30 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bài tập Cực trị hàm số cơ bản, nâng cao có lời giải (P1)

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị như hình vẽ

Đồ thị hàm số $y = f (x)$ có mấy điểm cực trị?

A. 2

B. 1.

C. 0

D. 3

Xem đáp án

Chọn A

Câu 2:

Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đạt cực đại tại x = 2.

B. Hàm số đạt cực đại tại x = 3.

C. Hàm số đạt cực đại tại x = 4

D. Hàm số đạt cực đại tại x = -2

Xem đáp án

Chọn A

Câu 3:

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 2$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đạt cực đại tại x = 2 và đạt cực tiểu tại x = 0

B. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và đạt cực đại x = 0.

C. Hàm số đạt cực đại tại x = -2 và cực tiểu tại x = 0.

D. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và cực tiểu tại x = -2

Xem đáp án

Ta có: y = x³ – 3x² + 2

$\Rightarrow$ y’ = 3x² – 6x

Xét y’ = 0 khi đó 3x² – 6x = 0 $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 \end{array}$

Vì a = 1 > 0 nên x = 0 là điểm cực đại, x = 2 là điểm cực tiểu.

Chọn B

Câu 4:

21/07/2024

Cho hàm số $y = x^{4} - 2 x^{2} + 3$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số có ba điểm cực trị

B. Hàm số chỉ có đúng 2 điểm cực trị

C. Hàm số không có cực trị

D. Hàm số chỉ có đúng một điểm cực trị

Xem đáp án

Chọn A

$y (0) = 3; y (1) = y (- 1) = 2$ nên hàm số có hai cực trị

Câu 5:

21/07/2024

Biết đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3 x + 1$ có hai điểm cực trị A,B . Khi đó phương trình đường thẳng AB là

A. y = x -2

B. y = 2x -1

C. y = -2x +1

D. y = -x + 2

Xem đáp án

Ta có: y’ = 3x² – 3 = 0

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \Rightarrow y = - 1 \\ x = - 1 \Rightarrow y = 3 \end{array}$

$\Rightarrow$ A(- 1;3) và B(1; -1)

Khi đó: $\vec{A B} (2; - 4)$

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị A, B là:

4(x + 1) + 2(y – 3) = 0

$\Rightarrow$ y = -2x + 1.

Vậy phương trình đi qua hai điểm cực trị là y = - 2x + 1.

Chọn C.

Câu 6:

Gọi $M, n$ lần lượt là giá trị cực đại, giá trị cực tiểu của hàm số $y = \frac{x^{2} + 3 x + 3}{x + 2}$ . Khi đó giá trị của biểu thức $M^{2} - 2 n$ bằng

A. 8.

B. 7

C. 9

D. 6

Xem đáp án

Chọn B

Hàm số đạt cực đại tại x=-3 và y $y_{C D} = - 3$

Hàm số đạt cực tiểu tại x=-1 và $y_{C T} = 1$

$\Rightarrow M^{2} - 2 n = 7$

Phương pháp trắc nghiệm:

Bấm máy tính:

Bước 1

Bước 2: Giải phương trình bậc hai :

Bước 3: Nhập vào máy tính

Cacl $x = A \to C$

Cacl $x = B \to D$

Bước 4: Tính $C^{2} - 2 D = 7$

Câu 7:

Cho hàm số $y = x^{3} + 17 x^{2} - 24 x + 8$ . Kết luận nào sau đây là đúng?

A. $x_{C D} = 1$

B. $x_{C D} = \frac{2}{3}$

C. $x_{C D} = - 3$

D. $x_{C D} = - 12$

Xem đáp án

Chọn D

Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x= -12

Câu 8:

Cho hàm số $y = 3 x^{4} - 6 x^{2} + 1$ . Kết luận nào sau đây là đúng?

A. $y_{C D} = - 2$

B. $y_{C D} = 1$

C. $y_{C D} = - 1$

D. $y_{C D} = 2$

Xem đáp án

Chọn B

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và $y_{C D} = 1$

Câu 9:

Trong các hàm số sau, hàm số nào đạt cực đại tại $x = \frac{3}{2}$ ?

A. $y = \frac{1}{2} x^{4} - x^{3} + x^{2} - 3 x$

B. $y = \sqrt{- x^{2} + 3 x - 2}$

C. $y = \sqrt{4 x^{2} - 12 x - 8}$

D. $y = \frac{x - 1}{x + 2}$

Xem đáp án

Chọn B

Hàm số $y = \sqrt{- x^{2} + 3 x - 2}$ có $y^{'} = \frac{- 2 x + 3}{2 \sqrt{- x^{2} + 2 x - 2}}$ và $y^{'}$ đổi dấu từ "+" sang "-"

khi x chạy qua $\frac{3}{2}$ nên hàm số đạt cực đại tại $x = \frac{3}{2}$ .

Dùng casio kiểm tra: $\{\begin{cases} y^{'} (\frac{3}{2}) = 0 \\ y^{''} (\frac{3}{2}) < 0 \end{cases}$ thì hàm số đạt cực đại tại $x = \frac{3}{2}$ .

Câu 10:

Trong các hàm số sau, hàm số nào chỉ có cực đại mà không có cực tiểu?

A. $y = - 10 x^{4} - 5 x^{2} + 7$

B. $y = - 17 x^{3} + 2 x^{2} + x + 5$

C. $y = \frac{x - 2}{x + 1}$

D. $y = \frac{x^{2} + x + 1}{x - 1}$

Xem đáp án

Chọn A

Hàm số $y = - 10 x^{4} - 5 x^{2} + 7$ có $y^{'} = - 40 x^{3} - 10 x = 0$

$\Leftrightarrow x = 0$ và $y^{''} (0) = - 10 < 0$ nên hàm số đạt cực đại tại x = 0

Câu 11:

Cho hàm số $y = \frac{3 x^{2} + 13 x + 19}{x + 3}$ . Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số có phương trình là

A. 5x - 2y +13 = 0

B. y =3x +13

C. y = 6x +13

D. 2x +4y -1 = 0

Xem đáp án

Chọn C

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là y =6x +13 .

Phương pháp trắc nghiệm:

Tại điểm cực trị của đồ thị hàm số phân thức ,

ta có: $\frac{f (x)}{g (x)} = \frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)}$

Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là

Câu 12:

Cho hàm số $y = \sqrt{x^{2} - 2 x}$ . Khẳng định nào sau đây là đúng

A. Hàm số có hai điểm cực trị

B. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0

C. Hàm số đạt cực đại x = 2

D. Hàm số không có cực trị

Xem đáp án

Chọn D

$y^{'}$ không đổi dấu trên các khoảng xác định nên hàm số không có cực trị

Câu 13:

Cho hàm số $y = x^{7} - x^{5}$ . Khẳng định nào sau đây là đúng

A. Hàm số có đúng 1 điểm cực trị

B. Hàm số có đúng 3 điểm cực trị

C. Hàm số có đúng hai điểm cực trị

D. Hàm số có đúng 4 điểm cực trị

Xem đáp án

Chọn C

$y^{'}$ chỉ đổi dấu khi x chạy qua $\pm \sqrt{\frac{5}{7}}$ nên hàm số có hai điểm cực trị

Câu 14:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm $f^{'} (x) = (x + 1) {(x - 2)}^{2} {(x - 3)}^{3} {(x + 5)}^{4}$ . Hỏi hàm số $y = f (x)$ có mấy điểm cực trị?

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

Xem đáp án

Chọn A

$f' (x)$ đổi dấu khi x chạy qua -1 và 3 nên hàm số có 2 điểm cực trị.

Câu 15:

14/07/2024

Cho hàm số $y = \sqrt[3]{x^{2} - 2 x}$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đạt cực tiểu tại x =1

B. Hàm số đạt cực đại tại x =1

C. Hàm số không có điểm cực trị

D. Hàm số có đúng 2 điểm cực trị

Xem đáp án

Chọn C

y' = 0 <=> x = 1

Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 1.

Câu 16:

Cho hàm số $y = - x^{3} + 3 x^{2} + 6 x$ . Hàm số đạt cực trị tại hai điểm $x_{1}, x_{2}$ .Khi đó giá trị của biểu thức $S = {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2}$ bằng:

A. -10.

B. -8.

C.10.

D. 8.

Xem đáp án

Chọn D

$D = ℝ$

Phương trình $y^{'} = 0$ luôn có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ và $y^{'}$ đổi dấu khi $x$ chạy qua $x_{1}, x_{2}$

nên hàm số đạt cực trị tại $x_{1}, x_{2}$ .

Phương pháp trắc nghiệm:

Bước 1: Giải phương trình bậc hai :

Bước 2: Tính $A^{2} + B^{2} = 8$

Câu 17:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm trên . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.Nếu đạo hàm đổi dấu khi $x$ chạy qua $x_{0}$ thì hàm số đạt cực tiểu tại $x_{0}$

B. Nếu $f^{'} (x_{0}) = 0$ thì hàm số đạt cực trị tại $x_{0}$

C.Nếu hàm số đạt cực trị tại $x_{0}$ thì đạo hàm đổi dấu khi $x$ chạy qua $x_{0}$

D. Nếu $f^{'} (x_{0}) = f^{''} (x_{0})$ thì hàm số đạt cực trị tại $x_{0}$

Xem đáp án

Chọn C

Câu 18:

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên $[a, b]$ và $x_{0}$ thuộc đoạn $[a, b]$ . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Hàm số $y = f (x)$ đạt cực trị tại $x_{0}$ thì $f^{''} (x_{0}) < 0$ hoặc $f^{''} (x_{0}) > 0$

B. Hàm số $y = f (x)$ đạt cực trị tại $x_{0}$ thì $f^{''} (x_{0}) = 0$

C.Hàm số $y = f (x)$ đạt cực trị tại $x_{0}$ thì nó không có đạo hàm tại $x_{0}$

D. Nếu hàm số đạt cực trị tại $x_{0}$ thì hàm số không có đạo hàm tại $x_{0}$ hoặc $f' (x_{0}) = 0$

Xem đáp án

Chọn D

Câu 19:

21/07/2024

Cho hàm số $y = f (x)$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số $y = f (x)$ đạt cực trị tại $x_{0}$ thì $f^{'} (x_{0}) = 0$

B. Nếu hàm số đạt cực trị tại $x_{0}$ thì hàm số không có đạo hàm tại $x_{0}$ hoặc $f^{'} (x_{0}) = 0$

C. Hàm số $y = f (x)$ đạt cực trị tại $x_{0}$ thì nó không có đạo hàm tại $x_{0}$ .

D. Hàm số $y = f (x)$ đạt cực trị tại $x_{0}$ thì $f^{''} (x_{0}) > 0$ hoặc $f^{''} (x_{0}) < 0$

Xem đáp án

Chọn B

Câu 20:

Cho hàm số $y = f (x)$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Nếu hàm số $y = f (x)$ có giá trị cực đại là M , giá trị cực tiểu là m thì $M > m$

B. Nếu hàm số $y = f (x)$ không có cực trị thì phương trình $f^{'} (x_{0}) = 0$ vô nghiệm

C.Hàm số $y = f (x)$ có đúng hai điểm cực trị thì hàm số đó là hàm bậc ba

D.Hàm số $y = a x^{4} + b x^{2} + c$ với $a \neq 0$ luôn có cực trị

Xem đáp án

Chọn D

Câu 21:

Hàm số bậc ba có thể có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 0 hoặc 1 hoặc 2

B. 1 hoặc 2

C. 0 hoặc 2

D. 0 hoặc 1

Xem đáp án

Chọn C

Hàm số bậc ba: $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d, (a \neq 0)$

Nếu $∆^{'} \leq 0$ thì $y^{'}$ không đổi dấu trên R nên hàm số không có cực trị.

Nếu $∆^{'} > 0$ thì phương trình $y^{'} = 0$ luôn có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ và $y^{'}$ đổi dấu khi x chạy qua $x_{1}, x_{2}$ nên hàm số đạt cực trị tại $x_{1}, x_{2}$

Câu 22:

Cho hàm số $y = f (x) = |x^{2} - 2 x - 4|$ có đồ thị như hình vẽ

Hàm số $y = f (x)$ có mấy cực trị?

A. 4

B. 1

C. 3

D. 2

Xem đáp án

Chọn C

Câu 23:

Cho hàm số $y = f (x)$ . Hàm số $y = f^{'} (x)$ có đồ thị như hình vẽ:

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Đồ thị hàm số $y = f (x)$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt

B. Đồ thị hàm số $y = f (x)$ có hai điểm cực trị

C. Đồ thị hàm số $y = f (x)$ có ba điểm cực trị

D. Đồ thị hàm số $y = f (x)$ có một điểm có một điểm cực trị

Xem đáp án

Chọn C

Câu 24:

Cho hàm số $y = f (x)$ . Hàm số $y = f^{'} (x)$ có đồ thị như hình vẽ

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Hàm số $y = f (x)$ đạt cực đại tại x = 1

B. Đồ thị hàm số $y = f (x)$ có một điểm cực tiểu

C. Hàm số $y = f (x)$ đồng biến trên $(- \infty; 1)$

D. Đồ thị hàm số $y = f (x)$ có hai điểm cực trị

Xem đáp án

Chọn B

Câu 25:

16/07/2024

Cho hàm số $|x^{3} - 3 x - 2|$ có đồ thị như hình vẽ

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Đồ thị hàm số $y = f (x)$ chỉ có điểm cực tiểu và không có điểm cực đại

B. Đồ thị hàm số $y = f (x)$ có một điểm cực tiểu và một điểm cực đại

C. Đồ thị hàm số $y = f (x)$ có bốn điểm cực trị

D.Đồ thị hàm số $y = f (x)$ có một điểm cực đại và hai điểm cực tiểu

Xem đáp án

Chọn D

Câu 26:

Lý thuyết Cực trị của hàm số (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12

Hàm số nào sau đây có đúng hai điểm cực trị?

A. $y = x + \frac{1}{x + 1}$

B. $y = x^{3} + 3 x^{2} + 7 x - x$

C. $y = - x^{4} - 2 x^{2} + 3$

D. $y = x - \frac{2}{x + 1}$

Xem đáp án

Chọn A

$y^{'}$ đổi dấu khi x chạy qua -2 và 0 nên hàm số đã cho có hai điểm cực trị.

Câu 27:

06/11/2024

Hàm số nào sau đây không có cực trị?

A. $y = 2 x + \frac{2}{x + 1}$

B. $y = x^{3} + 3 x^{2}$

C. $y = - x^{4} + 2 x^{2} + 3$

D. $y = \frac{x + 1}{x - 2}$

Xem đáp án

Đáp án đúng: D

*Lời giải:

$\Rightarrow$ nên hàm số không có cực trị

*Phương pháp giải:

- Để xét điểm cực trị hàm số, ta sẽ:

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2. Tínhf'(x). Tìm các điểm tại đó f'(x)bằng 0 hoặc f'(x) không xác định.

Bước 3. Lập bảng biến thiên.

Bước 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

* Các lý thuyết thêm và các dạng bài toán về cực trị hàm số:

1.Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x)xác định và liên tục trên khoảng (a;b) (có thể a là -∞; b là +∞) và điểm x0∈(a;b).

Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x)< f(x0 ) với mọi x ∈ (x0 - h;x0 + h) và x≠x_0 thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x0.

Nếu tồn tại số h >0 sao cho f(x) >f(x0 ) với mọi x ∈ (x0 - h;x0 + h) và x ≠ x0 thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x0.

2.Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: Giả sử hàm số y=f(x) liên tục trên

K=(x0 - h;x0 + h)và có đạo hàm trên K hoặc trên K\{x0}, với h >0.

Nếu f'(x)> 0 trên khoảng (x0 - h;x0) và f'(x) <0 trên (x0;x0 + h) thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x).

Nếu f'(x) < 0 trên khoảng (x0 - h;x0) và f'(x) >0 trên (x0;x0+ h) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).

Minh họa bằng bảng biến thiến

Chú ý.

Nếu hàm sốy=f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f(x0) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là fCÑ (fCT), còn điểm M(x0;f(x0)) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.

Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.

DẠNG 1:Tìm cực trị của hàm số

Quy tắc 1:

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2. Tínhf'(x). Tìm các điểm tại đó f'(x)bằng 0 hoặc f'(x) không xác định.

Bước 3. Lập bảng biến thiên.

Bước 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

Quy tắc 2:

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2. Tính f'(x). Giải phương trình f'(x)và ký hiệuxi (i=1,2,3,...)là các nghiệm của nó.

Bước 3. Tính f''(x) và f''(xi ) .

Bước 4. Dựa vào dấu của f''(xi )suy ra tính chất cực trị của điểm xi.

DẠNG 2:Tìm tham số m để hàm số đạt cực trị tại một điểm

Trong dạng toán này ta chỉ xét trường hợp hàm số có đạo hàm tại x0.

Khi đó để giải bài toán này, ta tiến hành theo hai bước.

Bước 1. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị tại x0 là y'(x0) = 0, từ điều kiện này ta tìm được giá trị của tham số .

Bước 2. Kiểm lại bằng cách dùng một trong hai quy tắc tìm cực trị ,để xét xem giá trị của tham số vừa tìm được có thỏa mãn yêu cầu của bài toán hay không?

DẠNG 3:Biện luận theo m số cực trị của hàm số

1. Cực trị của hàm số bậc ba

Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d, a ≠ 0.

y' = 0 ⇔ 3ax2 + 2bx + c = 0 (1) ; Δ'y' = b2 - 3ac

 Phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép thì hàm số đã cho không có cực trị.

 Hàm số bậc 3 không có cực trị ⇔ b2 - 3ac ≤ 0

 Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì hàm số đã cho có 2 cực trị.

 Hàm số bậc 3 có 2 cực trị ⇔ b2 - 3ac > 0

2. Cực trị của hàm số bậc bốn trùng phương

Cho hàm số: y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) có đồ thị là (C).

y' = 4ax3 + 2bx; y' = 0 ⇔

 (C)có một điểm cực trị y' = 0 có 1 nghiệm x = 0 ⇔ -b/2a ≤ 0 ⇔ ab ≥ 0.

 (C)có ba điểm cực trị y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ -b/2a > 0 ⇔ ab < 0.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Cực trị của hàm số và cách giải các dạng bài tập (2024) mới nhất

Trắc nghiệm Cực trị của hàm số có đáp án (P1) (Vận dụng)

Câu 28:

Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào là khẳng định sai?

A. Đồ thị hàm số $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d, (a \neq 0)$ luôn có cực trị

B. Đồ thị hàm số $y = a x^{3} + b x^{2} + c, (a \neq 0)$ luôn có ít nhất một điểm cực trị

C. Hàm số $y = \frac{a x + b}{c x + d}, (a d - b c \neq 0)$ luôn không có cực trị

D. Đồ thị hàm số $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d, (a \neq 0)$ luôn có hai điểm cực trị

Xem đáp án

Chọn A

Câu 29:

Điểm cực tiểu của hàm số $y = - x^{3} + 3 x + 4$ là

A. x = -1

B. x = 1

C. x = -3

D. x = 3

Xem đáp án

Chọn A

$y^{'}$ đổi dấu từ "-"" sang "+" khi x chạy qua -1 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = -1

Câu 30: