Ta có: $\frac{2x-1}{x+1}=2x-3$

$\iff 2x^2-3x-2=0$

 $\iff [\begin{array}{l}x=2\Rightarrow y=1\\ x=-\frac{1}{2}\Rightarrow y=-4\end{array}$

$\Rightarrow AB=\frac{5\sqrt{5}}{2}$

Chọn C.

Quan sát bảng biến thiên, ta thấy: Đồ thị hàm số $y=-1$  tại đúng 2 điểm phân biệt nên PT có đúng 2 nghiệm phân biệt.

Chọn D.

Quan sát đồ thị, ta thấy: Hàm số đồng biến trên $\left(1;+\infty \right)$.

Chọn D.

Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy: Hàm số đồng biến trên $\left(1;+\infty \right)$.

Chọn B.

Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy:

Hàm số đồng biến trên $\left(1;+\infty \right)$.

Chọn C.

Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy:

Hàm số đồng biến trên $\left(1;+\infty \right)$.

Do đó B đúng.

Chọn B.

Quan sát đồ thị hàm số f’(x),

Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)\ge 0\iff x\ge -2$

Do đó f(x) đồng biến với mọi x thuộc (-2; +$\infty$).

Chọn D.

Ta có:

  $y^{\text{'}}=2x.f^{\text{'}}\left(x^2-3\right)>0$

$\iff [\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x>0\\ f^{\text{'}}\left(x^2-3\right)>0\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}x<0\\ f^{\text{'}}\left(x^2-3\right)<0\end{array}\right.\end{array}$

$\iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x>0\\ x^2-3>-2\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}x<0\\ x^2-3<-2\end{array}\right.\end{array}\right.$

$\iff [\begin{array}{l}x>1\\ -1<x<0\end{array}$

Khi đó:

$y^{\text{'}}=2x.f^{\text{'}}\left(x^2-3\right)<0$

$\iff [\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x>0\\ f^{\text{'}}\left(x^2-3\right)<0\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}x<0\\ f^{\text{'}}\left(x^2-3\right)>0\end{array}\right.\end{array}$

$\iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x>0\\ x^2-3<-2\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}x<0\\ x^2-3>-2\end{array}\right.\end{array}\right.$

$\iff [\begin{array}{l}0<x<1\\ x<-1\end{array}$

Hàm số đồng biến trên $\left(-\infty ;-1\right),\left(0;1\right)$

Chọn B.

Ta có:

$\underset{x\to +\infty }{\lim }y=-\infty$,

$\underset{x\to -\infty }{\lim }y=+\infty$

$\Rightarrow a<0$

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương $\Rightarrow d>0$.

Ta có: $\Rightarrow \frac{c}{a}<0\Rightarrow c>0$

Chọn A.

Gọi hàm số bậc ba có dạng  $y=-x^3+a{x}^2+bx+c$

Ta có  $y^{\text{'}}=-3x^2+2ax+b;$

$\hspace{0.17em}{y^{\text{'}}}^{\text{'}}=-6x+2a$

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đồ thị hàm số $A\left(1;9\right),B\left(-3;-23\right)$

Điểm $A\left(1;9\right)$ là điểm cực đại

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{y}^{\text{'}}\left(1\right)=0\\ y\left(1\right)=0\end{array}\right.$

$\iff \{\begin{array}{l}2a+b-3=0\\ -1+a+b+c=9\end{array}$ (1)

Điểm $B\left(-3;-23\right)$ là điểm cực tiểu

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{y}^{\text{'}}\left(-3\right)=0\\ y\left(-3\right)=-23\end{array}\right.$

$\iff \{\begin{array}{l}-6a+b-27=0\\ 27+9a-3b+c=-23\end{array}$(2)

Từ (1), (2) suy ra $c=4$.

Vậy $y=-x^3-3x^2+9x+4\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}f\left(2\right)=2\\ f\left(0\right)=4\end{array}\right.$ .

Chọn B.

Ta có $a>0$

Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị nên $ab<0\Rightarrow b<0$  

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm $c>0$.

Chọn D.

Dựa vào đồ thị hàm số ta có:

$a<0$  loại đáp án C.

Đồ thị hàm số có 1 điểm cực trị nên

 $ab\ge 0\Rightarrow b\le 0$  loại B.

Đồ thị hàm số đi qua điểm

$\left(0;c\right)\Rightarrow c>0$ loại D.

Chọn A.

Để phương trình  $f\left(x\right)=2m$ có hai nghiệm phân biệt thì

 $\left[\begin{array}{l}2m=0\\ 2m<-3\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}m=0\\ m<-\frac{3}{2}\end{array}\right.$

Chọn C.

Ta có

$y^{\text{'}}=4a{x}^3+2bx$

$\to \{\begin{array}{l}y\left(0\right)=3\\ y\left(1\right)=2\\ y^{\text{'}}\left(1\right)=0\end{array}$

$\iff \left\{\begin{array}{l}c=3\\ a+b+c=2\\ 4a+2b=0\end{array}\right.$

$\iff \{\begin{array}{l}c=3\\ a=1\\ b=-2\end{array}$

$\Rightarrow S=-2$

Chọn A.

Ta có  $f^{\text{'}}\left(x\right)>0\iff \left[\begin{array}{l}-1<x<0\\ x>1\end{array}\right.$

Do đó  $y^{\text{'}}=2.f^{\text{'}}\left(2x-1\right)>0$

$\iff [\begin{array}{l}-1<2x-1<0\\ 2x-1>1\end{array}$

$\iff \left[\begin{array}{l}0<x<\frac{1}{2}\\ x>1\end{array}\right.$

Từ đó hàm số $\left(\frac{1}{4};\frac{1}{3}\right)$.

Chọn C.

Ta có

$-\frac{d}{c}<0\Rightarrow cd>0;$ 

$\frac{a}{c}>0\Rightarrow ac>0;$

$\hspace{0.17em}\frac{b}{d}<0\Rightarrow bd<0;$

$\hspace{0.17em}-\frac{b}{a}>0\iff ab<0$ .

Chọn B.

Ta có $y^{\text{'}}=\frac{1}{{\left(x-2\right)}^2}$ .

Giả sử $M\left(a;\frac{-a+1}{a-2}\right)$ là tọa độ tiếp điểm

Phương trình tiếp tuyến tại M là

$y=\frac{1}{{\left(a-2\right)}^2}\left(x-a\right)+\frac{-a+1}{a-2}$

Mà tiếp tuyến qua $A\left(2;-1\right)$ nên

 $\frac{1}{{\left(a-2\right)}^2}\left(2-a\right)+\frac{-a+1}{a-2}=-1$

$\iff \frac{-a}{a-2}=-1$

$\iff -a=2-a$

Do đó không có giá trị a thỏa mãn.

Chọn D.

Ta có $y^{\text{'}}=\frac{3}{{\left(x+2\right)}^2}$.

Giả sử $M\left(a;\frac{a-1}{a+2}\right)$  là tọa độ tiếp điểm

Hệ số góc là:

$\frac{3}{{\left(a+2\right)}^2}=3$

$\iff [\begin{array}{l}a=-1\Rightarrow M\left(-1;-2\right)\\ a=-3\Rightarrow M\left(-3;4\right)\end{array}$

$\Rightarrow S=-2+4=2$

Chọn D.

Ta có $y^{\text{'}}=-3x^2+6\text{x}=-3{\left(x-1\right)}^2+3\le 3$

khi $x=1\Rightarrow y=4$

Do đó phương trình tiếp tuyến là

$y=3\left(x-1\right)+4=3\text{x}+1$.

Chọn A.

Ta có $y^{\text{'}}=-3{\text{x}}^2+2$.

Giả sử $M\left(a;-a^3+2\text{a}+4\right)$

Ta có:

$k=y^{\text{'}}\left(a\right)=-3{\text{a}}^2+2=-1$

$\iff a^2=1$

$\iff \left[\begin{array}{l}a=1\Rightarrow M\left(1;5\right)\Rightarrow m=3\\ a=-1\Rightarrow M\left(-1;3\right)\Rightarrow m=1\end{array}\right.$

Chọn B.

Ta có

 $f^{\text{'}}\left(x\right)=x^2-x-4$

$\Rightarrow {f^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(x\right)=2\text{x}-1;$

${f^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff \text{x}=\frac{1}{2}$

Hệ số góc là  $f^{\text{'}}\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{17}{4}$.

Chọn D.

Ta có $M\left(a;a^3-3\text{a}+2\right)$  là tọa độ tiếp điểm

Hệ số góc là

$k=y^{\text{'}}\left(a\right)=3{\text{a}}^2-3=9$

$\iff a^2=4$

$\iff \left[\begin{array}{l}a=2\Rightarrow M\left(2;4\right)\Rightarrow y=9\text{x}-14\\ a=-2\Rightarrow M\left(-2;0\right)\Rightarrow y=9\text{x}+18\end{array}\right.$

Chọn C.

Ta có $y^{\text{'}}=\frac{2}{{\left(1-x\right)}^2}$ .

Giao điểm với trục tung là $\left(0;2\right)$.

Hệ số góc $y^{\text{'}}\left(0\right)=2$

Phương trình tiếp tuyến là $y=2\text{x}+2$.

Chọn A.

Ta có $y^{\text{'}}=3{\text{x}}^2-6\text{x}$.

Hệ số góc là $y^{\text{'}}\left(3\right)=9$

$y=9\text{x}-26$.

Chọn B.

Ta có: $y^{\text{'}}=x^2-4\text{x}+3={\left(x-2\right)}^2-1\ge -1$

  khi $x=2\Rightarrow y=\frac{2}{3}$

Phương trình tiếp tuyến là

$y=-\left(x-2\right)+\frac{2}{3}=-x+\frac{8}{3}$.

Chọn A.

Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm $x=x_0$ là 

$k=y^{\text{'}}\left(x_0\right)=3{\text{x}}_0^2-4{\text{x}}_0+m-1$

Ta có:

$3{\text{x}}_0^2-4{\text{x}}_0+1$

$=3{(x_0-\frac{2}{3})}^2-\frac{1}{3}$

$\ge -\frac{1}{3}\Rightarrow k\ge m-\frac{4}{3}$

Do đó: $k_{\min }=m-\frac{4}{3}$

Theo bài ra, ta có:

$3k_{\min }=-1\iff 3\left(m-\frac{4}{3}\right)=-1$

$\iff m-\frac{4}{3}=-\frac{1}{3}\iff m=1$

Chọn B.

Phương trình hoành độ giao điểm là:

$2{\text{x}}^3-3{\text{x}}^2-2=m\text{x}-m-3$

$\iff 2{\text{x}}^3-3{\text{x}}^2+1-m\left(x-1\right)=0$

$\iff \left(x-1\right)\left(2{\text{x}}^2-x-1\right)-m\left(x-1\right)=0$

$\iff \left(x-1\right)\left(2{\text{x}}^2-x-1-m\right)=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=1\Rightarrow y=-3\\ g\left(x\right)=2{\text{x}}^2-x-1-m=0\end{array}\right.$

Để d cắt $g\left(x\right)=0$ có 2 nghiệm khác 1

$\iff \left\{\begin{array}{l}\Delta =1+8\left(1+m\right)>0\\ g\left(1\right)=-m\ne 0\end{array}\right.$ (*)

Gọi $A\left(x_1;m{\text{x}}_1-m-3\right)$ và  theo Vi-ét ta có:

 $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{1}{2}\\ x_1{x}_2=\frac{-1-m}{2}\end{array}\right.$

Để tiếp tuyến tại A và B của $y^{\text{'}}\left(x_1\right).y^{\text{'}}\left(x_2\right)=-1$

Suy ra tổng các phần tử của S bằng -1.

Chọn A.

Phương trình tiếp tuyến của $M\left(x_0;\frac{x_0-2}{-x_0+1}\right)$ là:

$y=f^{\text{'}}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+\frac{x_0-2}{-x_0+1}$

$=\frac{-1}{{\left(x_0-1\right)}^2}\left(x-x_0\right)+\frac{x_0-2}{-x_0+1}$

Do tiếp tuyến đi qua điểm $A\left(m;1\right)$ nên

 $1=\frac{x_0-a+\left(2-x_0\right)\left(x_0-1\right)}{{\left(x_0-1\right)}^2}$

$\iff {\left(x_0-1\right)}^2=-x_0^2+4{\text{x}}_0-2-m$

$\iff 2{\text{x}}_0^2-6{\text{x}}_0+3+m=0\left(*\right)$

Để có đúng một tiếp tuyến đi qua A thì (*) có nghiệm kép hoặc (*) có 2 nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm $x_0=1$

$\iff \left[\begin{array}{l}{\Delta }^{\text{'}}=3-2m=0\\ \left\{\begin{array}{l}{\Delta }^{\text{'}}=3-2m>0\\ 2.1-6+3+m=0\end{array}\right.\end{array}\right.$

$\iff [\begin{array}{l}m=\frac{3}{2}\\ m=1\end{array}$.

Vậy $S=\left\{\frac{3}{2};1\right\}$

$\Rightarrow$Tổng bình phương trình tập hợp S bằng

$\frac{9}{4}+1=\frac{13}{4}$.

Chọn A.

Gọi $M\left(x_0;\frac{2{\text{x}}_0}{x_0+1}\right)\Rightarrow y^{\text{'}}\left(x_0\right)=\frac{2}{{\left(x_0+1\right)}^2}$

 nên phương trình tiếp tuyến của $\left(C\right)$ tại M là

$y-\frac{2{\text{x}}_0}{x_0+1}=y^{\text{'}}\left(x_0\right).\left(x-x_0\right)$

$\iff y-\frac{2{\text{x}}_0}{x_0+1}=\frac{2}{{\left(x_0+1\right)}^2}.\left(x-x_0\right)$      (d)

 Tiếp tuyến d cắt Ox tại $A\left(-x_0^2;0\right)\Rightarrow OA=x_0^2$

 Tiếp tuyến d cắt Oy tại 

$B\left(0;\frac{2{\text{x}}_0^2}{{\left(x_0+1\right)}^2}\right)\Rightarrow OB=\frac{2{\text{x}}_0^2}{{\left(x_0+1\right)}^2}$

Do đó: 

$S_{\Delta OAB}=\frac{1}{2}OA.OB=\frac{x_0^4}{{\left(x_0+1\right)}^2}=\frac{1}{4}$

$\iff \left[\begin{array}{l}{x}_0=-\frac{1}{2}\Rightarrow y_0=-2\\ x_0=1\Rightarrow y_0=1\end{array}\right.$

Vậy $a+b+c+d=-\frac{1}{2}$

Chọn D.

Phương trình tiếp tuyến d của $\left(C\right)$ đi qua M là

 $y-m=k.\left(x-0\right)\iff y=k\text{x}+m$

Vì  tiếp xúc với d nên suy ra 

$\left\{\begin{array}{l}3{\text{x}}^2+2\text{x}+3=k\\ x^3+x^2+3\text{x}+1=k\text{x}+m\end{array}\right.$

$\iff m=-2{\text{x}}^3-x^2+1$

Yêu cầu bài toán

$\iff m=g\left(x\right)=-2{\text{x}}^3-x^2+1$

có ít nhất 1 nghiệm thuộc $\left[1;3\right]$

Xét hàm số $\left[1;3\right]$ ,

có $g^{\text{'}}\left(x\right)=-6{\text{x}}^2-2\text{x}<0;\forall x\in \left[1;3\right]$

Suy ra  là hàm số nghịch biến trên $\left(1;3\right)\Rightarrow g\left(3\right)\le m\le g\left(1\right)$

$\iff -62\le m\le -2$

Vậy có tất cả $-2-\left(-62\right)+1=61$ giá trị nguyên m cần tìm.

Chọn C.