Chứng minh ba đường thẳng trên đồng quy

Giải Toán 11 Bài 1: Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng

Video Giải Bài tập 3 trang 53 SGK Toán lớp 11 Hình học

Bài tập 3 trang 53 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho ba đường thẳng d₁, d₂, d₃ không cùng nằm trong một mặt phẳng và cắt nhau từng đôi một. Chứng minh ba đường thẳng trên đồng quy.

Lời giải:

Gọi d₁, d₂, d₃ là ba đường thẳng đã cho.

Gọi $I=d_1\cap d_2$ suy ra  $\left\{\begin{array}{l}I\in d_1\\ I\in d_2\end{array}\right.$

Ta chứng minh $I\in d_3$. Thật vậy,

Gọi (β) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau d₁, d₃.

(γ) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau d₂, d₃.

Do ba đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng nên (β) và (γ) phân biệt.

Ngoài ra $\left\{\begin{array}{l}{d}_3\subset \left(\beta \right)\\ d_3\subset \left(\gamma \right)\end{array}\right.$ suy ra $\left(\beta \right)\cap \left(\gamma \right)=d_3$

$I\in d_1\subset \left(\beta \right)$ suy ra  $I\in \left(\beta \right)=\left(d_1,d_3\right)$

$I\in d_2\subset \left(\gamma \right)$ suy ra  $I\in \left(\gamma \right)=\left(d_2,d_3\right)$

Từ đó suy ra,  $I\in \left(\beta \right)\cap \left(\gamma \right)=d_3$

Vậy d₁, d₂, d₃ đồng quy.

Cách khác:

Gọi (P) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau d₁, d₂

Goi $d_3\cap d_1=M;d_3\cap d_2=N$.

$M\in d_1$, mà $d_1\subset \left(P\right)$ suy ra $M\in \left(P\right)$

$N\in {\text{d}}_2$, mà ${\text{d}}_2\subset \left(\text{P}\right)$ suy ra $\text{N}\in \left(\text{P}\right)$

Nếu $\text{M}\ne \text{N}$ suy ra d₃ có hai điểm M, N cùng thuộc (P)

Suy ra $d_3\subset \left(P\right)$

Suy ra d₁, d₂, d₃ đồng phẳng (trái với giả thiết d₁, d₂, d₃ không đồng phẳng)

Suy ra $M\equiv N$ là điểm thuộc cả d₁, d₂, d₃

Vậy d₁, d₂, d₃ đồng quy.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 hay, chi tiết khác:

Hoạt động 1 trang 45 SGK Toán lớp 11 Hình học: Hãy vẽ thêm một vài hình biểu diễn của hình chóp tam giác...

Hoạt động 2 trang 47 SGK Toán lớp 11 Hình học: Tại sao người thợ mộc kiểm tra độ phẳng mặt bàn bằng cách rê thước thẳng trên mặt bàn...

Hoạt động 3 trang 47 SGK Toán lớp 11 Hình học: Hãy cho biết M có thuộc mặt phẳng (ABC) không và đường thẳng AM có nằm trong mặt phẳng (ABC) không...

Hoạt động 4 trang 48 SGK Toán lớp 11 Hình học: Hãy chỉ ra một điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) khác điểm S...

Hoạt động 5 trang 48 SGK Toán lớp 11 Hình học: Hình 2.16 đúng hay sai...

Hoạt động 6 trang 52 SGK Toán lớp 11 Hình học: Kể tên các mặt bên, cạnh bên, cạnh đáy của hình chóp...

Bài tập 1 trang 53 SGK Toán lớp 11 Hình học: Chứng minh đường thẳng EF nằm trong mặt phẳng (ABC)...

Bài tập 2 trang 53 SGK Toán lớp 11 Hình học: Chứng minh M là điểm chung của (α) với một mặt phẳng bất kì chứa d...

Bài tập 4 trang 53 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho bốn điểm A, B, C và D không đồng phẳng...

Bài tập 5 trang 53 SGK Toán lớp 11 Hình học: Tìm giao điểm N của đường thẳng SD và mặt phẳng (MAB)...

Bài tập 6 trang 54 SGK Toán lớp 11 Hình học: Tìm giao điểm của đường thẳng CD và mặt phẳng (MNP)...

Bài tập 7 trang 54 SGK Toán lớp 11 Hình học: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (KAD)...

Bài tập 8 trang 54 SGK Toán lớp 11 Hình học: Tìm giao điểm của mặt phẳng (PMN) và BC...

Bài tập 9 trang 54 SGK Toán lớp 11 Hình học: Tìm giao điểm M của CD và mặt phẳng (C’AE)...

Bài tập 10 trang 54 SGK Toán lớp 11 Hình học: Tìm giao điểm N của đường thẳng CD và mặt phẳng (SBM)...