Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(–3; 0), B(1; –2) và đường thẳng d: x + y – 1 = 0

Giải SBT Toán 10 Kết nối tri thức Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách

Bài 7.17 trang 38 SBT Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(–3; 0), B(1; –2) và đường thẳng d: x + y – 1 = 0.

a) Chứng minh rằng hai điểm A và B nằm cùng phía so với đường thẳng d.

b) Điểm M thay đổi trên đường thẳng d. Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác ABM.

Lời giải:

a)

Ta có (–3 + 0 – 1).(1 – 2 – 1) = 8 > 0 nên theo tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn ta có A, B nằm cùng phía so với đường thẳng d.

b)

Dựa vào phương trình đường thẳng d ta có:

x + y – 1 = 0

⇔ y = 1 – x

Do M thuộc đường thẳng d nên toạ độ của điểm M có dạng M(t; 1– t).

Chu vi tam giác ABM là: AB + MA + MB

Mà AB luôn không đổi nên chu vi tam giác ABM nhỏ nhất khi và chỉ khi MA + MB nhỏ nhất.

Lấy A’ đối xứng với A qua đường thẳng d. Khi đó ta có:

MA + MB = MA’ + MB ≥ A’B

Dấu bằng xảy ra khi M = A’B ∩ d

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên d. Khi đó AH đi qua điểm A(–3;0) và nhận vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_d}=\left(1;-1\right)$  của đường thẳng d là vectơ pháp tuyến nên phương trình của AH là:

1(x + 3) – 1(y – 0) = 0

⇔ x – y + 3  = 0

Vậy toạ độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình

$\left\{\begin{array}{c}x+y-1=0\\ x-y+3=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x+y=1\\ x-y=-3\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=2\end{array}\right.\right.$

Suy ra H(–1; 2). Mặt khác, H là trung điểm của AA’ nên ta có:

x_H = (x_A + x_A’) : 2 ⇔  x_{A’ ­­­­­­}= 2x_H – x_A = 2.(–1) – (–3) = 1

y_H = (y_A + y_A’) : 2 ⇔  y_{A’ ­­­­­­}= 2y_H – y_A = 2.2 – 0 = 4

Do đó, ta có A’(1; 4)

Ta có $\overrightarrow{A\text{'}B}=\left(0;-6\right)$  là một vectơ chỉ phương của đường thẳng A’B. Do đó A’B là đường thẳng đi qua đểm A’(1; 4) và nhận $\overrightarrow{n}=\left(1;0\right)$  là một vectơ pháp tuyến. Phương trình của đường thẳng A’B là:

1(x – 1) + 0(y – 4) = 0

⇔ x – 1 = 0

Vậy toạ độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình

$\left\{\begin{array}{c}x+y-1=0\\ x-1=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}1+y-1=0\\ x=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=0\end{array}\right.$

Do đó ta có M(1; 0).

Xem thêm các bài giải sách giáo khoa Toán 10 bộ sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 7.10 trang 37 SBT Toán 10 Tập 2: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau... 

Bài 7.11 trang 38 SBT Toán 10 Tập 2: Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau... 

Bài 7.12 trang 38 SBT Toán 10 Tập 2: Cho hai đường thẳng d: 2x + y + 1 = 0 và k: 2x + 5y – 3 = 0... 

Bài 7.13 trang 38 SBT Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng Oxy, tìm điểm M thuộc trục Ox sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng... 

Bài 7.14 trang 38 SBT Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆: 2x + y – 5 = 0... 

Bài 7.15 trang 38 SBT Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A(2; –1), B(2; –2) và C(0; –1)... 

Bài 7.16 trang 38 SBT Toán 10 Tập 2: Cho đường thẳng d: x – 2y + 1 = 0 và điểm A(–2; 2)... 

Bài 7.18 trang 39 SBT Toán 10 Tập 2: Trong một hoạt động ngoại khoá của trường, lớp Việt định mở một gian hàng bán bánh mì...