Bài 4 trang 120 Toán 11 Tập 1 | Chân trời sáng tạo Giải Toán lớp 11

Giải Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng song song 

Bài 4 trang 120 Toán 11 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi G1 và G2 lần lượt là trọng tâm của hai tam giác BDA’ và B’D’C. Chứng minh G1 và G2 chia đoạn AC’ thành ba phần bằng nhau.

Lời giải:

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD, O’ là giao điểm của A’C’ và B’D’, I là giao điểm của AC’ và A’C.

Tứ giác AA’C’C là hình bình hành có I là trung điểm của A’C và I cũng là trung điểm của AC’.

+) Trong tam giác BA’D có: G₁ là trọng tâm tam giác và A’O là đường trung tuyến nên G₁ ∈ A’O thỏa mãn A’G₁ = $\frac{2}{3}$A’O.

+) Trong tam giác B’CD’ có: G₂ là trọng tâm tam giác và CO’ là đường trung tuyến nên G₂ ∈ CO’ thỏa mãn CG₂ = $\frac{2}{3}$CO’.

+) Trong tam giác A’AC có G₁ ∈ A’O thỏa mãn A’G₁ = $\frac{2}{3}$A’O nên G₁ là trọng tâm tam giác AA’C nên AG₁ = $\frac{2}{3}$AI mà I là trung điểm của AC thì AI = $\frac{1}{2}$AC, suy ra AG₁ = $\frac{1}{3}$AC.

+) Tương tự trong tam giác A’CC’, có: AG₂ = $\frac{1}{3}$AC.

Vì vậy G₁G₂ = $\frac{1}{3}$AC.