Trong các hàm số sau, hàm số nào đạt cực đại tại $x=\frac{3}{2}$ ?

Đáp án đúng là B

Lời giải

Hàm số $y=\sqrt{-x^2+3x-2}$ có $y^{\text{'}}=\frac{-2x+3}{2\sqrt{-x^2+2x-2}}$ và $y^{\text{'}}$ đổi dấu từ "+" sang "-"

khi x chạy qua $\frac{3}{2}$ nên hàm số đạt cực đại tại $x=\frac{3}{2}$ .

Dùng casio kiểm tra: $\left\{\begin{array}{l}{y}^{\text{'}}\left(\frac{3}{2}\right)=0\\ y^{\text{'}\text{'}}\left(\frac{3}{2}\right)<0\end{array}\right.$ thì hàm số đạt cực đại tại $x=\frac{3}{2}$.

*Phương pháp giải:

1. Tìm tập xác định.

2. Tính f’(x). Tìm các điểm tại đó f’(x) bằng 0 hoặc f’(x) không xác định.

3. Lập bảng biến thiên.

4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

*Lý thuyết:

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) (có thể a là $-\infty$; b là $+\infty$) và điểm x₀$\in$(a; b).

a) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x₀) với mọi x(x₀ – h; x₀ + h) và $x\ne x_0$ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x₀.

b) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x₀) với mọi x$\in$(x₀ – h; x₀ + h) và $x\ne x_0$ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x₀.

- Chú ý:

1. Nếu hàm số f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x₀ thì x₀ được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f(x₀) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số.

Kí hiệu là f_CĐ (f_CT) còn điểm M(x₀; f(x₀)) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.

2. Các điểm cực đại, cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.

3. Dễ dàng chứng minh được rằng, nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b) và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x₀ thì f’(x₀) = 0.

Xem thêm

Lý thuyết Cực trị của hàm số (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12 

TOP 40 câu Trắc nghiệm Cực trị hàm số (có đáp án 2024) - Toán 12