Chứng minh rằng hàm số sau không có đạo hàm tại điểm x = 0

Giải Toán 11 Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Bài tập 4 trang 156 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh rằng hàm số

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}{\left(x-1\right)}^2\text{ neu x}\ge 0\\ -x^2\text{ neu }x<0\end{array}\right.$

 

không có đạo hàm tại điểm x = 0 nhưng có đạo hàm tại điểm x = 2.

Lời giải:

Ta có:

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{(x-1)}^2={(0-1)}^2=1$

$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\left(-x^2\right)=-0^2=0$

$\Rightarrow \underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)\ne \underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)$

Do đó hàm số y = f(x) gián đoạn tại x = 0.

Vậy hàm số không có đạo hàm tại điểm x = 0 (vi phạm điều kiện cần).

Xét giới hạn:

$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(2\right)}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{{(x-1)}^2-1}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-2x}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x(x-2)}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }x=2$

Vậy hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x = 2 và f′(2) = 2.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 hay, chi tiết khác:

Hoạt động 1 trang 146 SGK Toán lớp 11 Đại số: Một đoàn tàu chuyển động thẳng khởi hành từ một ga...

Hoạt động 2 trang 149 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho hàm số y = x². Hãy tính y′(x₀) bằng định nghĩa...

Hoạt động 3 trang 150 SGK Toán lớp 11 Đại số: a) Vẽ đồ thị của hàm số ...

Hoạt động 4 trang 152 SGK Toán lớp 11 Đại số: Viết phương trình đường thẳng đi qua M₀(x₀; y₀) và có hệ số góc k...

Hoạt động 5 trang 152 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho hàm số y = –x² + 3x – 2. Tính y′(2) bằng định nghĩa...

Hoạt động 6 trang 153 SGK Toán lớp 11 Đại số: Bằng định nghĩa, hãy tính đạo hàm của các hàm số...

Bài tập 1 trang 156 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tìm số gia của hàm số f(x) = x³, biết rằng...

Bài tập 2 trang 156 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tính Δy và  của các hàm số sau theo x và Δx...

Bài tập 3 trang 156 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của mỗi hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra...

Bài tập 5 trang 156 SGK Toán lớp 11 Đại số: Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y = x³...

Bài tập 6 trang 156 SGK Toán lớp 11 Đại số: Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol...

Bài tập 7 trang 157 SGK Toán lớp 11 Đại số: Một vật rơi tự do theo phương trình...