A sai vì hàm số có 2 điểm cực trị.

B sai vì hàm số có giá trị cực tiểu bằng - 1 .

C sai vì hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên $ℝ$.

D Đúng.

Chọn D.

Từ đồ thị hàm số $\left[-2;4\right]$ như hình vẽ.

Do đó $x=-1.$

Chọn C.

Nhận thấy trên đoạn $\left(3;4\right).$

$\left[-2;3\right]$  bằng 4

Chọn C.

Nhận thấy trên đoạn  $\left[-2;2\right]$

● Đồ thị hàm số có điểm thấp nhất có tọa độ $\left(1;-5\right)$

$-5.$

● Đồ thị hàm số có điểm cao nhất có tọa độ $\left(2;-1\right)$

$\left[-2;2\right]$ bằng -1

Chọn B.

Xét trên $\left(0;1\right)$ ta thấy đồ thị đi xuống (từ trái sang phải) nên hàm số nghịch biến. Do đó (I) đúng

Xét trên $\left(-1;2\right)$ta thấy đồ thị đi lên, rồi đi xuống, rồi đi lên. Do đó (II) sai.

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy có ba điểm cực trị. Do đó (III) đúng.

Hàm số không có giá trị lớn nhất trên $ℝ$. Do đó (IV) sai.

Vậy có 2 mệnh đề đúng.

Chọn B.

Đạo hàm $f\text{'}\left(x\right)=\frac{1-\frac{1}{x^2}}{2\sqrt{x+\frac{1}{x}}}=\frac{x^2-1}{2x^2\sqrt{x+\frac{1}{x}}}$

$\stackrel{}{\to }f\text{'}\left(x\right)=0\iff [\begin{array}{l}x=-1\notin \left(0;+\infty \right)\\ x=1\in \left(0;+\infty \right)\end{array}$

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta tìm được giá trị nhỏ nhất của hàm số là $f\left(1\right)=\sqrt{2}$ .

Chọn A.

Đạo hàm $f\text{'}\left(x\right)=-3x^2-6x\stackrel{}{\to }f\text{'}\left(x\right)=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=0\in \left[-1;1\right]\\ x=-2\notin \left[-1;1\right]\end{array}\right.$

Ta có $\left\{\begin{array}{l}f\left(-1\right)=a-2\\ f\left(0\right)=a\\ f\left(1\right)=a-4\end{array}\right.$

$\stackrel{}{\to }\underset{\left[-1;1\right]}{\min }f\left(x\right)=f\left(1\right)=a-4.$

Theo bài ra:  $\underset{\left[-1;1\right]}{\min }f\left(x\right)=0\iff a-4=0\iff a=4.$

Chọn D.

Đạo hàm $f\text{'}\left(x\right)=3x^2+m^2+1>0,\forall x\in ℝ$

Suy ra hàm số $[0;2]$

 $\stackrel{}{\to }\underset{\left[0;2\right]}{\min }f\left(x\right)=f\left(0\right)=m^2-2.$

Theo bài ra:  $\underset{\left[0;2\right]}{\min }f\left(x\right)=7\iff m^2-2=7$

$\iff m=\pm 3.$

Chọn D.

Đạo hàm $f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{1-m}{{\left(x+1\right)}^2}$

Suy ra hàm số $m\ne 1$.

Khi đó $\underset{\left[1;2\right]}{\min }y+\underset{\left[1;2\right]}{\max }y=f\left(1\right)+f\left(2\right)$

$=\frac{m+1}{2}+\frac{m+2}{3}=\frac{16}{3}$

 $\iff \frac{5m}{6}=\frac{25}{6}\iff m=5$

Vậy $m=5$ là giá trị cần tìm và thỏa mãn điều kiện .

Chọn D.

Đạo hàm $f\text{'}\left(x\right)=\frac{2-m\sqrt{x}}{2\left(x+1\right)\sqrt{x\left(x+1\right)}}$

 $\stackrel{}{\to }f\text{'}\left(x\right)=0\to \sqrt{x}=\frac{2}{m}$

$\iff x=\frac{4}{m^2}\in [0;4],\forall m>1.$

Lập bảng biến thiên, ta kết luận được  

$\underset{x\in \left[0;4\right]}{\max }f\left(x\right)=f\left(\frac{4}{m^2}\right)=\sqrt{m^2+4}.$

Vậy ta cần có

 $\sqrt{m^2+4}<3\iff m<\sqrt{5}$

$\stackrel{m>1}{\to }m\in \left(1;\sqrt{5}\right).$

Chọn C.

Gọi $a,b>0$  lần lượt là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật.

Diện tích của hình chữ nhật: $S=ab$ .

Chu vi hình chữ nhật: $P=2\left(a+b\right)=2a+\frac{2S}{a}.$

Khảo sát hàm $a=\sqrt{S}$. 

Chọn B.

Cách 2. Ta có $P=2\left(a+b\right)\ge 2.2\sqrt{ab}$

$=4\sqrt{ab}=4\sqrt{S}$.

Dấu $\iff a=b$.

Hộp có đáy là hình vuông cạnh bằng $0<x<6$.

Do đó thể tích khối hộp

$V={\left(12-2x\right)}^2.x$

$=4x^3-48x^2+144x$.

Xét hàm $\underset{\left(0;6\right)}{\max }f\left(x\right)=f\left(2\right)=128$.

Vậy với $x=2\left(\text{cm}\right)$ thể tích khối hộp lớn nhất.

Chọn C.

Lời giải

Đặt  $BM=x\text{km }\left(0\le x\le 7\right)$

$\stackrel{}{\to }\{\begin{array}{l}AM=\sqrt{x^2+25}\text{km}\\ MC=\left(7-x\right)\text{km}\end{array}.$

Thời gian chèo đò từ A đến M là: $t_{AM}=\frac{\sqrt{x^2+25}}{4}h.$

Thời gian đi bộ từ M đến C là:$t_{MC}=\frac{7-x}{6}\text{h}.$

 Thời gian người canh hải đăng đi từ A đến C là

$t=t_{AM}+t_{MC}$

$=\frac{\sqrt{x^2+25}}{4}+\frac{7-x}{6}\text{ h.}$

Xét hàm số $\underset{\left[0;7\right]}{\min }f\left(x\right)=f\left(2\sqrt{5}\right)=\frac{14+5\sqrt{5}}{12}.$

Vậy người đó đến kho nhanh nhất khi vị trí của điểm M cách B một khoảng  $x=2\sqrt{5}\approx 4,5\text{km.}$

Chọn C.

Gọi x là độ dài của đoạn dây cuộn thành hình tròn $\left(0<x<60\right)$ .

Suy ra chiều dài đoạn còn lại là $60-x$.

Chu vi đường tròn: $2\pi r=x\Rightarrow r=\frac{x}{2\pi }$

$S_1=\pi .r^2=\frac{x^{\text{2}}}{4\pi }.$

Diện tích hình vuông:$S_2={\left(\frac{60-x}{4}\right)}^2.$

Tổng diện tích hai hình: 

$S=\frac{x^2}{4\pi }+{\left(\frac{60-x}{4}\right)}^2$

$=\frac{(4+\pi ).x^2-120\pi x+3600\pi }{16\pi }$

Đạo hàm: $S\text{'}=\frac{\left(4+\pi \right).x-60\pi }{8\pi };S\text{'}=0$

$\iff x=\frac{60\pi }{4+\pi };S\text{'}\text{'}=\frac{4+\pi }{8\pi }>0$

Suy ra hàm S chỉ có một cực trị và là cực tiểu tại $x=\frac{60\pi }{4+\pi }$

Do đó S đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=\frac{60\pi }{4+\pi }$

Với $x=\frac{60\pi }{4+\pi }$

$\stackrel{}{\to }r=\frac{30}{(4+\pi )}8a=\frac{240}{(4+\pi ).4}$

$\stackrel{}{\to }\frac{a}{r}=\frac{240}{120}=2$

Chọn B.

Đặt  $\stackrel{}{\to }\left\{\begin{array}{l}EF=a\\ AE=6-a\end{array}\right.$.

Trong tam giác vuông $AEF$ có

$\cos \widehat{AEF}=\frac{6-a}{a}$

$\stackrel{}{\to }\cos \widehat{FEB}=\frac{a-6}{a}$ (hai góc bù nhau).

Ta có $\Delta BEG=\Delta FEG$

Trong tam giác vuông  $EFG$ có

 $EG=\frac{EF}{\cos \widehat{FEG}}=\sqrt{\frac{a^3}{a-3}}$

$\stackrel{}{\to }\widehat{FEG}=\widehat{BEG}=\frac{1}{2}\widehat{FEB}$

$\stackrel{\cos \widehat{FEB}=\frac{a-6}{a}}{\to }\cos \widehat{FEG}=\sqrt{\frac{a-3}{a}}.$

Xét hàm $a=\frac{9}{2}\stackrel{}{\to }EG=\frac{9\sqrt{3}}{2}.$

Chọn B.