Luyện tập 4 trang 70 Toán 10 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 10

Giải Toán lớp 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vecto

Luyện tập 4 trang 70 Toán 10 tập 1: Cho tam giác ABC với A(‒1;2), B(8;‒1), C(8;8). Gọi H là trực tâm của tam giác.

a) Chứng minh rằng $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0$ và $\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{CA}=0$

b) Tìm tọa độ của H.

c) Giải tam giác ABC.

Lời giải

a) Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên:

+) $AH\perp BC\Rightarrow \overrightarrow{AH}\perp \overrightarrow{BC}\Rightarrow \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0;$

+) $BH\perp CA\Rightarrow \overrightarrow{BH}\perp \overrightarrow{CA}\Rightarrow \overrightarrow{BH}.\overrightarrow{CA}=0$.

Vậy $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0$ và $\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{CA}=0$.

b) Gọi tọa độ điểm H là H(x; y).

Ta có: A(‒1;2), B(8;‒1), C(8;8) và H(x; y).

$\Rightarrow \overrightarrow{AH}=\left(x+1;y-2\right);\overrightarrow{BC}=\left(0;9\right)$ và $\overrightarrow{BH}=\left(x-8;y+1\right);\overrightarrow{AC}=\left(9;6\right)$

Suy ra $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=\left(x+1\right).0+\left(y-2\right).9=9\left(y-2\right).$

Và $\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}=\left(x-8\right).9+\left(y+1\right).6=9x-72+6y+6=9x+6y-66$.

Theo câu a ta có: $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0$$\iff$ 9(y – 2) = 0 $\iff$ y – 2 = 0 $\iff$ y = 2.

Và  $\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}=0$ (do BH ⊥ AC)$\iff$ 9x + 6y – 66 = 0.

Thay y = 2 vào 9x + 6y – 66 = 0 ta được: 9x + 6.2 – 66 = 0

$\iff$ 9x – 54 = 0

$\iff$ 9x = 54

$\iff$ x = 6

⇒ H(6; 2)

Vậy H(6; 2).

c) Với A(‒1;2), B(8;‒1), C(8;8) ta có:

Xét tam giác ABC, theo định lí tổng ba góc trong một tam giác ta có: $\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180°$

$\Rightarrow \widehat{ACB}=180°-\left(\widehat{BAC}+\widehat{ABC}\right)$  

$\Rightarrow \widehat{ACB}\approx 180°-\left(52°8^{\text{'}}+71°{34}^{\text{'}}\right)\approx 56°{18}^{\text{'}}$

Vậy 

$$\begin{gathered} AB=3\sqrt{10},AC=3\sqrt{13},BC=9,\widehat{BAC} \\ \approx 52°8^{\text{'}},\widehat{ABC}\approx 71°{34}^{\text{'}},\widehat{ACB}\approx 56°{18}^{\text{'}}. \end{gathered}$$

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác: 

HĐ 1 trang 66 Toán 10 tập 1: Trong Hình 4.39, số đo góc BAC cũng được gọi là số đo góc giữa hai vectơ...

Câu hỏi trang 66 Toán 10 tập 1: Khi nào thì góc giữa hai vectơ bằng 0^°, bằng 180^°....

Luyện tập 1 trang 66 Toán 10 tập 1: Cho tam giác đều ABC. Tính $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right).$..

Câu hỏi trang 67 Toán 10 tập 1: Khi nào tích vô hướng của hai vectơ khác vectơ-không $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ là một số dương...

Câu hỏi trang 67 Toán 10 tập 1: Khi nào thì ${\left(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}\right)}^2={\overrightarrow{u}}^2.{\overrightarrow{v}}^2?$...

Luyện tập 2 trang 67 Toán 10 tập 1: Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c...

HĐ 2 trang 68 Toán 10 tập 1: Cho hai vectơ cùng phương $\overrightarrow{u}=\left(x;y\right)$ và $\overrightarrow{v}=\left(kx;ky\right).$..

HĐ 3 trang 68 Toán 10 tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ không cùng phương  $\overrightarrow{u}=\left(x;y\right)$...

Luyện tập 3 trang 68 Toán 10 tập 1: Tính tích vô hướng và góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}=\left(0;-5\right),\overrightarrow{v}=\left(\sqrt{3};1\right)$...

HĐ 4 trang 68 Toán 10 tập 1: Cho ba vectơ $\overrightarrow{u}=\left(x_1;y_1\right),$$\overrightarrow{v}=\left(x_2;y_2\right),$ $\overrightarrow{w}=\left(x_3;y_3\right).$...

Vận dụng trang 70 Toán 10 tập 1: Một lực $\overrightarrow{F}$ không đổi tác động vào một vật và điểm đặt của lực chuyển động thẳng...

Bài 4.21 trang 70 Toán 10 tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tính góc giữa hai vectơ...

Bài 4.22 trang 70 Toán 10 tập 1: Tìm điều kiện của $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ để...

Bài 4.23 trang 70 Toán 10 tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; 2), B(‒4; 3)...

Bài 4.24 trang 70 Toán 10 tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A(‒4; 1), B(2; 4), C(2; ‒2)...

Bài 4.25 trang 70 Toán 10 tập 1: Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC...

Bài 4.26 trang 70 Toán 10 tập 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng với mọi điểm M...

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác: 

Bài tập cuối chương 4

Bài 12: Số gần đúng và sai số

Bài 13: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

Bài 14: Các số đặc trưng. Đo độ phân tán

Bài tập cuối chương 5