: B.

Biểu thức $\frac{1}{\sqrt{x-2}}$ có nghĩa khi x – 2 > 0 ⇔ x > 2.

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D = (2; + ∞).

 Bài 6.25 trang 28 Toán 10 Tập 2: Parabol y = – x² + 2x + 3 có đỉnh là

A. I(– 1; 0).

B. I(3; 0).

C. I(0; 3).

D. I(1; 4).

Lời giải

Đáp án đúng là: D.

Parabol y = – x² + 2x + 3 có các hệ số: a = – 1; b = 2, c = 3.

Ta có: $\frac{-b}{2a}=\frac{-2}{2.\left(-1\right)}=1$ và y(1) = – 1² + 2 . 1 + 3 = 4.

Vậy tọa độ đỉnh của parabol là I(1; 4).

Bài 6.26 trang 28 Toán 10 Tập 2: Hàm số y = x² – 5x + 4

A. Đồng biến trên khoảng (1; + ∞).

B. Đồng biến trên khoảng (– ∞; 4).

C. Nghịch biến trên khoảng (– ∞; 1).

D. Nghịch biến trên khoảng (1; 4).

Lời giải

Đáp án đúng là: C.

Hàm số y = x² – 5x + 4 có các hệ số a = 1 > 0, b = – 5, c = 4.

Ta có: $\frac{-b}{2a}=\frac{-\left(-5\right)}{2.1}=\frac{5}{2}$.

Do đó hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;\frac{5}{2}\right)$ và đồng biến trên khoảng $\left(\frac{5}{2};+\infty \right)$.

Mà (– ∞; 1) $\subset \left(-\infty ;\frac{5}{2}\right)$ nên hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (– ∞; 1).

Bài 6.27 trang 28 Toán 10 Tập 2: Bất phương trình x² – 2mx + 4 > 0 nghiệm đúng với mọi x ∈ ℝ khi

A. m = – 1.

B. m = – 2.

C. m = 2.

D. m > 2.

Lời giải

Đáp án đúng là: A.

Xét tam thức bậc hai f(x) = x² – 2mx + 4 có hệ số a = 1 > 0, ∆' = (– m)² – 1 . 4 = m² – 4.

Để f(x) > 0 (cùng dấu với hệ số a) với mọi x ∈ ℝ thì ∆' < 0 hay m² – 4 < 0.

⇔ m² < 4 ⇔ – 2 < m < 2.

Trong các đáp án đã cho, ta thấy đáp án m = – 1 là thỏa mãn – 2 < m < 2.  

Bài 6.28 trang 28 Toán 10 Tập 2: Tập nghiệm của phương trình $\sqrt{2x^2-3}=x-1$ là

A. $\left\{-1-\sqrt{5};-1+\sqrt{5}\right\}$.

B. $\left\{-1-\sqrt{5}\right\}$.

C. $\left\{-1+\sqrt{5}\right\}$.

D. $\varnothing$.

Lời giải

Đáp án đúng là: C.

Bình phương hai vế của phương trình $\sqrt{2x^2-3}=x-1$ ta được:

2x² – 3 = x² – 2x + 1

⇔ x² + 2x – 4 = 0

⇔ x = $-1-\sqrt{5}$ hoặc $x=-1+\sqrt{5}$.

Lần lượt thay các giá trị trên vào phương trình đã cho, ta thấy x = $-1+\sqrt{5}$ thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = $\left\{-1+\sqrt{5}\right\}$.

B. Tự luận

Bài 6.29 trang 28 Toán 10 Tập 2: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y=\sqrt{2x-1}+\sqrt{5-x}$;

b) $y=\frac{1}{\sqrt{x-1}}$.

Lời giải

a) Biểu thức $\sqrt{2x-1}+\sqrt{5-x}$ có nghĩa khi $\left\{\begin{array}{l}2x-1\ge 0\\ 5-x\ge 0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge \frac{1}{2}\\ x\le 5\end{array}\right.$$\iff \frac{1}{2}\le x\le 5$.

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D = $\left[\frac{1}{2};5\right]$.

b) Biểu thức $\frac{1}{\sqrt{x-1}}$ có nghĩa khi x – 1 > 0 hay x > 1.

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D = (1; + ∞).

Bài 6.30 trang 28 Toán 10 Tập 2: Với mỗi hàm số dưới đây, hãy vẽ đồ thị, tìm tập giá trị, khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của nó:

a) y = – x² + 6x – 9;

b) y = – x² – 4x + 1;

c) y = x² + 4x;

d) y = 2x² + 2x + 1.

Lời giải

Các hàm số đã cho đều là hàm số bậc hai nên đồ thị là một parabol.

a) Đồ thị hàm số: y = – x² + 6x – 9.

Ta có hệ số a = – 1 < 0 nên bề lõm của đồ thị quay xuống dưới.

Parabol trên có:

- Tọa độ đỉnh I(3; 0);

- Trục đối xứng x = 3;

- Giao điểm với trục Oy là điểm (0; – 9), điểm này có điểm đối xứng qua trục đối xứng x = 3 là (6; – 9);

- Lấy các điểm (1; – 4), (5; – 4) thuộc đồ thị hàm số.

Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được đồ thị hàm số cần vẽ.

Từ đồ thị ta có:

+ Tập giá trị của hàm số là (– ∞; 0].

+ Hàm số đồng biến trên khoảng (– ∞; 3) (do đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải) và nghịch biến trên khoảng (3; + ∞) (do đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải).

b) Đồ thị hàm số: y = – x² – 4x + 1.

Ta có: hệ số a = – 1 < 0 nên bề lõm của đồ thị quay xuống dưới.

Parabol trên có:

- Tọa độ đỉnh I(– 2; 5);

- Trục đối xứng x = – 2;

- Giao với trục Oy tại điểm (0; 1), điểm này có điểm đối xứng qua trục đối xứng x = – 2 là (– 4; 1);

- Giao với trục hoành tại hai điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình – x² – 4x + 1 = 0, tức là x = $-2-\sqrt{5}$ và x = $-2+\sqrt{5}$.

Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được đồ thị hàm số cần vẽ.

Từ đồ thị hàm số ta có:

+ Tập giá trị của hàm số là (– ∞; 5].

+ Hàm số đồng biến trên khoảng (– ∞; – 2) và nghịch biến trên khoảng (– 2; + ∞).  

c) Đồ thị hàm số: y = x² + 4x.

Ta có: hệ số a = 1 > 0 nên bề lõm của đồ thị quay lên trên.

Parabol trên có:

- Tọa độ đỉnh I(– 2; – 4);

- Trục đối xứng x = – 2;

- Cắt trục Oy tại điểm gốc tọa độ O(0; 0);

- Điểm đối xứng với O qua trục đối xứng x = – 2 là điểm (– 4; 0);

- Lấy các điểm (– 1; – 3), (– 3; – 3) thuộc parabol.

Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được đồ thị cần vẽ.

Từ đồ thị hàm số ta có:

+ Tập giá trị của hàm số là [– 4; + ∞).

+ Hàm số nghịch biến trên khoảng (– ∞; – 2) và đồng biến trên khoảng (– 2; + ∞).

d) Đồ thị hàm số: y = 2x² + 2x + 1.

Ta có: hệ số a = 2 > 0 nên bề lõm của đồ thị quay lên trên.

Parabol trên có:

- Tọa độ đỉnh I$\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$;

- Trục đối xứng x = $-\frac{1}{2}$;

- Giao với trục Oy tại điểm (0; 1), điểm này có điểm đối xứng qua trục đối xứng x = $-\frac{1}{2}$ là (– 1; 1);

- Lấy các điểm (1; 5) và (– 2; 5) thuộc đồ thị.

Vẽ đường cong đi qua các điểm đã cho ta được đồ thị cần vẽ.

Từ đồ thị hàm số ta có:

+ Tập giá trị của hàm số là $\left[\frac{1}{2};+\infty \right)$.

+ Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;-\frac{1}{2}\right)$ và đồng biến trên khoảng $\left(-\frac{1}{2};+\infty \right)$.

Bài 6.31 trang 28 Toán 10 Tập 2: Xác định parabol (P): y = ax² + bx + 3 trong mỗi trường hợp sau:

a) (P) đi qua hai điểm A(1; 1) và B(– 1; 0);

b) (P) đi qua điểm M(1; 2) và nhận đường thẳng x = 1 làm trục đối xứng;

c) (P) có đỉnh là I(1; 4).

Lời giải

Điều kiện: a ≠ 0.

a) (P) đi qua điểm A(1; 1) nên thay tọa độ điểm A vào hàm số y = ax² + bx + 3 ta được:

1 = a . 1² + b . 1 + 3 ⇔ a + b = – 2 ⇔  a = – 2 – b (1).

(P) đi qua điểm B(– 1; 0) nên thay tọa độ điểm B vào hàm số y = ax² + bx + 3 ta được:

0 = a . (– 1)² + b . (– 1) + 3 ⇔ a – b = – 3 ⇔  a = – 3 + b (2).

Từ (1) và (2) suy ra: – 2 – b = – 3 + b ⇔ 2b = 1 ⇔ b = $\frac{1}{2}$.

Do đó, a = – 2 – $\frac{1}{2}$ = $-\frac{5}{2}$.

Vậy phương trình parabol (P): $y=-\frac{5}{2}{x}^2+\frac{1}{2}x+3$.

b) (P) đi qua điểm M(1; 2) nên thay tọa độ điểm M vào hàm số y = ax² + bx + 3 ta được:

2 = a . 1² + b . 1 + 3 ⇔ a + b = – 1 ⇔  a = – 1 – b (3).

(P) nhận đường thẳng x = 1 làm trục đối xứng nên $\frac{-b}{2a}=1\iff 2a=-b\iff a=-\frac{1}{2}b$  (4).

Từ (3) và (4) suy ra: $-1-b=-\frac{1}{2}b\iff \frac{1}{2}b=-1\iff b=-2$.  

Do đó, a = – 1 – (– 2) = 1.

Vậy phương trình parabol (P): y = x² – 2x + 3.

c) (P) có đỉnh là I(1; 4) hay (P) đi qua điểm I(1; 4) nên thay tọa độ điểm I vào hàm số y = ax² + bx + 3 ta được:

4 = a . 1² + b . 1 + 3 ⇔ a + b = 1 ⇔ a = 1 – b    (5).

Vì I là đỉnh của (P) nên $\frac{-b}{2a}=1\iff 2a=-b\iff a=-\frac{1}{2}b$   (6).

Từ (5) và (6) suy ra: 1 – b = $-\frac{1}{2}b$$\iff \frac{1}{2}b=1\iff b=2$.

Do đó, a = 1 – b = 1 – 2 = – 1.

Vậy phương trình parabol (P): y = – x² + 2x + 3.

Bài 6.32 trang 28 Toán 10 Tập 2: Giải các bất phương trình sau:

a) 2x² – 3x + 1 > 0;

b) x² + 5x + 4 < 0;

c) – 3x² + 12x – 12 ≥ 0;

d) 2x² + 2x + 1 < 0.

Lời giải

a) Tam thức bậc hai f(x) = 2x² – 3x + 1 có ∆ = (– 3)² – 4 . 2 . 1 = 1 > 0  nên f(x) có hai nghiệm x₁ = $\frac{1}{2}$ và x₂ = 1.

Mà hệ số a = 2 > 0 nên ta có bảng xét dấu f(x):

Vậy bất phương trình 2x² – 3x + 1 > 0 có tập nghiệm là S = $\left(-\infty ;\frac{1}{2}\right)\cup \left(1;+\infty \right)$.

b) Tam thức bậc hai f(x) = x² + 5x + 4 có ∆ = 5² – 4 . 1 . 4 = 9 > 0 nên f(x) có hai nghiệm x₁ = – 4 và x₂ = – 1.

Mà hệ số a = 1 > 0 nên ta có bảng xét dấu f(x):

Vậy bất phương trình x² + 5x + 4 < 0 có tập nghiệm là S = (– 4; – 1).

c) Tam thức bậc hai f(x) = – 3x² + 12x – 12 có ∆' = 6² – (– 3) . (– 12) = 0 nên f(x) có nghiệm kép x = 2.

Mà hệ số a = – 3 < 0 nên f(x) luôn âm (cùng dấu với a) với mọi x ≠ 2.

Vậy bất phương trình – 3x² + 12x – 12 ≥ 0 có nghiệm duy nhất x = 2 hay tập nghiệm của bất phương trình là S = {2}.

d) Tam thức bậc hai f(x) = 2x² + 2x + 1 có ∆' = 1² – 2 . 1 = – 1 < 0, hệ số a = 2 > 0 nên f(x) luôn dương (cùng dấu với a) với mọi x, tức là 2x² + 2x + 1 > 0 với mọi x ∈ ℝ.

Vậy bất phương trình 2x² + 2x + 1 < 0 vô nghiệm.  

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Giải Toán 10 trang 28 Tập 2

Giải Toán 10 trang 29 Tập 2

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Bài 19: Phương trình đường thẳng

Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách.

Bài 21: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Bài 22: Ba đường Conic

Bài tập cuối chương 7