Giải SBT Toán 10 trang 82 Tập 2 Cánh diều

Giải SBT Toán 10 trang 82 Tập 2 Cánh diều

Bài 38 trang 82 SBT Toán 10 Tập 2: Cho ${\Delta }_1:\left\{\begin{array}{c}x=-2+\sqrt{3}t\\ y=1-t\end{array}\right.$  và ${\Delta }_2:\left\{\begin{array}{c}x=-1+\sqrt{3}t\text{'}\\ y=2+t\text{'}\end{array}\right.$ . Số đo góc giữa hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ là:

A. 30⁰;

B. 45⁰;

C. 90⁰;

D. 60⁰.

Lời giải:

Ta thấy vectơ chỉ phương của ${\Delta }_1$  là:  $\overrightarrow{u_1}=\left(\sqrt{3};-1\right)$

Vectơ chỉ phương của ${\Delta }_2$  là: $\overrightarrow{u_2}=\left(\sqrt{3};1\right)$

Ta có: cos $\left(\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right)=\frac{\overrightarrow{u_1}.\overrightarrow{u_2}}{\left|\overrightarrow{u_1}\right|.\left|\overrightarrow{u_2}\right|}=\frac{\sqrt{3}.\sqrt{3}+\left(-1\right).1}{\sqrt{3+1}.\sqrt{3+1}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$   

Suy ra góc giữa 2 đường thẳng chính là góc nhọn giữa 2 vectơ chỉ phương của 2 đường thẳng đó.

Do đó $\left({\Delta }_1,{\Delta }_2\right)=\left(\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right)={60}^o$

Vậy chọn đáp án D.

Bài 39 trang 82 SBT Toán 10 Tập 2: Khoảng cách từ điểm M(5; - 2) đến đường thẳng ∆: - 3x + 2y + 6 = 0 là:

A. 13;

B. $\sqrt{13}$ ;

C. $\frac{\sqrt{13}}{13}$ ;

D. $2\sqrt{13}$ .

Lời giải:

Áp dụng công thức ta có:

d(M, ∆)=  $\frac{\left|\left(-3\right).5+2.\left(-2\right)+6\right|}{\sqrt{{\left(-3\right)}^2+2^2}}=\frac{13}{\sqrt{13}}=\sqrt{13}$

Vậy chọn đáp án B.

Bài 40 trang 82 SBT Toán 10 Tập 2: Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau:

a) d₁: 2x – 3y + 5 = 0 và d₂: 2x + y – 1 = 0;

b) $d_3:\left\{\begin{array}{c}x=-1-3t\\ y=3+t\end{array}\right.$  và d₄: x + 3y – 5 = 0;

c) $d_5:\left\{\begin{array}{c}x=2-2t\\ y=-1+t\end{array}\right.$  và  $d_6:\left\{\begin{array}{c}x=-2+2t\text{'}\\ y=1-t\text{'}\end{array}\right.$.

Lời giải:

a) Vectơ pháp tuyến của $d_1$  là: $\overrightarrow{n_1}=\left(2;-3\right)$  

Vectơ pháp tuyến của $d_2$  là: $\overrightarrow{n_2}=\left(2;1\right)$

Ta có: $\frac{2}{2}\ne \frac{-3}{1}$  suy ra hai vectơ $\overrightarrow{n_1}$  và $\overrightarrow{n_2}$  không cùng phương.

Do đó $d_1$  và $d_2$  cắt nhau.

b) Vectơ chỉ phương của $d_3$  là: $\overrightarrow{u_3}=\left(-3;1\right)$  nên vectơ pháp tuyến của $d_3$  là: $\overrightarrow{n_3}=\left(1;3\right)$ .

Vectơ pháp tuyến của $d_4$  là: $\overrightarrow{n_4}=\left(1;3\right)$

Ta có $\overrightarrow{n_3}=\overrightarrow{n_4}$ nên $\overrightarrow{n_3}$  và $\overrightarrow{n_4}$  cùng phương hay d₃ song song hoặc trùng d­₄.

Lấy điểm A(-1; 3) thuộc $d_4$ .

Thay tọa độ A(-1; 3) vào  ta có: - 1 + 3.3 – 5 = 3 = 0 (vô lí).

Suy ra A(-1; 3) không thuộc $d_4$ .

Vậy 2 đường thẳng trên song song.

c) Vectơ chỉ phương của $d_5$  là  $\overrightarrow{u_5}=\left(-2;1\right)$

Vectơ chỉ phương của $d_6$  là $\overrightarrow{u_6}=\left(2;-1\right)$

Ta thấy $\overrightarrow{u_5}=\left(-1\right).\overrightarrow{u_6}$  nên 2 vectơ $\overrightarrow{u_5}$  và  $\overrightarrow{u_6}$ cùng phương. Do đó hai đường thẳng d₅ và d₆ song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm M(2; -1) thuộc đường thẳng d₅. Thay tọa độ điểm M vào phương trình tham số của $d_6$  ta có:

$\left\{\begin{array}{l}2=-2+2t\text{'}\\ -1=1-t\text{'}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}t\text{'}=2\\ t\text{'}=2\end{array}\right.\iff t\text{'}=2$

Suy ra M thuộc $d_6$ .

Vậy d₅ trùng d₆.

Bài 41 trang 82 SBT Toán 10 Tập 2: Tìm số đo góc giữa hai đường thẳng của mỗi cặp đường thẳng sau:

a) ∆₁: 3x + y – 5 = 0 và ∆₂: x + 2y – 3 = 0;

b) ${\Delta }_3:\left\{\begin{array}{c}x=2+\sqrt{3}t\\ y=-1+3t\end{array}\right.$  và ${\Delta }_4:\left\{\begin{array}{c}x=3-\sqrt{3}t\text{'}\\ y=-t\text{'}\end{array}\right.$ ;

c) ${\Delta }_5:-\sqrt{3}x+3y+2=0$  và ${\Delta }_6:\left\{\begin{array}{c}x=3t\\ y=1-\sqrt{3}t\end{array}\right.$ .

Lời giải:

a) Vectơ pháp tuyến của ${\Delta }_1$  là  $\overrightarrow{n_1}=\left(3;1\right)$

Vectơ pháp tuyến của ${\Delta }_2$  là $\overrightarrow{n_2}=\left(1;2\right)$

Góc giữa 2 đường thẳng là:

 $\cos \left({\Delta }_1,{\Delta }_2\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}\right)\right|=\frac{\left|3.1+1.2\right|}{\sqrt{3^2+1^2}.\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{5}{\sqrt{10}.\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

Suy ra $\left({\Delta }_1,{\Delta }_2\right)={45}^o$ .

b) Vectơ chỉ phương của ${\Delta }_3$  là  $\overrightarrow{u_3}=\left(\sqrt{3};3\right)$

Vectơ chỉ phương của ${\Delta }_4$  là $\overrightarrow{u_4}=\left(-\sqrt{3};-1\right)$

Góc giữa 2 đường thẳng là:

 $\cos \left({\Delta }_1,{\Delta }_2\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{u_3},\overrightarrow{u_4}\right)\right|=\frac{\left|\sqrt{3}.\left(-\sqrt{3}\right)+3.\left(-1\right)\right|}{\sqrt{{\left(\sqrt{3}\right)}^2+3^2}.\sqrt{{\left(-\sqrt{3}\right)}^2+{\left(-1\right)}^2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Suy ra $\left({\Delta }_3,{\Delta }_4\right)={30}^o$ .

c) Vectơ pháp tuyến của ${\Delta }_5$  là  $\overrightarrow{n_5}=\left(-\sqrt{3};3\right)$

Vectơ chỉ phương của ${\Delta }_6$  là $\overrightarrow{u_6}=\left(3;-\sqrt{3}\right)$  nên vectơ pháp tuyến của ${\Delta }_6$  là $\overrightarrow{n_6}=\left(\sqrt{3};3\right)$ .

Góc giữa 2 đường thẳng là:

 $\cos \left({\Delta }_1,{\Delta }_2\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{n_5},\overrightarrow{n_6}\right)\right|=\frac{\left|\left(-\sqrt{3}\right).\sqrt{3}+3.3\right|}{\sqrt{{\left(-\sqrt{3}\right)}^2+3^2}.\sqrt{{\left(\sqrt{3}\right)}^2+3^2}}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$

Suy ra $\left({\Delta }_1,{\Delta }_2\right)={60}^o$ .

Bài 42 trang 82 SBT Toán 10 Tập 2: Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong các trường hợp sau:

a) A(- 3; 1) và ∆₁: 2x + y – 4 = 0;

b) B(1; - 3) và ${\Delta }_2:\left\{\begin{array}{c}x=-3+3t\\ y=1-t\end{array}\right.$ .

Lời giải:

a) Ta có: vectơ pháp tuyến của đường thẳng ${\Delta }_1$  là  $\overrightarrow{n_1}=\left(2;1\right)$

Suy ra $d\left(A,{\Delta }_1\right)=\frac{\left|2.\left(-3\right)+1-4\right|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{9}{\sqrt{5}}$ .

b) ${\Delta }_2$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_2}=\left(3;-1\right)$  và đi qua điểm A(-3; 1).

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng là: $\overrightarrow{n_2}=\left(1;3\right)$ .

Suy ra phương trình đường thẳng ${\Delta }_2$  là: x + 3 + 3( y – 1) = 0 hay x + 3y = 0

$d\left(B,{\Delta }_2\right)=\frac{\left|1+3.\left(-3\right)\right|}{\sqrt{1^2+3^2}}=\frac{8}{\sqrt{10}}$.

Bài 43 trang 82 SBT Toán 10 Tập 2: Cho hai đường thẳng song song ∆₁: ax + by + c = 0 và ∆₂: ax + by + d = 0. Chứng minh rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ bằng $\frac{\left|d-c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ .

Lời giải:

Gọi M $\left(x_0;y_0\right)$ thuộc ∆₁  nên $a{x}_0+b{y}_0+c=0$ .

Khoảng cách giữa ∆₁  đến ∆₂  bằng khoảng cách từ M đến ∆₂  bằng

$d\left(M,{\Delta }_2\right)=\frac{\left|a{x}_0+b{y}_0+d\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{\left|a{x}_0+b{y}_0+c+d-c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{\left|d-c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$.

Vậy bài toán được chứng minh.

Bài 44 trang 82 SBT Toán 10 Tập 2: Cho hai đường thẳng ∆₁: mx – 2y – 1 = 0 và ∆₂: x – 2y + 3 = 0. Với giá trị nào của tham số m thì:

a) ∆₁ // ∆₂;

b) ∆₁ ⊥ ∆₂.

Lời giải:

Vectơ pháp tuyến của ∆₁  là: $\overrightarrow{n_1}=\left(m;-2\right)$ ;

Vectơ pháp tuyến của ∆₂  là: $\overrightarrow{n_2}=\left(1;-2\right)$ .

a) ∆₁ // ∆₂ khi $\overrightarrow{n_1}$  cùng phương với  $\overrightarrow{n_2}$

hay  $\frac{m}{1}=\frac{-2}{-2}\iff m=1$ .

Thay m = 1 vào lần lượt hai đường thẳng ∆₁ ta được: x – 2y – 1 = 0.

Lấy M(– 1; 1) thuộc ∆₂, thay x = – 1 và y = 1 vào ∆₁, ta được: – 1 – 2.1 – 1 = 0 (vô lí). Do đó M không thuộc ∆₁.

Vậy m = 1 thỏa mãn để ∆₁ // ∆₂.

b) ∆₁ vuông góc ∆₂ khi $\overrightarrow{n_1}$  vuông góc với $\overrightarrow{n_2}$  hay $\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}=0$

⇔ m.1 + (-2).(-2) = 0 ⇔  m = - 4.

Vậy với m= – 4 thì ∆₁ vuông góc ∆₂.

Bài 45 trang 82 SBT Toán 10 Tập 2: Cho ba điểm A(- 2; 2), B(4; 2), C(6; 4). Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua B đồng thời cách đều A và C?

Lời giải:

 cách đều A và C khi và chỉ khi đi qua trung điểm của AC hoặc song song với AC.

TH1: ∆ là đi qua trung điểm của AC

Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB nên tọa độ điểm M là M(2; 3).

Vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là:  $\overrightarrow{MB}=\left(2;-1\right)$

Suy ra vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ là:  $\overrightarrow{n}=\left(1;2\right)$

Do đó phương trình đường thẳng  là: x – 2 + 2(y – 3) = 0 ⇔ x + 2y – 8 = 0

TH2: ∆  song song với AC.

Vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆  là: $\overrightarrow{AC}=\left(8;2\right)$  nên vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆  là:  $\overrightarrow{n}=\left(1;-4\right)$

Phương trình đường thẳng ∆  là: x – 4 – 4(y – 2) = 0 ⇔ x – 4y + 4 = 0.

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác: 

Giải SBT Toán 10 trang 81 Tập 2

Giải SBT Toán 10 trang 83 Tập 2