Sách bài tập Toán 9 Bài 3 (Chân trời sáng tạo): Định lí Viète

Giải SBT Toán 9 Bài 3: Định lí Viète

Bài 1 trang 15 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của mỗi phương trình:

a) 5x² – 9x + 1 = 0;

b) 9x² – 12x + 4 = 0;

c) 4x² + 9x + 12 = 0;

d) $5x^2-2\sqrt{3}x-3=0.$

Lời giải:

a) Xét phương trình 5x² – 9x + 1 = 0.

Ta có ∆ = (‒9)² ‒ 4.5.1 = 81 ‒ 20 = 61 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

Theo định lí Viète, ta có: $x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-9}{5}=\frac{9}{5};x_1{x}_2=\frac{c}{a}=\frac{1}{5}.$

b) Xét phương trình 9x² – 12x + 4 = 0.

Ta có ∆’ = (‒6)² ‒ 9.4 = 36 ‒ 36 = 0 nên phương trình có nghiệm kép.

Theo định lí Viète, ta có: $x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-12}{9}=\frac{4}{3};x_1{x}_2=\frac{c}{a}=\frac{4}{9}.$

c) Xét phương trình 4x² + 9x + 12 = 0.

Ta có ∆ = 9² ‒ 4.4.12 = 81 ‒ 192 = – 111 < 0 nên phương trình vô nghiệm.

d) Xét phương trình $5x^2-2\sqrt{3}x-3=0.$

Ta có ${\Delta }^{\text{'}}={\left(-\sqrt{3}\right)}^2-5\cdot \left(-3\right)=3+15=18>0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

Theo định lí Viète, ta có: $x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-2\sqrt{3}}{5}=\frac{2\sqrt{3}}{5};x_1{x}_2=\frac{c}{a}=\frac{-3}{5}.$

Bài 2 trang 15 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:

a) 24x² – 19x – 5 = 0;

b) 2,5x² + 7,2x + 4,7 = 0;

c) $\frac{3}{2}{x}^2+5x+\frac{7}{2}=0;$

d) $2x^2-\left(2+\sqrt{3}\right)x+\sqrt{3}=0.$

Lời giải:

a) Phương trình 24x² – 19x – 5 = 0 có:

a + b + c = 24 + (–19) + (–5) = 0.

Vậy phương trình có hai nghiệm là $x_1=1;x_2=\frac{c}{a}=-\frac{5}{24}.$

b) Phương trình 2,5x² + 7,2x + 4,7 = 0 có:

a – b + c = 2,5 – 7,2 + 4,7 = 0.

Vậy phương trình có hai nghiệm là $x_1=-1;x_2=-\frac{c}{a}=-\frac{47}{25}.$

c) Phương trình $\frac{3}{2}{x}^2+5x+\frac{7}{2}=0$ có:

$a-b+c=\frac{3}{2}-5+\frac{7}{2}=\frac{3}{2}-\frac{10}{2}+\frac{7}{2}=\frac{0}{2}=0.$

Vậy phương trình có hai nghiệm là $x_1=-1;x_2=-\frac{c}{a}=-\frac{\frac{7}{2}}{\frac{3}{2}}=-\frac{7}{3}.$

d) Phương trình $2x^2-\left(2+\sqrt{3}\right)x+\sqrt{3}=0$ có:

$a+b+\text{c}=2+\left[-\left(2+\sqrt{3}\right)\right]+\sqrt{3}=2-2-\sqrt{3}+\sqrt{3}=0.$

Vậy phương trình có hai nghiệm là $x_1=1;x_2=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Bài 3 trang 15 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Tìm hai số u và v (nếu có) trong mỗi trường hợp sau:

a) u + v = –20, uv = 96;

b) u + v = 24, uv = 135;

c) u + v = 9, uv = –400

d) u + v = 17, uv = 82.

Lời giải:

a) u và v là hai nghiệm của phương trình x² + 20x + 96 = 0.

Ta có: ∆’ = 10² ‒ 1.96 = 100 ‒ 96 = 4 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là

$x_1=\frac{-10+\sqrt{4}}{1}=\frac{-10+2}{1}=-8;$

$x_2=\frac{-10-\sqrt{4}}{1}=\frac{-10-2}{1}=-12.$

Vậy u = –8; v = –12 hoặc u = –12; v = –8.

b) u và v là hai nghiệm của phương trình x² – 24x + 135 = 0.

Ta có: ∆’ = 12² ‒ 1.135 = 144 ‒ 135 = 9 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-\left(-12\right)+\sqrt{9}}{1}=\frac{12+3}{1}=15;$

$x_2=\frac{-\left(-12\right)-\sqrt{9}}{1}=\frac{12-3}{1}=9.$

Vậy u = 15; v = 9 hoặc u = 9; v = 15.

c) u và v là hai nghiệm của phương trình x² – 9x – 400 = 0.

Ta có: ∆ = (‒9)² ‒ 4.1.(‒400) = 81 + 1 600 = 1 681 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là

$x_1=\frac{-\left(-9\right)+\sqrt{1681}}{2\cdot 1}=\frac{9+41}{2}=\frac{50}{2}=25;$

$x_2=\frac{-\left(-9\right)-\sqrt{1681}}{2\cdot 1}=\frac{9-41}{2}=\frac{-32}{2}=-16.$

Vậy u = 25; v = –16 hoặc u = –16; v = 25.

d) Ta có S = 17, P = 82, S² – 4P = 17² – 4.82 = 289 ‒ 328 = – 39 < 0.

Vậy không có hai số u và v thoả mãn điều kiện đã cho.

Bài 4 trang 15 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Tìm hai số a và b trong mỗi trường hợp sau:

a) a + b = 11 và a² + b² = 61;

b) ab = 24; a² + b² = 73 và a > b.

Lời giải:

a) Ta có (a + b)² = a² + 2ab + b² hay (a + b)² = (a² + b²) + 2ab

Suy ra 11² = 61 + 2ab

121 = 61 + 2ab.

2ab = 60

ab = 30.

Với a + b = 11, ab = 30 ta có a, b là hai nghiệm của phương trình x² ‒ 11x + 30 = 0.

Ta có: ∆ = (‒11)² ‒ 4.1.30 = 121 ‒ 120 = 1 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-\left(-11\right)+\sqrt{1}}{2\cdot 1}=\frac{11+1}{2}=\frac{12}{2}=6;$

$x_2=\frac{-\left(-11\right)-\sqrt{1}}{2\cdot 1}=\frac{11-1}{2}=\frac{10}{2}=5.$

Vậy a = 5; b = 6 hoặc a = 6; b = 5.

b) Ta có (a + b)² = a² + 2ab + b² = (a² + b²) + 2ab

= 73 + 2.24 = 73 + 48 = 121.

Suy ra a + b = 11 hoặc a + b = –11.

• Với a + b = 11 và ab = 24, ta có a, b là nghiệm của phương trình x² ‒ 11x + 24 = 0.

Ta có: ∆ = (‒11)² ‒ 4.1.24 = 121 ‒ 96 = 25 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là

$x_1=\frac{-\left(-11\right)+\sqrt{25}}{2\cdot 1}=\frac{11+5}{2}=\frac{16}{2}=8;$

$x_2=\frac{-\left(-11\right)-\sqrt{25}}{2\cdot 1}=\frac{11-5}{2}=\frac{6}{2}=3.$

Theo bài, a > b nên trong trường hợp này ta có a = 8; b = 3.

• Với a + b = –11 và ab = 24, ta có a, b là nghiệm của phương trình x² + 11x + 24 = 0.

Ta có: ∆ = 11² ‒ 4.1.24 = 121 ‒ 96 = 25 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là

$x_1=\frac{-11+\sqrt{25}}{2\cdot 1}=\frac{-11+5}{2}=\frac{-6}{2}=-3;$

$x_2=\frac{-11-\sqrt{25}}{2\cdot 1}=\frac{-11-5}{2}=\frac{-16}{2}=-8.$

Theo bài, a > b nên trong trường hợp này ta có a = ‒3; b = ‒8.

Vậy a = 8; b = 3 hoặc a = ‒3; b = ‒8.

Bài 5 trang 15 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho phương trình x² – 3x – 40 = 0. Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình, không giải phương trình, hãy tính giá trị của các biểu thức:

a) $A=x_1^2+x_2^2-x_1^2{x}_2-x_1{x}_2^2;$

b) $B=3x_1+3x_2-2x_1^2-2x_2^2;$

c) $C=\frac{x_2}{x_1+3}+\frac{x_1}{x_2+3}.$

Lời giải:

Xét phương trình x² – 3x – 40 = 0.

Ta có ∆ = (–3)² – 4.1.(–40) = 9 + 160 = 169 > 0, nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

Theo định lí Viète, ta có:

$S=x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-3}{1}=3;P=x_1{x}_2=\frac{c}{a}=\frac{-40}{1}=-40.$

a) $A=x_1^2+x_2^2-x_1^2{x}_2-x_1{x}_2^2$

$=x_1^2+x_2^2+2x_1{x}_2-2x_1{x}_2-x_1{x}_2\left(x_1+x_2\right)$

$={\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_2{x}_2-x_1{x}_2\left(x_1+x_2\right)$

Thay x₁ + x₂ = 3 và x₁x₂ = ‒ 40 vào biểu thức trên, ta được:

A = 3² ‒ 2.(‒40) ‒ (‒40).3

= 9 + 80 + 120 = 209.

b) $B=3x_1+3x_2-2x_1^2-2x_2^2$

$=3\left(x_1+x_2\right)-2\left(x_1^2+x_2^2\right)$

$=3\left(x_1+x_2\right)-2\left(x_1^2+x_2^2+2x_1{x}_2-2x_1{x}_2\right)$

$=3\left(x_1+x_2\right)-2\left[{\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2\right]$

Thay x₁ + x₂ = 3 và x₁x₂ = ‒ 40 vào biểu thức trên, ta được:

B = 3.3 ‒ 2[3² ‒ 2.(‒40)]

= 9 ‒ 2(9 + 80) = 9 – 2.89

= 9 ‒ 178 = ‒ 169.

c) $C=\frac{x_2}{x_1+3}+\frac{x_1}{x_2+3}=\frac{x_2\left(x_2+3\right)+x_1\left(x_1+3\right)}{\left(x_1+3\right)\left(x_2+3\right)}$

$=\frac{x_2^2+3x_2+x_1^2+3x_1}{x_1{x}_2+3x_1+3x_2+9}$

$=\frac{x_2^2+x_1^2+2x_1{x}_2-2x_1{x}_2+3\left(x_2+x_1\right)}{x_1{x}_2+3\left(x_1+x_2\right)+9}$

$=\frac{{\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2+3\left(x_2+x_1\right)}{x_1{x}_2+3\left(x_1+x_2\right)+9}$

Thay x₁ + x₂ = 3 và x₁x₂ = ‒ 40 vào biểu thức trên, ta được

$C=\frac{3^2-2\cdot \left(-40\right)+3\cdot 3}{-40+3\cdot 3+9}$

$=\frac{9+80+9}{-40+9+9}=\frac{98}{-22}=-\frac{49}{11}.$

Bài 6 trang 15 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 144 m, diện tích 1 040 m². Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn đó.

Lời giải:

Nửa chu vi mảnh vườn hình chữ nhật là: 144 : 2 = 72 (m).

Mà nửa chu vi mảnh vườn hình chữ nhật đó chính là tổng chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn và diện tích mảnh vườn chính là tích chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn.

Tức là tổng chiều dài và chiều rộng bằng 72 (m) và tích chiều dài và chiều rộng bằng 1 040 m².

Do đó chiều dài và chiều rộng là nghiệm của phương trình: x² – 72x + 1 040 = 0.

Ta có: ∆’ = (‒36)² ‒ 1 . 1 040 = 1 296 ‒ 1 040 = 256 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là

$x_1=\frac{-\left(-36\right)+\sqrt{256}}{1}=\frac{36+16}{1}=52;$

$x_2=\frac{-\left(-36\right)-\sqrt{256}}{1}=\frac{36-16}{1}=20.$

Do chiều dài lớn hơn chiều rộng nên ta có a = 52 và b = 20.

Vậy chiều dài của mảnh vườn là 52 m, chiều rộng của mảnh vườn là 20 m.

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán lớp 9 bộ sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 2: Phương trình bậc hai một ẩn

Bài tập cuối chương 6 trang 16

Bài 1: Bảng tần số và biểu đồ tần số

Bài 2: Bảng tần số tương đối và biểu đồ tần số tương đối

Bài 3: Biểu diễn số liệu ghép nhóm