Giải SBT Toán 10 trang 70 Tập 1 Kết nối tri thức

Với Giải SBT Toán 10 trang 70 Tập 1 trong Bài tập cuối chương 4 Toán lớp 10 Tập 1 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng trả lời các câu hỏi & làm bài tập Toán 10 trang 70.

1 356 09/12/2022


Giải SBT Toán 10 trang 70 Tập 1 Kết nối tri thức

Bài 4.59 trang 70 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi M,  theo thứ tự là trung điểm của BC, AD. Gọi I, J lần lượt là giao điểm của BD với AM, CN. Xét các vectơ khác 0 có đầu mút lấy từ các điểm A, B, C, D, M, N, I, J, O.

a) Hãy chỉ ra những vectơ bằng vectơ AB; những vectơ cùng hướng với AB; 

b) Chứng minh rằng BI = IJ = JD.

Lời giải:

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

a) ABCD là hình bình hành có M, N lần lượt là trung điểm của BC, AD

Nên MN là đường trung bình của hình bình hành

MN // AB // DC và MN = AB = DC.

AB=DC=MN

Vậy những vectơ bằng vectơ AB là: AB;DC;MN.

Lại có O là tâm hình bình hành nên O là trung điểm của AC và BD

Do đó NO là đường trung bình của DADC

NO // DC

Chứng minh tương tự ta cũng có OM // DC

Do đó ba điểm M, O, N thẳng hàng.

Vậy những vectơ cùng hướng với AB là: AB,NO,OM,NM,DC.

b) Xét tam giác ABC có: AM, BO là hai đường trung tuyến của tam giác

Mà AM cắt BO tại I

Do đó I là trọng tâm của DABC.

BI=23BO OI=12BI (tính chất trọng tâm)   (1)

Tương tự ta cũng có J là trọng tâm của DADC.

DJ=23DO OJ=12DJ (tính chất trọng tâm)  (2)

Mặt khác BO = DO (do O là trung điểm của BD)   (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Vậy BI = IJ = JD.

Bài 4.60 trang 70 SBT Toán 10 Tập 1: Trên cạnh BC của tam giác ABC lấy các điểm M, N không trùng với B và C sao cho BM = MN =NC.

a) Chứng minh rằng hai tam giác ABC và AMN có cùng trọng tâm.

b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Đặt GB=uGC=v. Hãy biểu thị các vectơ sau qua hai vectơ u v: GA, GM, GN.

Lời giải:

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

a) Giả sử G, G' lần lượt là trọng tâm của DABC, DAMN.

Sử dụng kết quả của Ví dụ 3, Bài 9 (trang 53, Sách bài tập, Toán 10, Tập một) ta có:

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Mặt khác: M, N lần lượt lấy theo thứ tự trên cạnh BC sao cho BM = MN = NC nên ta có: 

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Suy ra điểm G và G' trùng nhau.

Do đó hai tam giác ABC và AMN có cùng trọng tâm.

b) • Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên GA+GB+GC=0

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

• Từ BM = MN = NC suy ra MC=2MB

Theo Nhận xét ở Ví dụ 2, Bài 9 (trang 53, Sách bài tập, Toán 10, Tập một), với điểm G ta có:

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Tương tự ta cũng có: GN=13u+23v

Bài 4.61 trang 70 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 5 và CAB^=60°.

a) Tính tích vô hướng AB.AC, AB.BC.

b) Lấy các điểm M, N thoả mãn 2AM+3MC=0 NB+xNC=0 (x ≠ –1).  Xác định x sao cho AN vuông góc với BM.

Lời giải:

a) Ta có:

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

= 10 – 42

= 10 – 16

= –6

Vậy AB.AC=10, AB.BC=6.

b) Ta có

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Do đó:

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

= (3 – x).10 – 42 + 3x.52

= 30 – 10x – 16 + 75x

= 65x + 14

Để AN BM thì AN.BM=0

1+xAN.BM=0 (với x ≠ –1)

65x + 14 = 0

x = 1465

Vậy với x = 1465 thì AN BM.

Bài 4.62 trang 70 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, CD. Lấy P thuộc đoạn DM và Q thuộc đoạn BN sao cho DP = 2PM, BQ = xQN. Đặt AB=u AD=v.

a) Hãy biểu thị các vectơ APAQ qua hai vectơ u v

b) Tìm x đề A, P, Q thằng hàng.

Lời giải:

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

• Vì P thuộc đoạn DM sao cho DP = 2PM

Nên PD=2PM

Theo Nhận xét ở Ví dụ 2, Bài 9 (trang 53, Sách bài tập, Toán 10, Tập một), với điểm A ta có:

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

 (vì M là trung điểm của AB)

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

• Vì Q thuộc đoạn BN sao cho BQ = xQN

QB=xQN

Theo Nhận xét ở Ví dụ 2, Bài 9 (trang 53, Sách bài tập, Toán 10, Tập một), với điểm A ta có:

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

(vì N là trung điểm của CD)

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

b) Với AP=13v+12u AQ=x+22x+1u+xx+1v

Để A, P, Q thẳng hàng thì hai vectơ AP AQ cùng phương

x+22x+113=xx+113x+22x+1=xx+1

x+22x+1=xx+1

x + 2 = 2x

x = 2 (thỏa mãn x ≠ –1)

Vậy x = 2 thì ba điểm A, P, Q thẳng hàng.

Bài 4.63 trang 70 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC với trọng tâm G. Lấy điểm A', B' sao cho AA'=2BC, BB'=2CA. Gọi G' là trọng tâm của tam giác A'B'C. Chứng minh rằng GG' song song với AB.

Lời giải:

Theo kết quả của Ví dụ 3, Bài 9 (trang 53, Sách bài tập, Toán 10, Tập một) ta có:

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Do đó GG' cùng phương với BA

Suy ra GG' // AB (do G và G' không nằm trên đường thẳng AB)

Bài 4.64 trang 70 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tứ giác lồi ABCD không có hai cạnh nào song song. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm AB, CD. Gọi K, L, M, N lần lượt là trung điểm của AF, CE, BF, DE.

a) Chứng minh rằng tứ giác KLMN là một hình bình hành.

b) Gọi I là giao điểm của KM, LN. Chứng minh rằng E, I, F thẳng hàng.

Lời giải:

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

• Vì E là trung điểm của AB nên AE=EB

F là trung điểm của CD nên FC=DF.

• Vì K là trung điểm của AF, L là trung điểm của CE, theo kết quả của Bài tập 4.12, trang 58, Toán 10, Tập một, ta có:

2KL=AE+FC=EB+DF

Tương tự:

M là trung điểm của BF, N là trung điểm của DE, nên ta có:

EB+DF=2NM

Do đó 2KL=2NM

KL=NM

KL = NM và KL // NM

KLMN là một hình bình hành.

b) Do KLMN là hình bình hành

Mà I là giao điểm của KM, LN nên I là trung điểm chung của KM, LN.

Khi đó ta có:

2EI=EN+EL=12ED+12EC

=12ED+EC=12.EF (do F là trung điểm của DC)

Do đó 2EI=12.EF

EI=14.EF

Suy ra hai vectơ EI EF cùng phương

Do đó E, I, F thẳng hàng.

Bài 4.65 trang 70 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình thang vuông ABCD có DAB^=ABC^=90°, BC = 1, AB = 2 và AD = 3. Gọi M là trung điểm của AB.

a) Hãy biểu thị các vectơ CM, CM theo hai vectơ AB AD

b) Gọi N là trung điểm CD, G là trọng tâm tam giác MCD, và I là điểm thuộc cạnh CD sao cho 9IC = 5ID. Chứng minh rằng A, G, I thẳng hàng.

c) Tính độ dài các đoạn thẳng AI và BI.

Lời giải:

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

a) Vì M là trung điểm của AB nên BM=12BA=12AB

Gọi E là hình chiếu của C trên AD. Khi đó CEA^=90°

Tứ giác ABCE có DAB^=ABC^=CEA^=90° nên là hình chữ nhật

EA = CB = 1

Mà AD = 3 do đó AE = 13AD

EA=13DA=13AD

CB=EA (do ABCE là hình chữ nhật)

CB=13AD

CM=CB+BM=13AD12AB

• Ta có: CD=CE+ED

CE=BA (do ABCE là hình chữ nhật)

ED=23AD

CD=BA+23AD=AB+23AD 

Vậy CM=13AD12AB CD=AB+23AD.

b) Vì G là trọng tâm của tam giác MCD nên ta có:

AM+AC+AD=3AG

ABCD là hình chữ nhật nên cũng là hình bình hành

Do đó 

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Vì I thuộc cạnh CD nên hai vectơ IC ID ngược hướng nhau

Lại có 9IC = 5ID nên 9IC=5ID hay IC=59ID

Theo Nhận xét ở Ví dụ 2, Bài 9 (trang 53, Sách bài tập, Toán 10, Tập một), với điểm A ta có:

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Do đó hai vectơ AI AG cùng phương

Suy ra ba điểm A, I, G thẳng hàng.

c) • Theo câu a ta có 

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Mà AB AD nên AB.AD=0

Do đó ta có: 196AI2 = 81AB2 + 64AD2

196AI2 = 81.22 + 64.32 = 900

AI2 = 22549

AI = 157

• Ta có: 

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Vậy AI = 157 và BI = 137

Bài 4.66 trang 71 SBT Toán 10 Tập 1: Cho bốn điểm A, B, C, D trong mặt phẳng. Chứng minh rằng AB.CD+BC.AD+CA.BD=0.

Lời giải:

Ta có:

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Suy ra: AB.CD+BC.AD+CA.BD

=AB.CD+BC.AB+BC+CD+ABBC.BC+CD

=AB.CD+BC.AB+BC2+BC.CDAB.BCAB.CDBC2BC.CD

= 0.

Vậy AB.CD+BC.AD+CA.BD=0.

Bài 4.67 trang 71 SBT Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

a) Tính các tích vô hướng Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

b) Tìm góc giữa hai vectơ a b+c.

Lời giải:

a) Với a = (1; 2), b = (3; –4) và c = (–5; 3) ta có:

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

b) Với  Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1) ta có:

a=12+22=5;

b+c = (–2; –1)

b+c=22+12=5.

a.b+c = 1.(–2) + 2.(–1) = –2 – 2 = –4.

Mà cosa,b+c=a.b+ca.b+c=45.5=45.

a,b+c143°7'48''

Vậy góc giữa hai vectơ a b+c khoảng 143°7'48''.

Bài 4.68 trang 71 SBT Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–2; 1), B(1; 4) và C(5; −2).

a) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC.

b) Tìm toạ độ trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC.

Lời giải:

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

a) Với A(–2; 1), B(1; 4) và C(5; −2) ta có:

AB = (3; 3) AC = (7; –3)

3733=1 nên hai vectơ AB AC không cùng phương

Do đó ba điểm A, B, C không thẳng hàng

Vậy A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Vậy tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là: G43;1.

b) *Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC:

Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên AH BC và BH AC

Hay AH.BC=0 BH.AC=0 

Giả sử H(x; y) là tọa độ trực tâm tam giác ABC

Với A(–2; 1), B(1; 4), C(5; −2) và H(x; y) ta có:

AH = (x + 2; y – 1)BC = (4; –6)

AH.BC = 4.(x + 2) – 6.(y – 1) = 0

4x – 6y = –14

2x – 3y = –7     (1)

BH = (x – 1; y – 4)AC = (7; –3)

BH.AC = 7.(x – 1) – 3.(y – 4) = 0

7x – 3y = –5     (2)

Trừ vế theo vế (2) cho (1) ta có: 5x = 2

x = 25

Thay x = 25 vào (1) ta được:  2.25 – 3y =  –7

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Vậy tọa độ trực tâm của tam giác ABC là H25;135.

* Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC:

Theo kết quả phần a) của Bài 4.15, trang 54, Sách Bài tập, Toán 10, tập một ta có:

AH=2IM với M là trung điểm của BC.

Giả sử I(a; b) là tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Với A(–2; 1), B(1; 4), C(5; −2), H25;135 và I(a; b) ta có:

AH=125;85

• M là trung điểm của BC nên xM=1+52=3yM=4+22=1

M(3; 1)

IM = (3 – a; 1 – b)

2IM = (6 – 2a; 2 – 2b)

Ta có 

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Vậy tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là I95;15.

Bài 4.69 trang 71 SBT Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(2; −1), B(5; 3) và C(–2; 9).

a) Tìm điểm D thuộc trục hoành sao cho B, C, D thẳng hàng.

b) Tìm điểm E thuộc trục hoành sao cho EA + EB nhỏ nhất.

c) Tìm điểm F thuộc trục tung sao cho vectơ FA+FB+FC có độ dài ngắn nhất.

Lời giải:

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

a) Giả sử D(a; 0) là điểm thuộc trục hoành.

Với B(5; 3), C(–2; 9) và D(a; 0) ta có:

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Vì ba điểm B, C, D thẳng hàng nên ta có: BC BD là hai vectơ cùng phương

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Vậy D172;0 là điểm cần tìm.

b) Ta có: A(2; −1), B(5; 3) là hai điểm nằm về hai phía của trục hoành

Do đó với mỗi điểm E nằm trên trục hoành ta luôn có EA + EB ≥ AB

Suy ra EA + EB ngắn nhất là bằng AB

Điều này xảy ra khi và chỉ khi E là giao điểm của AB và trục hoành Ox

3 điểm A, E, B thẳng hàng

AB AE là hai vectơ cùng phương

Giả sử E(b; 0) là điểm thuộc trục hoành.

Với A(2; −1), B(5; 3) và E(b; 0) ta có:

AB = (3; 4)

AE = (b – 2; 1)

Khi đó AB AE là hai vectơ cùng phương

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Vậy E114;0 là điểm cần tìm.

c) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó với A(2; −1), B(5; 3) và C(–2; 9) ta có:

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Với điểm F bất kì ta có: 

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Để vectơ FA+FB+FC có độ dài ngắn nhất thì FG có độ dài ngắn nhất

Mà F là điểm nằm trên trục tung

Do đó F là hình chiếu vuông góc của G lên Oy.

Hoành độ của F là x = 0 và tung độ của F bằng với tung độ của G là y = 113

Vậy F0;113.

Bài 4.70 trang 71 SBT Toán 10 Tập 1: Một ô tô có khối lượng 2,5 tấn chạy từ chân lên đỉnh một con dốc thẳng. Tính công của trọng lực tác động lên xe, biết dốc dài 50 m và nghiêng 15° so với phương nằm ngang (trong tính toán, lấy gia tốc trọng trường bằng 10 m/s²).

Lời giải:

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Đổi 2,5 tấn = 2 500 kg.

Trọng lực của ô tô có độ lớn bằng P = mg = 2 500 . 10 = 25 000 (N)

Trọng lực  của ô tô hợp với hướng chuyển dời MN một góc là:

α = 90° + 15° = 105°.

Trọng lực P được phân tích thành hai thành phần P1 P2 nên ta có:

P=P1+P2

(P1 có phương vuông góc với mặt dốc, P2 có phương song song với mặt dốc)

Ta thấy P1 không có tác dụng với chuyển dời MN của xe và P2 ngược hướng với MN.

Do đó công của trọng lực tác động lên xe bằng:

A = P.MN=P.MN.cosP,MN

= 25 000 . 50 . cos105°

≈ –323 524 (J)

Vậy công của trọng lực tác động lên xe bằng khoảng –323 524 J.

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Giải SBT Toán 10 trang 66 Tập 1

Giải SBT Toán 10 trang 67 Tập 1

Giải SBT Toán 10 trang 68 Tập 1

Giải SBT Toán 10 trang 69 Tập 1

1 356 09/12/2022


Xem thêm các chương trình khác: