Sách bài tập Toán 9 Bài 1 (Chân trời sáng tạo): Hàm số và đồ thị của hàm số y = ax^2 (a ≠ 0)

Giải SBT Toán 9 Bài 1: Hàm số và đồ thị của hàm số $\mathrm{y}={\mathrm{ax}}^2$ (a ≠ 0)

Bài 1 trang 7 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho hàm số y = ax² (a ≠ 0). Xác định hệ số a và vẽ đồ thị của hàm số với a tìm được trong mỗi trường hợp sau:

a) Đồ thị của hàm số đi qua A(–3; 27).

b) Đồ thị của hàm số đi qua B(–2; –3).

Lời giải:

a) Với A(–3; 27) ta thay x = ‒3; y = 27 vào hàm số y = ax² ta được:

27 = a.(‒3)² hay 9a = 27, suy ra a = 3.

Vậy y = 3x².

Ta có bảng giá trị của hàm số:

• Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, lấy các điểm A(‒2; 12); B (‒1; 3); O(0; 0); C(1; 3); D(2; 12).

• Đồ thị của hàm số y = 3x² là một đường parabol đỉnh O, đi qua các điểm trên và có dạng như hình vẽ.

b) Với B(– 2; – 3) ta thay x = ‒2; y = ‒3 vào hàm số y = ax² ta được:

‒3 = a.(‒2)² hay 4a = ‒ 3, suy ra $a=-\frac{3}{4}.$

Vậy $y=-\frac{3}{4}{x}^2$.

Ta có bảng giá trị của hàm số:

• Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, lấy các điểm A(‒2; ‒3); $B\left(-1;-\frac{3}{4}\right);$ O(0; 0); $C\left(1;-\frac{3}{4}\right);$ D(2; ‒3).

• Đồ thị của hàm số $y=-\frac{3}{4}{x}^2$ là một đường parabol đỉnh O, đi qua các điểm trên và có dạng như hình vẽ.

Bài 2 trang 7 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho hàm số $y=\frac{3}{4}{x}^2.$

a) Vẽ đồ thị của hàm số.

b) Trong các điểm $\left(-\frac{2}{3};\frac{1}{3}\right),\left(-\frac{2}{3};-\frac{1}{3}\right),\left(-4;12\right),\left(4;3\right),$ điểm nào thuộc đồ thị của hàm số?

Lời giải:

a) Ta có bảng giá trị của hàm số:

• Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, lấy các điểm A(‒2; 3); $B\left(-1;\frac{3}{4}\right);$ O(0; 0); $D\left(1;\frac{3}{4}\right);$ D(2; 3).

• Đồ thị của hàm số $y=\frac{3}{4}{x}^2$ là một đường parabol đỉnh O, đi qua các điểm trên và có dạng như hình vẽ.

b) • Thay $x=-\frac{2}{3},$ vào hàm số $y=\frac{3}{4}{x}^2,$ ta được:

$\frac{3}{4}\cdot {\left(-\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{3}{4}\cdot \frac{4}{9}=\frac{1}{3}\ne -\frac{1}{3}.$

Do đó điểm $\left(-\frac{2}{3};\frac{1}{3}\right)$ thuộc đồ thị hàm số $y=\frac{3}{4}{x}^2,$ còn điểm $\left(-\frac{2}{3};-\frac{1}{3}\right)$ không thuộc đồ thị hàm số $y=\frac{3}{4}{x}^2.$

• Thay x = ‒4, vào hàm số $y=\frac{3}{4}{x}^2,$ ta được:

$\frac{3}{4}\cdot {\left(-4\right)}^2=\frac{3}{4}\cdot 16=12.$

Do đó điểm (‒4; 12) thuộc đồ thị hàm số $y=\frac{3}{4}{x}^2.$

• Thay x = 4, vào hàm số $y=\frac{3}{4}{x}^2,$ ta được:

$\frac{3}{4}\cdot 4^2=\frac{3}{4}\cdot 16=12\ne 3.$

Do đó điểm (4; 3) không thuộc đồ thị hàm số $y=\frac{3}{4}{x}^2.$

Vậy các điểm $\left(-\frac{2}{3};\frac{1}{3}\right);\left(-4;12\right)$ thuộc đồ thị hàm số $y=\frac{3}{4}{x}^2.$

Bài 3 trang 7 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho parabol $\left(P\right):y=\frac{3}{2}{x}^2$ và đường thẳng d: y = 3x.

a) Vẽ (P) và d trên cùng một mặt phẳng toạ độ Oxy.

b) Dựa vào hình vẽ, tìm toạ độ giao điểm của (P) và d.

Lời giải:

a) ‒ Vẽ đồ thị hàm số $\left(P\right):y=\frac{3}{2}{x}^2$

Ta có bảng giá trị của hàm số:

• Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, lấy các điểm A(–2; 6); $B\left(-1;\frac{3}{2}\right),$ O(0; 0); $B^{\text{'}}\left(1;\frac{3}{2}\right),$ A’(2; 6).

• Đồ thị của hàm số $y=\frac{3}{2}{x}^2$ là một đường parabol đỉnh O, đi qua các điểm trên và có dạng như hình vẽ.

‒ Vẽ đường thẳng d: y = 3x.

Đồ thị của hàm số y = 3x là đường thẳng đi qua các điểm O(0; 0) và A’(2; 6).

Đồ thị của hai hàm số $y=\frac{3}{2}{x}^2$ và y = 3x được vẽ như sau:

b) Dựa vào hình vẽ, ta có các giao điểm của (P) và d là O(0; 0) và A’(2; 6).

Bài 4 trang 7 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho hàm số $y=-\frac{x^2}{2}.$

a) Vẽ đồ thị của hàm số.

b) Đường thẳng y = ax + b cắt đồ thị của hàm số đã cho tại hai điểm A và B có hoành độ lần lượt bằng 1 và –2. Hãy xác định a và b.

Lời giải:

a) Ta có bảng giá trị của hàm số:

• Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, lấy các điểm A(‒4; ‒8); B (‒2; ‒2); O(0; 0); C(2; ‒2); D(4; ‒8).

• Đồ thị của hàm số $y=-\frac{x^2}{2}$ là một đường parabol đỉnh O, đi qua các điểm trên và có dạng như hình vẽ.

b) Do đường thẳng y = ax + b cắt đồ thị của hàm số đã cho tại hai điểm A và B có hoành độ lần lượt bằng 1 và – 2 nên x_A = 1; x_B = ‒2.

Thay toạ độ của điểm A(1; y_A) vào $y=-\frac{x^2}{2},$ ta được $y_A=-\frac{1^2}{2}=-\frac{1}{2}.$

Do đó $A\left(1;-\frac{1}{2}\right).$

Thay toạ độ của điểm B(‒2; y_B) vào $y=-\frac{x^2}{2},$ ta được $y_B=-\frac{{\left(-2\right)}^2}{2}=-\frac{4}{2}=-2.$

Do đó B(– 2; – 2).

Điểm $A\left(1;-\frac{1}{2}\right)$ thuộc đường thẳng y = ax + b nên thay $x=1,y=-\frac{1}{2}$ vào hàm số y = ax + b, ta được: $-\frac{1}{2}=a\cdot 1+b$ hay $a+b=-\frac{1}{2}.$ (1)

Điểm B(–2; –2) thuộc đường thẳng y = ax + b nên thay x = –2, y = –2 vào hàm số y = ax + b, ta được: –2 = a.(–2) + b hay – 2a + b = – 2. (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}a+b=-\frac{1}{2}\\ -2a+b=-2.\end{array}\right.$

Trừ từng vế phương trình thứ nhất và phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:

$3a=\frac{3}{2},$ suy ra $a=\frac{1}{2}.$

Thay $a=\frac{1}{2}$ vào phương trình $a+b=-\frac{1}{2},$ ta được:

$\frac{1}{2}+b=-\frac{1}{2},$ suy ra b = –1.

Vậy $a=\frac{1}{2}, b=-1.$

Bài 5 trang 7 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho hàm số y = ax² (a ≠ 0).

a) Xác định hệ số a, biết rằng đồ thị (P) của hàm số cắt đường thẳng d: y = –2x + 4 tại điểm B có hoành độ bằng 1. Vẽ đồ thị của hàm số với a vừa tìm được.

b) Xác định m để đường thẳng d’: y = (m + 3)x – 2 cắt đồ thị (P) của hàm số tại điểm A có hoành độ bằng 4.

Lời giải:

a) Do đồ thị (P) cắt đường thẳng d tại điểm B có hoành độ bằng 1 nên x = 1, thay vào hàm số y = –2x + 4, ta được y = ‒2.1 + 4 = ‒2 + 4 = 2.

Do đó B(1; 2).

Vì B(1; 2) cũng thuộc đồ thị (P): y = ax², nên ta có:

2 = a.1², suy ra a = 2.

Vậy (P): y = 2x².

Ta có bảng giá trị của hàm số:

• Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, lấy các điểm M(‒2; 8); N(‒1; 2); O(0; 0); B(1; 2); Q(2; 8).

• Đồ thị của hàm số y = 2x² là một đường parabol đỉnh O, đi qua các điểm trên và có dạng như hình vẽ.

b) Do đường thẳng d’: y = (m + 3)x – 2 cắt đồ thị (P) của hàm số tại điểm A có hoành độ bằng 4 nên x = 4

Thay x = 4 vào hàm số y = 2x², ta được: y = 2.4² = 2.16 = 32.

Do đó A(4; 32).

Vì điểm A(4; 32) cũng thuộc d’ nên ta có:

32 = (m + 3).4 – 2

32 = 4m + 12 ‒ 2

4m = 22

$m=\frac{11}{2}.$

Vậy $m=\frac{11}{2}$ thì đường thẳng d’: y = (m + 3)x – 2 cắt đồ thị (P) của hàm số tại điểm A có hoành độ bằng 4.

Bài 6 trang 7 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho đồ thị của các hàm số y = ax² (a ≠ 0) và y = a’x² (a’ ≠ 0) (Hình 4).

Cho biết điểm A thuộc đồ thị của hàm số y = ax², điểm B thuộc đồ thị của hàm số y = a’x².

a) Xác định các hệ số a và a’.

b) Lấy điểm A’ đối xứng với A qua trục tung. Điểm A’ có thuộc đồ thị của hàm số y = ax² không? Vì sao?

c) Biết rằng điểm M(4; b) thuộc đồ thị của hàm số y = a’x², hãy tính b. Điểm M’(– 4; b) có thuộc đồ thị của hàm số y = a’x² không? Vì sao?

Lời giải:

Từ Hình 4 ta có A(2; –4) và B(2; –2).

a) ⦁ Do điểm A thuộc đồ thị của hàm số y = ax² nên thay x = 2; y = –4 vào hàm số y = ax², ta được

‒4 = a.2² hay 4a = ‒4, suy ra a = –1.

Do đó (P): y = –x².

⦁ Do điểm B thuộc đồ thị của hàm số y = a’x² nên thay toạ độ điểm x = 2; y = –2 vào hàm số y = a’x², ta được

‒2 = a.2² hay 4a = ‒2, suy ra $a^{\text{'}}=-\frac{1}{2}.$

Do đó $\left(P\text{'}\right):y=-\frac{1}{2}{\text{x}}^2.$

b) Cách 1. Ta có: đồ thị hàm số (P): y = –x² là một parabol nhận trục tung làm trục đối xứng.

Mà hai điểm A, A’ đối xứng với nhau qua trục tung và A thuộc (P) nên điểm A’ cũng thuộc (P): y = –x².

Cách 2. Điểm A’ đối xứng với điểm A qua trục tung nên ta có A’(–2; –4).

Thay x = –2 vào hàm số y = –x², ta được: y = –(–2)² = –4.

Do đó điểm A’(–2; –4) cũng thuộc (P): y = –x².

c) Cách 1. Ta có: đồ thị hàm số $\left(P\text{'}\right):y=-\frac{1}{2}{\text{x}}^2$ là một parabol nhận trục tung làm trục đối xứng.

Xét điểm M(4; b) và M’(–4; b) là hai điểm có hoành độ đối nhau và tung độ bằng nhau nên M, M’ là hai điểm đối xứng với nhau qua trục tung, mà điểm M(4; b) thuộc đồ thị (P’) nên điểm M’(–4; b) cũng thuộc $\left(P\text{'}\right):y=-\frac{1}{2}{\text{x}}^2$.

Cách 2. Do điểm M(4; b) thuộc đồ thị của hàm số $y=-\frac{1}{2}{\text{x}}^2,$ nên thay x = 4; y = b vào hàm số $y=-\frac{1}{2}{x}^2,$ ta được

$b=-\frac{1}{2}\cdot 4^2$ suy ra b = –8.

Do đó M(4; –8) và M’(–4; –8).

Thay x = –4 vào hàm số $y=-\frac{1}{2}{x}^2,$ ta được:

$y=-\frac{1}{2}\cdot {\left(-4\right)}^2=-\frac{1}{2}\cdot 16=-8.$

Vậy điểm M’(–4; –8) thuộc $\left(P\text{'}\right):y=-\frac{1}{2}{\text{x}}^2$.

Bài 7 trang 8 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Một bể nước dạng hình hộp chữ nhật với đáy là hình vuông có độ dài cạnh là x (m). Chiều cao của bể bằng 1,5 m. Gọi V là thể tích của bể.

a) Viết công thức tính thể tích V (m³) theo x.

b) Giả sử chiều cao của bể không đổi. Tính thể tích của bể khi x lần lượt nhận các giá trị: 1; 2; 3. Khi x tăng lên 2 lần, 3 lần thì thể tích của bể tăng lên mấy lần?

Lời giải:

a) Thể tích của hình hộp chữ nhật có chiều cao bằng 1,5 m và đáy là hình vuông cạnh x (m) là: V = 1,5x² (m³).

b) Khi x = 1 thì V = 1,5.1² = 1,5 (m³);

Khi x = 2 thì V = 1,5. 2² = 6 (m³);

Khi x = 3 thì V = 1,5.3² = 13,5 (m³).

Khi x tăng lên 2 lần thì thể tích của bể là:

V’ = 1,5.(2x)² = 1,5.4x² = 4.1,5x² = 4V (m³).

Khi x tăng lên 3 lần thì thể tích của bể là:

V’ = 1,5.(3x)² = 1,5.9x² = 9.1,5x² = 9V (m³).

Vậy khi x tăng lên 2 lần thì thể tích của bể tăng lên 4 lần, khi x tăng lên 3 lần thì thể tích của bể tăng lên 9 lần.

Bài 8 trang 8 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Nhiệt lượng toả ra trong dây dẫn được tính bởi công thức:

Q = 0,24I²Rt,

trong đó Q là nhiệt lượng tính bằng calo (cal), R là điện trở tính bằng ôm (Ω), I là cường độ dòng điện tính bằng ampe (A), t là thời gian tính bằng giây.

Xét dòng điện chạy qua một dây dẫn có điện trở R = 10 Ω trong thời gian 1 giây.

a) Hoàn thành bảng giá trị sau:

b) Tính cường độ dòng điện trong dây dẫn khi nhiệt lượng toả ra là 135 calo.

Lời giải:

Với R = 10 Ω, t = 1 giây ta có: Q = 0,24.10.I².1 = 2,4I² (cal).

a) Thay I = 1 vào hàm số Q = 2,4I², ta được: Q = 2,4.1² = 2,4 (cal).

Thay I = 2 vào hàm số Q = 2,4I², ta được: Q = 2,4.2² = 9,6 (cal).

Thay I = 3 vào hàm số Q = 2,4I², ta được: Q = 2,4.3² = 21,6 (cal).

Thay I = 4 vào hàm số Q = 2,4I², ta được: Q = 2,4.4² = 38,4 (cal).

Ta được bảng giá trị như sau:

b) Với Q = 135 (cal) thay vào hàm số Q = 2,4I², ta được:

2,4I² = 135, suy ra I² = 56,25, do đó I = 7,5 (A) (do I > 0).

Vậy cường độ dòng điện trong dây dẫn bằng 7,5 A khi nhiệt lượng tỏa ra là 135 calo.

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán lớp 9 bộ sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 2: Phương trình bậc hai một ẩn

Bài 3: Định lí Viète

Bài tập cuối chương 6 trang 16

Bài 1: Bảng tần số và biểu đồ tần số

Bài 2: Bảng tần số tương đối và biểu đồ tần số tương đối