Vẽ đồ thị của hàm số  Tính f′(1)

Giải Toán 11 Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Hoạt động 3 trang 150 SGK Toán lớp 11 Đại số: a) Vẽ đồ thị của hàm số $f\left(x\right)=\frac{x^2}{2}$

b) Tính f′(1).

c) Vẽ đường thẳng đi qua điểm $M\left(1;\frac{1}{2}\right)$ và có hệ số góc bằng f′(1). Nêu nhận xét về vị trí tương đối của đường thẳng này và đồ thị hàm số đã cho.

Lời giải:

a)

b) Giả sử $\Delta x$ là số gia của đối số tại x₀ = 1. Ta có:

$\Delta y=f(1+\Delta x)-f\left(1\right)=\frac{{(1+\Delta x)}^2}{2}-\frac{1^2}{2}=\frac{{\left(\Delta x\right)}^2+2\Delta x}{2}$

$\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{{\left(\Delta x\right)}^2+2\Delta x}{2\Delta x}=\frac{\Delta x+2}{2}$

$\Rightarrow f\text{'}\left(1\right)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta x+2}{2}=\frac{2}{2}=1$

c) Đường thẳng có hệ số góc bằng f′(1) =1  có dạng: y = 1.x + a hay y = x + a

Mà đường thẳng đó đi qua điểm $M\left(1;\frac{1}{2}\right)$ nên có: $\frac{1}{2}=1+a$

$\Rightarrow a=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}$

Đường thẳng đi qua M và có hệ số góc bằng 1 là:$y=x–\frac{1}{2}$

Ta có đồ thị như trên. Đường thẳng $y=x–\frac{1}{2}$tiếp xúc với đồ thị hàm số f(x) tại M.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 hay, chi tiết khác:

Hoạt động 1 trang 146 SGK Toán lớp 11 Đại số: Một đoàn tàu chuyển động thẳng khởi hành từ một ga...

Hoạt động 2 trang 149 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho hàm số y = x². Hãy tính y′(x₀) bằng định nghĩa...

Hoạt động 4 trang 152 SGK Toán lớp 11 Đại số: Viết phương trình đường thẳng đi qua M₀(x₀; y₀) và có hệ số góc k...

Hoạt động 5 trang 152 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho hàm số y = –x² + 3x – 2. Tính y′(2) bằng định nghĩa...

Hoạt động 6 trang 153 SGK Toán lớp 11 Đại số: Bằng định nghĩa, hãy tính đạo hàm của các hàm số...

Bài tập 1 trang 156 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tìm số gia của hàm số f(x) = x³, biết rằng...

Bài tập 2 trang 156 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tính Δy và  của các hàm số sau theo x và Δx...

Bài tập 3 trang 156 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của mỗi hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra...

Bài tập 4 trang 156 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh rằng hàm số...

Bài tập 5 trang 156 SGK Toán lớp 11 Đại số: Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y = x³...

Bài tập 6 trang 156 SGK Toán lớp 11 Đại số: Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol...

Bài tập 7 trang 157 SGK Toán lớp 11 Đại số: Một vật rơi tự do theo phương trình...