Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol

Giải Toán 11 Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Bài tập 6 trang 156 SGK Toán lớp 11 Đại số: Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol ;

a) Tại điểm $\left(\frac{1}{2};2\right)$;

b) Tại điểm có hoành độ bằng –1;

c) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng $-\frac{1}{4}$.

Lời giải:

a) Xét giới hạn:

$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{x_0}}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{x.x_0-x}{\left.x-x_0\right)}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{-1}{x.x_0}=-\frac{1}{x_0^2}$

$\Rightarrow y^{\text{'}}\left(x_0\right)=-\frac{1}{x_0^2}$

Ta có: <$y^{\text{'}}\left(\frac{1}{2}\right)=-4.$

Vậy phương trình tiếp tuyến của hypebol tại điểm $\left(\frac{1}{2};2\right)$là

$y=-4\left(x-\frac{1}{2}\right)+2=-4x+4.$

b) Ta có: y′(–1) = –1

y(–1) = –1

Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng –1 là: y = – (x + 1) – 1 = –x – 2.

c) Gọi x₀ là hoành độ tiếp điểm.

Ta có: $y^{\text{'}}\left(x_0\right)=-\frac{1}{4}\iff -\frac{1}{x_0^2}=-\frac{1}{4}\iff x_0^2=4\iff x_0=\pm 2$

Với x₀ = 2 ta có $y\left(2\right)=\frac{1}{2}$, phương trình tiếp tuyến là $y\left(2\right)=\frac{1}{2}y=-\frac{1}{4}(x-2)+\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}x+1$

Với x₀ = –2 ta có $y(-2)=-\frac{1}{2}$, phương trình tiếp tuyến là:

$y=-\frac{1}{4}(x+2)-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}x-1.$

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 hay, chi tiết khác:

Hoạt động 1 trang 146 SGK Toán lớp 11 Đại số: Một đoàn tàu chuyển động thẳng khởi hành từ một ga...

Hoạt động 2 trang 149 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho hàm số y = x². Hãy tính y′(x₀) bằng định nghĩa...

Hoạt động 3 trang 150 SGK Toán lớp 11 Đại số: a) Vẽ đồ thị của hàm số ...

Hoạt động 4 trang 152 SGK Toán lớp 11 Đại số: Viết phương trình đường thẳng đi qua M₀(x₀; y₀) và có hệ số góc k...

Hoạt động 5 trang 152 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho hàm số y = –x² + 3x – 2. Tính y′(2) bằng định nghĩa...

Hoạt động 6 trang 153 SGK Toán lớp 11 Đại số: Bằng định nghĩa, hãy tính đạo hàm của các hàm số...

Bài tập 1 trang 156 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tìm số gia của hàm số f(x) = x³, biết rằng...

Bài tập 2 trang 156 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tính Δy và  của các hàm số sau theo x và Δx...

Bài tập 3 trang 156 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của mỗi hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra...

Bài tập 4 trang 156 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh rằng hàm số...

Bài tập 5 trang 156 SGK Toán lớp 11 Đại số: Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y = x³...

Bài tập 7 trang 157 SGK Toán lớp 11 Đại số: Một vật rơi tự do theo phương trình...