Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng

Giải SBT Toán lớp 10 Bài 17: Dấu của tam thức bậc hai

Bài 6.27 trang 19 SBT Toán 10 Tập 2: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

b²x² – (b² + c² – a²)x + c² > 0, ∀x ∈ ℝ.

Lời giải:

Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên a, b, c > 0.

Coi f(x) = b²x² – (b² + c² – a²)x + c²  là một tam thức bậc hai ẩn x dạng f(x) = Ax² + Bx + C.

Xét phương trình bậc hai b²x² – (b² + c² – a²)x + c²  = 0 có:

A = b² > 0 (vì b là độ dài cạnh của tam giác)

∆ = B² – 4AC = [– (b² + c² – a²)]² – 4.b².c²

= (b² + c² – a²)² – (2bc)²  

= (b² + c² – a² – 2bc)(b² + c² – a²  + 2bc)

= [(b – c)² – a²][(b + c)² – a²]

= (b – c – a)(b – c + a)(b + c – a)(b + c + a)

Vì a, b, c là ba cạnh của tam giác nên ta có:

a + b – c > 0

b + c – a > 0

b + c + a > 0

b – c – a = b – (c + a) < 0

Do đó ∆ < 0.

Vậy b²x² – (b² + c² – a²)x + c² > 0, ∀x ∈ ℝ (điều cần phải chứng minh).

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác: 

Bài 6.21 trang 18 SBT Toán 10 Tập 2: Xét dấu các tam thức bậc hai sau: a) f(x) = –x² + 6x + 7...

Bài 6.22 trang 18 SBT Toán 10 Tập 2: Giải các bất phương trình sau: a) 3x² – 36x + 108  > 0...

Bài 6.23 trang 18 SBT Toán 10 Tập 2: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình – 2(m – 1)x + 4 – m = 0...

Bài 6.24 trang 18 SBT Toán 10 Tập 2: Tìm các giá trị của tham số m để a) –x² + (m + 1)x – 2m + 1 ≤ 0...

Bài 6.25 trang 18 SBT Toán 10 Tập 2: Một công ty đồ gia dụng sản xuất bình đựng nước thấy rằng...

Bài 6.26 trang 18 SBT Toán 10 Tập 2: Một viên đạn pháo được bắn ra khỏi nòng pháo với vận tốc ban đầu 500 m/s...