Bằng định nghĩa hãy tính đạo hàm của các hàm số

Giải Toán 11 Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Hoạt động 6 trang 153 SGK Toán lớp 11 Đại số: Bằng định nghĩa, hãy tính đạo hàm của các hàm số:

a) f(x) = x² tại điểm x bất kì;

b)$g\left(x\right)=\frac{1}{x}$ tại điểm bất kì $x\ne 0$.

Lời giải:

a) Giả sử $\Delta x$ là số gia của đối số tại x₀ bất kỳ. Ta có:

$\Delta y=f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)$

$={\left(x_0+\Delta x\right)}^2-x_0^2=2x_0\Delta x+{\left(\Delta x\right)}^2$

$\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{2x_0\Delta x+{\left(\Delta x\right)}^2}{\Delta x}=2x_0+\Delta x$

$\Rightarrow y\text{'}\left(x_0\right)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left(2x_0+\Delta x\right)=2x_0$

b) Giả sử $\Delta x$ là số gia của đối số tại x₀ bất kỳ. Ta có:

$\Delta y=g\left(x_0+\Delta x\right)-g\left(x_0\right)$

$=\frac{1}{x_0+\Delta x}-\frac{1}{x_0}=\frac{-\Delta x}{x_0\left(x_0+\Delta x\right)}$

$\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{-\Delta x}{x_0\left(x_0+\Delta x\right)}:\Delta x=\frac{-1}{x_0\left(x_0+\Delta x\right)}$

$y\text{'}\left(x_0\right)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left(\frac{-1}{x_0\left(x_0+\Delta x\right)}\right)=\frac{-1}{x_0^2}$

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 hay, chi tiết khác:

Hoạt động 1 trang 146 SGK Toán lớp 11 Đại số: Một đoàn tàu chuyển động thẳng khởi hành từ một ga...

Hoạt động 2 trang 149 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho hàm số y = x². Hãy tính y′(x₀) bằng định nghĩa...

Hoạt động 3 trang 150 SGK Toán lớp 11 Đại số: a) Vẽ đồ thị của hàm số ...

Hoạt động 4 trang 152 SGK Toán lớp 11 Đại số: Viết phương trình đường thẳng đi qua M₀(x₀; y₀) và có hệ số góc k...

Hoạt động 5 trang 152 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho hàm số y = –x² + 3x – 2. Tính y′(2) bằng định nghĩa...

Bài tập 1 trang 156 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tìm số gia của hàm số f(x) = x³, biết rằng...

Bài tập 2 trang 156 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tính Δy và  của các hàm số sau theo x và Δx...

Bài tập 3 trang 156 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của mỗi hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra...

Bài tập 4 trang 156 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh rằng hàm số...

Bài tập 5 trang 156 SGK Toán lớp 11 Đại số: Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y = x³...

Bài tập 6 trang 156 SGK Toán lớp 11 Đại số: Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol...

Bài tập 7 trang 157 SGK Toán lớp 11 Đại số: Một vật rơi tự do theo phương trình...