Cho tam giác ABC. Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BC, CA

Giải SBT Toán lớp 10 Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ

Bài 4.10 trang 51 SBT Toán 10 Tập 1:

Cho tam giác ABC. Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BC, CA. AB.

a) Xác định vectơ $\overrightarrow{AF}–\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CE}.$ 

b) Xác định điểm M thoả mãn $\overrightarrow{\text{AF}}-\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{MA}.$ 

c) Chứng minh rằng $\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AB}.$ 

Lời giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{AF}–\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CE}$

$=\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CE}$

$=\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{EA}$  (vì E là trung điểm AC nên $\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{EA}$)

$=\left(\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AF}\right)+\overrightarrow{DB}$

$=\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{DB}$

Vì E, F lần lượt là trung điểm của AC, AB

Nên EF là đường trung bình của tam giác ABC

$\Rightarrow$ EF // BC và $EF=\frac{1}{2}BC$ 

Mà D là trung điểm của BC nên $BD=\frac{1}{2}BC$ 

Xét tứ giác EFBD có: EF // BD, $\text{EF}=BD\left(=\frac{1}{2}BC\right)$ 

$\Rightarrow$ EFBD là hình bình hành

$\Rightarrow$ $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{DB}$

Khi đó: $\overrightarrow{AF}–\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CE}$$=\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{DB}$

$=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DB}$

$=2\overrightarrow{DB}$ 

$\overrightarrow{CB}$ (do D là trung điểm của BC)

Vậy $\overrightarrow{AF}–\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CB}.$

b) Điểm M thoả mãn $\overrightarrow{\text{AF}}-\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{MA}.$

Mà $\overrightarrow{AF}–\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CB}$ (câu a)

Nên $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{CB}$ 

Do đó MABC là hình bình hành (theo kết quả bài tập 4.3 SGK Toán 10 SBT Toán 10 Tập 1)

Vậy điểm M thoả mãn tứ giác MABC là hình bình hành.

c) Vì MABC là hình bình hành (câu b)

Nên $\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AB}$ (theo kết quả bài tập 4.3 SGK Toán 10 SBT Toán 10 Tập 1)

Vậy $\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AB}.$

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Bài 4.7 trang 50 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ không cùng phương. Chứng minh rằng...

Bài 4.8 trang 50 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD tâm O. M là một điểm tuỳ ý thuộc cạnh BC...

Bài 4.9 trang 50 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tứ giác ABCD. a) Chứng minh rằng $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{0}$...

Bài 4.11 trang 51 SBT Toán 10 Tập 1: Trên Hình 4.7 biểu diễn ba lực $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}$ cùng tác động vào một vật ở vị trí...

Bài 4.12 trang 51 SBT Toán 10 Tập 1: Trên mặt phẳng, chất điểm A chịu tác dụng của ba lực $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}$...