Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm N. Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với AN cắt đường thẳng CD tại Q

Giải Vở thực hành Toán 8 Luyện tập chung trang 63

Bài 5 trang 64 vở thực hành Toán 8 Tập 1: Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm N. Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với AN cắt đường thẳng CD tại Q. Gọi I là trung điểm của NQ. Gọi M là giao điểm AI và CD. Qua N dựng đường thẳng song song với CD cắt AI tại P. Chứng minh rằng:

a) ∆PIN = ∆MIQ.

b) Tứ giác MNPQ là hình thoi.

Lời giải:

(H.3.42). a) Xét hai tam giác PIN và MIQ có ${\widehat{I}}_1={\widehat{I}}_2$ (hai góc đối đỉnh), QI = IN, ${\widehat{N}}_1={\widehat{Q}}_1$ (do NP // QM)

⇒ ∆PIN = ∆MIQ (g.c.g)

⇒ QM = NP.

b) Tứ giác MNPQ có PN // MQ, QM = NP nên là hình bình hành.

Ta chứng minh MNPQ có hai đường chéo vuông góc.

Vì AQ ⊥ AN nên ${\widehat{A}}_1+\widehat{DAN}=90°,{\widehat{A}}_2+\widehat{DAN}=90°$$\Rightarrow {\widehat{A}}_1={\widehat{A}}_2.$

Xét hai tam giác vuông ADQ và ABN có AD = AB, ${\widehat{A}}_1={\widehat{A}}_2.$ (chứng minh trên).

⇒ ∆ADQ = ∆ABN (cạnh góc vuông – góc nhọn)

⇒ AQ = AN.

Do đó tam giác AQN cân tại A, mà AI là đường trung tuyến của tam giác AQN

⇒ AI là đường cao của tam giác AQN, tức là AI ⊥ QN, hay PM ⊥ QN.

Hình bình hành MNPQ có hai đường chéo PM ⊥ QN nên là hình thoi.