Bài 3 trang 120 Toán 11 Tập 1 | Chân trời sáng tạo Giải Toán lớp 11

Giải Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng song song 

Bài 3 trang 120 Toán 11 Tập 1: Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên các đường chéo AC và BF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho AM = BN. Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M, N lần lượt cắt AD, AF tại M’, N’.

a) Chứng minh (CBE) // (ADF).

b) Chứng minh (DEF) // (MNN’M’).

Lời giải:

a) Ta có: BE // AF (ABEF là hình vuông) mà AF ⊂ (ADF) nên BE // (ADF).

BC // AD (ABCD là hình vuông) mà AD ⊂ (ADF) nên BC // (ADF)

Mặt khác BE, BC cắt nhau tại B và nằm trong mặt phẳng (CBE)

Vì vậy (CBE) // (ADF).

b) Trong mặt phẳng (ABF) có: NN’ // AD nên $\frac{AN\text{'}}{AF}=\frac{BN}{BF}$ (định lí Thales).

Trong mặt phẳng (ADC) có: MM’ // DC nên $\frac{AM\text{'}}{AD}=\frac{AM}{AC}$ (định lí Thales).

Ta có hình vuông ABCD và hình vuông ABEF là hai hình vuông bằng nhau vì cùng chung cạnh AB nên AC = BF mà AM = BN nên $\frac{BN}{BF}=\frac{AM}{AB}$ suy ra $\frac{AN\text{'}}{AF}=\frac{AM\text{'}}{AC}$.

Trong tam giác ADF, có $\frac{AN\text{'}}{AF}=\frac{AM\text{'}}{AC}$ nên M’N’ // DF (theo định lí Thales đảo).

Mà DF ⊂ (DEF) nên M’N’ // (DEF).

Ta có: MM’ // AD // DC (gt) mà DC ⊂ (DEF) nên MM’ // (DEF)

Ta lại có M’N’ và MM’ là hai đường thẳng cắt nhau tại M’ và cùng nằm trong (MNN’M’).

Vì vậy (DEF) // (MNN’M’).