Trong các hàm số sau, hàm số nào chỉ có cực đại mà không có cực tiểu?

Đáp án đúng là  A

Lời giải

Hàm số $y=-10x^4-5x^2+7$ có $y^{\text{'}}=-40x^3-10x=0$ 

$\iff x=0$ và $y^{\text{'}\text{'}}\left(0\right)=-10<0$ nên hàm số đạt cực đại tại x = 0

*Phương pháp giải:

Sử dụng định lí 2

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng (x₀ – h; x₀ + h) với h > 0. Khi đó:

a) Nếu f’(x₀) = 0; f”(x₀) > 0 thì x₀ là điểm cực tiểu;

b) Nếu f’(x₀) = 0; f”(x₀) < 0 thì x₀ là điểm cực đại.

*Lý thuyết:

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) (có thể a là $-\infty$; b là $+\infty$) và điểm x₀$\in$(a; b).

a) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x₀) với mọi x(x₀ – h; x₀ + h) và $x\ne x_0$ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x₀.

b) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x₀) với mọi x$\in$(x₀ – h; x₀ + h) và $x\ne x_0$ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x₀.

- Chú ý:

1. Nếu hàm số f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x₀ thì x₀ được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f(x₀) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số.

Kí hiệu là f_CĐ (f_CT) còn điểm M(x₀; f(x₀)) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.

2. Các điểm cực đại, cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.

3. Dễ dàng chứng minh được rằng, nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b) và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x₀ thì f’(x₀) = 0.

Xem thêm

Lý thuyết Cực trị của hàm số (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12 

TOP 40 câu Trắc nghiệm Cực trị hàm số (có đáp án 2024) - Toán 12