Giải SBT Toán 10 trang 44 Tập 1 Kết nối tri thức

Giải SBT Toán 10 trang 44 Tập 1 Kết nối tri thức

Bài 3.41 trang 44 SBT Toán 10 Tập 1:

Cho tam giác ABC có c = 1, a = 2 và $\widehat{B}=120°.$

a) Tính b, $\widehat{A},\widehat{C}.$

b) Tính diện tích của tam giác.

c) Tính độ dài đường cao kẻ từ B của tam giác.

Lời giải:

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

Vậy b = $\sqrt{7},\widehat{A}\approx 41°$ và $\widehat{C}\approx 19°.$

b) Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ta có:

$$\begin{gathered} S=\frac{1}{2}ac.\sin B \\ =\frac{1}{2}\mathrm{.2.1.}\sin 120°=\frac{\sqrt{3}}{2}. \end{gathered}$$

Vậy diện tích của tam giác ABC bằng $\frac{\sqrt{3}}{2}$

c) Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ta có:

$$\begin{gathered} S=\frac{1}{2}.h_b.b \\ \Rightarrow h_b=\frac{2S}{b}=\frac{2.\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{21}}{7}. \end{gathered}$$

Vậy độ dài đường cao kẻ từ B của tam giác bằng $\frac{\sqrt{21}}{7}$

Bài 3.42 trang 44 SBT Toán 10 Tập 1:

Cho tam giác ABC có a = 3, b = 5 và c = 7.

a) Tính các góc của tam giác, làm tròn đến độ.

b) Tính bán kính đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp của tam giác.

Lời giải:

a) Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

• a² = b² + c² – 2.b.c.cosA

$\Rightarrow$cosA = $\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{5^2+7^2-3^2}{\mathrm{2.5.7}}=\frac{13}{14}$

$\Rightarrow \widehat{A}\approx 22°.$

• b² = a² + c² – 2.a.c.cosB

$\Rightarrow$ cosB = $\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{3^2+7^2-5^2}{\mathrm{2.3.7}}=\frac{11}{14}$

$\Rightarrow \widehat{B}\approx 38°.$

• c² = a² + b² – 2.a.b.cosC

Vậy $\widehat{A}\approx 22°,\widehat{B}\approx 38°$ và $\widehat{C}=120°.$

b) Tam giác ABC có a = 3, b = 5 và c = 7 nên:

$p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{3+5+7}{2}=\frac{15}{2}$

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ta có:

• $$\begin{gathered} S=\frac{1}{2}ab.\sin C \\ =\frac{1}{2}\mathrm{.3.5.}\sin 120°=\frac{15\sqrt{3}}{4}. \end{gathered}$$

• S = pr $\Rightarrow r=\frac{S}{p}=\frac{\frac{15\sqrt{3}}{4}}{\frac{15}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

• $$\begin{gathered} S=\frac{abc}{4R} \\ \Rightarrow R=\frac{abc}{4S}=\frac{\mathrm{3.5.7}}{4.\frac{15\sqrt{3}}{4}}=\frac{7}{\sqrt{3}}. \end{gathered}$$

Vậy bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp của tam giác ABC lần luợt bằng $\frac{\sqrt{3}}{2}$ và $\frac{7}{\sqrt{3}}$

Bài 3.43 trang 44 SBT Toán 10 Tập 1:

Cho tam giác ABC có $\widehat{B}=45°,\widehat{C}=15°$ và $b=\sqrt{2}$ Tính a, h_a.

Lời giải:

Tam giác ABC có $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \widehat{A}=180°-\widehat{B}-\widehat{C} \\ =180°-45°-15°=120° \end{gathered}$$

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:

$$\begin{gathered} \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B} \\ \Rightarrow \frac{a}{\sin 120°}=\frac{\sqrt{2}}{\sin 45°} \end{gathered}$$

$\Rightarrow a=\frac{\sqrt{2}}{\sin 45°}.\sin 120°=\sqrt{3}.$

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ABC ta có:

• $$\begin{gathered} S=\frac{1}{2}ab\sin C \\ =\frac{1}{2}.\sqrt{3}.\sqrt{2}.\sin 15°=\frac{3-\sqrt{3}}{4}. \end{gathered}$$

• $$\begin{gathered} S=\frac{1}{2}{h}_a.a \\ \Rightarrow h_a=\frac{2S}{a}=\frac{2.\frac{3-\sqrt{3}}{4}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}. \end{gathered}$$

Vậy $a=\sqrt{3}$ và $h_a=\frac{\sqrt{3}-1}{2}.$

Bài 3.44 trang 44 SBT Toán 10 Tập 1:

Cho tam giác ABC có c = 5, a = 8 và $\widehat{B}=60°.$

a) Tính b và số đo các góc A, C (số đo các góc làm tròn đến hàng đơn vị, theo đơn vị độ).

b) Tính độ dài đường cao kẻ từ B.

c) Tính độ dài trung tuyến kẻ từ A.

Lời giải:

a) Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

• b² = a² + c² – 2.a.c.cosB

$\Rightarrow$ b² = 8² + 5² – 2.8.5.cos60°

$\Rightarrow$ b² = 49

$\Rightarrow$ b = 7.

• a² = b² + c² – 2.b.c.cosA

$\Rightarrow$ cosA = $\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{7^2+5^2-8^2}{\mathrm{2.7.5}}=\frac{1}{7}$

$\Rightarrow \widehat{A}\approx 82°.$

• c² = a² + b² – 2.a.b.cosC

$\Rightarrow$ cosC = $\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{8^2+7^2-5^2}{\mathrm{2.8.7}}=\frac{11}{14}.$

$\Rightarrow \widehat{C}=38°.$

Vậy b = 7, $\widehat{A}\approx 82°$ và $\widehat{C}=38°.$

b) Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ABC ta có:

• $$\begin{gathered} S=\frac{1}{2}ac\sin B \\ =\frac{1}{2}\mathrm{.8.5.}\sin 60°=10\sqrt{3}. \end{gathered}$$

• $$\begin{gathered} S=\frac{1}{2}{h}_b.b \\ \Rightarrow h_b=\frac{2S}{b}=\frac{2.10\sqrt{3}}{7}=\frac{20\sqrt{3}}{7}. \end{gathered}$$

Vậy độ dài đường cao kẻ từ B của tam giác ABC bằng $\frac{20\sqrt{3}}{7}.$

c) Áp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến của tam giác ta có:

$$\begin{gathered} m_a^2=\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4} \\ =\frac{7^2+5^2}{2}-\frac{8^2}{4}=21 \end{gathered}$$

$\Rightarrow m_a=\sqrt{21}.$

Vậy độ dài đường trung tuyến kẻ từ A của tam giác ABC là $m_a=\sqrt{21}.$

Bài 3.45 trang 44 SBT Toán 10 Tập 1:

Cho tam giác ABC có $\widehat{B}=15°,\widehat{C}=30°$ và c = 2.

a) Tính số đo góc A và độ dài các cạnh a, b.

b) Tính diện tích và bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác.

c) Lấy điểm D thuộc cạnh AB sao cho $\widehat{BCD}=\widehat{DCA}$ (tức CD là phân giác của góc $\widehat{ BCA}$). Tính độ dài CD.

Lời giải:

a) Xét tam giác ABC có: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \widehat{A}=180°-\widehat{B}-\widehat{C} \\ =180°-15°-30°=135° \end{gathered}$$

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:

Vậy $\widehat{A}=135°,a=2\sqrt{2}$ và b = $\sqrt{6}-\sqrt{2}.$

b) Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ABC ta có:

• $$\begin{gathered} S=\frac{1}{2}.ab.\sin C \\ =\frac{1}{2}.2\sqrt{2}.\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right).\sin 30° \\ =\sqrt{3}-1. \end{gathered}$$

• $$\begin{gathered} S=\frac{abc}{4R} \\ \Rightarrow R=\frac{abc}{4S}=\frac{2\sqrt{2}.\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right).2}{4.\left(\sqrt{3}-1\right)}=2. \end{gathered}$$

Vậy diện tích và bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC lần lượt là $S=\sqrt{3}-1$ và R = 2.

c)

Vì CD là tia phân giác của $\widehat{ BCA}$ nên $\widehat{BCD}=\widehat{DCA}=\frac{1}{2}\widehat{ BCA}=15°$

Mà $\widehat{B}=15°$

Do đó tam giác BCD cân tại D.

Gọi I là trung điểm của BC, khi đó DI là đường trung tuyến đồng thời là đường cao

$\Rightarrow$IB = IC = $\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}.2\sqrt{2}=\sqrt{2}$ và DI ⊥ BC.

Xét tam giác CDI vuông tại I ta có:

CD = $\frac{CI}{cos\widehat{ICD}}=\frac{\sqrt{2}}{cos15°}=2\left(\sqrt{3}-1\right).$

Vậy CD = $2\left(\sqrt{3}-1\right).$

Bài 3.46 trang 44 SBT Toán 10 Tập 1:

Trên biển, một tàu cá xuất phát từ cảng A, chạy về phương đông 15 km tới B, rồi chuyển sang hướng E30°S chạy tiếp 20 km nữa tới đảo C.

a) Tính khoảng cách từ A tới C (làm tròn đến hàng đơn vị, theo đơn vị kilômét).

b) Xác định hướng từ A tới C (làm tròn đến hàng đơn vị, theo đơn vị độ).

Lời giải:

Giả sử các vị trí cảng A, B và đảo C được mô tả như hình vẽ dưới đây:

a) Do tàu cá xuất phát từ cảng A, chạy theo hướng đông tới B, rồi chuyển sang hướng E30°S chạy tiếp tới đảo C nên ta có:

$\widehat{ABC}=180°-30°=150°$

Áp dụng định lí côsin ta có:

AC² = AB² + BC² – 2.AB.BC.cos$\widehat{ABC}$

$\Rightarrow$ AC² = 15² + 20² – 2.15.20.cos150°

$\Rightarrow$ AC² = 625 + 300$\sqrt{3}$

$\Rightarrow$ AC ≈ 34 (km).

b) Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta được:

$\frac{BC}{\sin \widehat{CAB}}=\frac{AC}{\sin \widehat{ABC}}$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \sin \widehat{CAB}=\frac{\sin \widehat{ABC}}{AC}.BC \\ \approx \frac{\sin 150°}{34}.20\approx 0,2941 \end{gathered}$$

$\Rightarrow \widehat{CAB}\approx 17°$

Vậy hướng từ A đến C là E17°S.

Bài 3.47 trang 44 SBT Toán 10 Tập 1:

Trên sườn đồi, với độ dốc 12% (độ dốc của sườn đồi được tính bằng tang của góc nhọn tạo bởi sườn đồi với phương nằm ngang) có một cây cao mọc thẳng đứng. Ở phía chân đồi, cách gốc cây 30 m, người ta nhìn ngọn cây dưới một góc 45° so với phương nằm ngang. Tính chiều cao của cây đó (làm tròn đến hàng đơn vị, theo đơn vị mét).

Lời giải:

Giả sử người quan sát từ điểm A cách gốc cây B một khoảng 30m, nhìn ngọn cây C dưới góc 45° như hình vẽ dưới đây:

Do sườn đồi có độ dốc 12% (độ dốc của sườn đồi được tính bằng tang của góc nhọn tạo bởi sườn đồi với phương nằm ngang) nên tan$\widehat{HAB}$ = 12% = 0,12.

$\Rightarrow \widehat{HAB}\approx 7°.$

Do đó $\widehat{BAC}=\widehat{HAC}-\widehat{HAB}=45°-7°=38°$ và $\widehat{BCA}=90°-\widehat{HAC}=45°.$

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:

$\frac{BC}{\sin \widehat{BAC}}=\frac{AB}{\sin \widehat{BCA}}$

$$\begin{gathered} \Rightarrow BC=\frac{AB}{\sin \widehat{BCA}}.\sin \widehat{BAC} \\ \approx \frac{30}{\sin 45°}.\sin 38°\approx 26\left(m\right) \end{gathered}$$

Vậy chiều cao của cây đó khoảng 26 m.

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Giải SBT Toán 10 trang 40 Tập 1

Giải SBT Toán 10 trang 41 Tập 1

Giải SBT Toán 10 trang 42 Tập 1

Giải SBT Toán 10 trang 43 Tập 1