Giải Toán 11 trang 39 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 11 trang 39 Tập 2

Thực hành 1 trang 39 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = x³.

Lời giải:

Với bất kì x₀ ∈ ℝ, ta có:

$f^{\text{'}}\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{x^3-x_0^3}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\left(x-x_0\right)\left(x^2+x.x_0+x_0^2\right)}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }\left(x^2+x.x_0+x_0^2\right)=x_0^2+x_0.x_0+x_0^2=3x_0^2$.

Vậy $f^{\text{'}}\left(x\right)={\left(x^3\right)}^{\text{'}}=3x^2$ trên ℝ.

Vận dụng trang 39 Toán 11 Tập 2: Với tình huống trong Hoạt động khám phá 1, hãy tính vận tốc tức thời của chuyển động lúc t = 2.

Lời giải:

Với bất kì t₀ ∈ ℝ, ta có:

$s^{\text{'}}\left(t_0\right)=\underset{t\to t_0}{\lim }\frac{s\left(t\right)-s\left(t_0\right)}{t-t_0}=9,8t_0$.

Do đó $s^{\text{'}}\left(t\right)=9,8t$ trên ℝ.

Vậy vận tốc tức thời của chuyển động lúc t = 2 là:

$v\left(2\right)=s^{\text{'}}\left(2\right)=9,8.2=19,6$ (m/s).

2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Hoạt động khám phá 2 trang 39 Toán 11 Tập 2: Cho hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2$có đồ thị (C) và điểm $M\left(1;\frac{1}{2}\right)$thuộc (C).

a) Vẽ (C) và tính f' (1).

b) Vẽ đường thẳng d đi qua điểm M và có hệ số góc bằng f' (1). Nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa d và (C).

Lời giải:

a) Đồ thị hàm số $\left(C\right):y=\frac{1}{2}{x}^2$ được vẽ như hình bên dưới.

Ta có $f^{\text{'}}\left(1\right)=\underset{t\to 1}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}=\underset{t\to 1}{\lim }\frac{\frac{1}{2}{x}^2-\frac{1}{2}}{x-1}$

$=\underset{t\to 1}{\lim }\frac{\frac{1}{2}\left(x^2-1\right)}{x-1}=\underset{t\to 1}{\lim }\frac{\frac{1}{2}\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{x-1}$

$=\underset{t\to 1}{\lim }\frac{1}{2}\left(x+1\right)=\frac{1}{2}\left(x+1\right)=1$.

b) Theo đề bài, đường thẳng d đi qua $M\left(1;\frac{1}{2}\right)$ và có hệ số góc bằng k = f' (1) = 1 nên:

$y-\frac{1}{2}=1\left(x-1\right)\iff y-\frac{1}{2}=x-1\iff y=x-\frac{1}{2}$.

Lấy điểm $M\left(1;\frac{1}{2}\right)$, vẽ đường thẳng $\left(d\right):y=x-\frac{1}{2}$, ta có hình vẽ:

Nhận xét: Đường thẳng d cắt đồ thị hàm số (C) tại duy nhất tại điểm $M\left(1;\frac{1}{2}\right)$.

Khi đó, đường thẳng d tiếp xúc với đồ thị hàm số (C) tại điểm $M\left(1;\frac{1}{2}\right)$.

Xem thêm Lời giải bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Giải Toán 11 trang 36 Tập 2

Giải Toán 11 trang 37 Tập 2

Giải Toán 11 trang 39 Tập 2

Giải Toán 11 trang 40 Tập 2

Giải Toán 11 trang 41 Tập 2

Giải Toán 11 trang 42 Tập 2