Cho hình bình hành ABCD tâm O. M là một điểm tuỳ ý thuộc cạnh BC

Giải SBT Toán lớp 10 Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ

Bài 4.8 trang 50 SBT Toán 10 Tập 1:

Cho hình bình hành ABCD tâm O. M là một điểm tuỳ ý thuộc cạnh BC, khác B và C. MO cắt cạnh AD tại N.

a) Chứng minh rằng O là trung điểm MN.

b) Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Chứng minh rằng G cũng là trọng tâm tam giác MNC.

Lời giải:

a) Vì ABCD là hình bình hành tâm O

Nên O là trung điểm của AC và BD và $\widehat{ADO}=\widehat{CBO}$ 

Xét ∆ODN và ∆OBM có:

OD = OB (do O là trung điểm của BD),

$\widehat{DON}=\widehat{BOM}$ (hai góc đối đỉnh),

$\widehat{NDO}=\widehat{MBO}$(do $\widehat{ADO}=\widehat{CBO}$)

$\Rightarrow$ ∆ODN = ∆OBM (g.c.g)

$\Rightarrow$ ON = OM (hai cạnh tương ứng)

$\Rightarrow$ O là trung điểm của NM.

Vậy O là trung điểm của NM.

b) Vì G là trọng tâm ∆BCD nên $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$ 

$\Rightarrow \left(\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{MB}\right)+\overrightarrow{GC}+\left(\overrightarrow{GN}+\overrightarrow{ND}\right)=\overrightarrow{0}$ (quy tắc hiệu)

$\Rightarrow \overrightarrow{GM}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GN}+\overrightarrow{ND}=\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow \overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GN}+\left(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{ND}\right)=\overrightarrow{0}$ (*)

Ta có: O là trung điểm của NM (câu a), O là trung điểm của BD (câu a)

$\Rightarrow$ BMDN là hình bình hành

$\Rightarrow \overrightarrow{BM}=\overrightarrow{ND}$ $\Rightarrow -\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{ND}$ 

$\Rightarrow \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{ND}=\overrightarrow{0}$ 

Thay vào (*) ta được $\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GN}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}$

Do đó $\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GN}=\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow$ G là trọng tâm tam giác MNC.

Vậy G là trọng tâm tam giác MNC.

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Bài 4.7 trang 50 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ không cùng phương. Chứng minh rằng...

Bài 4.9 trang 50 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tứ giác ABCD. a) Chứng minh rằng $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{0}$...

Bài 4.10 trang 51 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BC, CA...

Bài 4.11 trang 51 SBT Toán 10 Tập 1: Trên Hình 4.7 biểu diễn ba lực $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}$ cùng tác động vào một vật ở vị trí...

Bài 4.12 trang 51 SBT Toán 10 Tập 1: Trên mặt phẳng, chất điểm A chịu tác dụng của ba lực $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}$...