Sách bài tập Toán 9 Bài 2 (Chân trời sáng tạo): Căn bậc ba

Giải SBT Toán 9 Bài 2: Căn bậc ba

Bài 1 trang 43 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Tìm căn bậc ba của các số:

a) ‒0,027;

b) 216;

c) $-\frac{1}{8000};$

d) $1\frac{61}{64}.$

Lời giải:

a) Ta có: (‒0,3)³ = ‒0,027, suy ra $\sqrt[3]{-\mathrm{0,027}}=-\mathrm{0,3};$

b) Ta có: 6³ = 216, suy ra $\sqrt[3]{216}=6;$

c) Ta có: ${\left(-\frac{1}{20}\right)}^3=-\frac{1}{8000},$ suy ra $\sqrt[3]{-\frac{1}{8000}}=-\frac{1}{20};$

d) Ta có: ${\left(\frac{5}{4}\right)}^3=\frac{125}{64}=1\frac{61}{64},$ suy ra $\sqrt[3]{1\frac{61}{64}}=\frac{5}{4}.$

Bài 2 trang 43 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Tính:

a) $\sqrt[3]{-\mathrm{0,000008}};$

b) $\sqrt[3]{512};$

c) $\sqrt[3]{-{15}^3};$

d) $\sqrt[3]{{\left(-5\right)}^6}.$

Lời giải:

a) $\sqrt[3]{-\mathrm{0,000008}}=\sqrt[3]{{\left(-\mathrm{0,02}\right)}^3}=-\mathrm{0,02};$

b) $\sqrt[3]{512}=\sqrt[3]{8^3}=8;$

c) $\sqrt[3]{-{15}^3}=\sqrt[3]{{\left(-15\right)}^3}=-15;$

d) $\sqrt[3]{{\left(-5\right)}^6}=\sqrt[3]{{\left[{\left(-5\right)}^2\right]}^3}={\left(-5\right)}^2=25.$

Bài 3 trang 43 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Tìm x, biết:

a) x³ = ‒0,125;

b) $2x^3=\frac{1}{500};$

c) $\sqrt[3]{\text{x}}=\frac{2}{5};$

d) $3\sqrt[3]{x-2}=\mathrm{1,2.}$

Lời giải:

a) x³ = ‒0,125

x³ = (‒0,5)³

x = ‒0,5.

Vậy x = ‒0,5.

b) $2x^3=\frac{1}{500}$

$x^3=\frac{1}{500}:2$

$x^3=\frac{1}{1000}$

$x^3={\left(\frac{1}{10}\right)}^3$

$x=\frac{1}{10}$

Vậy $x=\frac{1}{10}$

c) $\sqrt[3]{\text{x}}=\frac{2}{5}$

${\left(\sqrt[3]{\text{x}}\right)}^3={\left(\frac{2}{5}\right)}^3$

$x=\frac{8}{125}$

Vậy $x=\frac{8}{125}$

d) $3\sqrt[3]{x-2}=\mathrm{1,2}$

$\sqrt[3]{x-2}=\mathrm{1,2}:3$

$\sqrt[3]{x-2}=\mathrm{0,4}$

$\left(\sqrt[3]{x-2}\right)={\mathrm{0,4}}^3$

x ‒ 2 = 0,064

x = 0,064 + 2

x = 2,064

Vậy x = 2,064.

Bài 4 trang 44 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Tính giá trị của các biểu thức:

a) $\sqrt[3]{1}+\sqrt[3]{1000};$

b) $\mathrm{0,5}\sqrt[3]{27000}+50\sqrt[3]{\mathrm{0,001}};$

c) ${\left(2\sqrt[3]{13}\right)}^3-10\sqrt[3]{\frac{1}{125}};$

d) ${\left(-4\sqrt[3]{\frac{1}{4}}\right)}^3.$

Lời giải:

a) $\sqrt[3]{1}+\sqrt[3]{1000}=1+\sqrt[3]{{10}^3}=1+10=11.$

b) $\mathrm{0,5}\sqrt[3]{27000}+50\sqrt[3]{\mathrm{0,001}}$

$=\mathrm{0,5}\cdot \sqrt[3]{{30}^3}+50\cdot \sqrt[3]{{\mathrm{0,1}}^3}$

$=\mathrm{0,5}\cdot 30+50\cdot \mathrm{0,1}$

$=15+5=20.$

c) ${\left(2\sqrt[3]{13}\right)}^3-10\sqrt[3]{\frac{1}{125}}$

$=2^3\cdot {\left(\sqrt{13}\right)}^3-10\cdot \sqrt[3]{{\left(\frac{1}{5}\right)}^3}$

$=8\cdot 13-10\cdot \frac{1}{5}=104-2=102.$

d) ${\left(-4\sqrt[3]{\frac{1}{4}}\right)}^3={\left(-4\right)}^3\cdot {\left(\sqrt[3]{\frac{1}{4}}\right)}^3=-64\cdot \frac{1}{4}=-16.$

Bài 5 trang 44 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Tính cạnh a (cm) của hình lập phương (sử dụng máy tính cầm tay, kết quả làm tròn đến hàng phần mười của xăngtimét), biết thể tích của nó là:

a) V = 10 cm³;

b) V = 20 dm³;

c) V = 5 m³;

d) V = 200 mm³.

Lời giải:

Ta có công thức tính thể tích của hình lập phương cạnh a cm là: V = a³ (cm³).

Suy ra $a=\sqrt[3]{V}\text{ (cm).}$

a) Với V = 10 cm³, ta có $a=\sqrt[3]{10}\approx \mathrm{2,2}$ (cm);

b) Đổi 20 dm³ = 20 000 cm³.

Với V = 20 000 cm³, ta có: $a=\sqrt[3]{20000}\approx \mathrm{27,1}$ (cm).

c) Đổi 5 m³ = 5.10⁶ cm³.

Với V = 5.10⁶ cm³, ta có: $a=\sqrt[3]{5\cdot {10}^6}\approx \mathrm{171,0}$(cm).

d) Đổi 200 mm³ = 0,2 cm³.

Với V = 0,2 cm³, ta có: $a=\sqrt[3]{\mathrm{0,2}}\approx \mathrm{0,6}$(cm).

Bài 6 trang 44 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho căn thức bậc ba $A=\sqrt[3]{5xy+z}.$ Tính giá trị của A (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm) tại:

a) x = 4, y = ‒3, z = ‒4;

b) x = y = z = 5.

Lời giải:

a) Thay x = 4, y = ‒3, z = ‒4 vào căn thức bậc ba $A=\sqrt[3]{5xy+z},$ ta được:

$A=\sqrt[3]{5\cdot 4\cdot \left(-3\right)+\left(-4\right)}$$=\sqrt[3]{-60-4}$$=\sqrt[3]{-64}=\sqrt[3]{{\left(-4\right)}^3}=-4.$

b) Thay x = y = z = 5 vào căn thức bậc ba $A=\sqrt[3]{5xy+z},$ ta được:

$A=\sqrt[3]{5\cdot 5\cdot 5+5}$$=\sqrt[3]{125+5}$$=\sqrt[3]{130}\approx \mathrm{5,07.}$

Bài 7 trang 44 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Không sử dụng máy tính cầm tay, so sánh các cặp số sau:

a) $\sqrt[3]{15}$ và $\sqrt[3]{21};$

b) $2\sqrt[3]{3}$ và $\sqrt[3]{25};$

c) ‒10 và $\sqrt[3]{-1002}.$

Lời giải:

a) Ta có: 15 < 21, suy ra $\sqrt[3]{15}<\sqrt[3]{21};$

b) Ta có: ${\left(2\sqrt[3]{3}\right)}^3=2^3\cdot {\left(\sqrt[3]{3}\right)}^3=2^3\cdot 3=24$ và ${\left(\sqrt[3]{25}\right)}^3=25.$

Vì 24 < 25 nên $\sqrt[3]{24}<\sqrt[3]{25}$ hay $\sqrt[3]{{\left(2\sqrt[3]{3}\right)}^3}<\sqrt[3]{25}$ tức là $2\sqrt[3]{3}<\sqrt[3]{25}.$

c) Ta có: (‒10)³ = ‒1 000; ${\left(\sqrt[3]{-1002}\right)}^3=-1002.$

Vì ‒1 000 > ‒1 002 nên $\sqrt[3]{-1000}>\sqrt[3]{-1002}$ hay $\sqrt[3]{{\left(-10\right)}^3}>\sqrt[3]{-1002}$ tức là $-10>\sqrt[3]{-1002}.$

Bài 8 trang 44 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Chu kì T (thời gian để hoàn thành một quỹ đạo, đơn vị: giây) của một vệ tinh nhân tạo có quỹ đạo là đường tròn và bán kính R (đơn vị: m) của quỹ đạo đó có mối liên hệ

$\frac{T^2}{R^3}=\frac{4{\pi }^2}{GM},$

trong đó, $G=\frac{\mathrm{6,673}}{{10}^{11}}$ Nm²/kg² là hằng số hấp dẫn, M = 5,98.10²⁴ kg là khối lượng của Trái Đất.

a) Viết công thức tính R theo T, G và M.

b) Tính R khi T bằng 24 giờ (chu kì của vệ tinh địa tĩnh). Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của kilômét.

Lời giải:

a) Từ $\frac{T^2}{R^3}=\frac{4{\pi }^2}{GM},$ suy ra $R^3=\frac{GM{T}^2}{4{\pi }^2},$ nên $R=\sqrt[3]{\frac{GM{T}^2}{4{\pi }^2}}.$

b) Khi T = 24 giờ = 24.60.60 giây = 86 400 giây, ta có:

$R=\sqrt[3]{\frac{\frac{\mathrm{6,673}}{{10}^{11}}\cdot \mathrm{5,98}\cdot {10}^{24}\cdot 86{400}^2}{4{\pi }^2}}$

$=\sqrt[3]{\frac{\mathrm{6,673}\cdot \mathrm{5,98}\cdot {10}^{13}\cdot 86{400}^2}{4{\pi }^2}}$

$\approx 42256808\text{ (m)}\approx 42\mathrm{256,81}\text{ (km).}$

Vậy R ≈ 42 256,81 km.

Lý thuyết Căn bậc ba

1. Căn bậc ba của một số

Khái niệm căn bậc ba của một số thực

- Cho số thực a. Số thực x thỏa mãn $x^3=a$ được gọi là căn bậc ba của a. - Mỗi số thực a đều có đúng một căn bậc ba, kí hiệu là $\sqrt[3]{a}$.

Trong kí hiệu $\sqrt[3]{a}$, số 3 được gọi là chỉ số căn. Phép toán tìm căn bậc ba của một số gọi là phép khai căn bậc hai.

Chú ý: Từ định nghĩa căn bậc ba, ta có ${\left(\sqrt[3]{a}\right)}^3=\sqrt[3]{a^3}=a$.

Ví dụ:

$\sqrt[3]{64}=\sqrt[3]{4^3}=4$;

$\sqrt[3]{-27}=\sqrt[3]{{\left(-3\right)}^3}=-3$.

2. Tính căn bậc ba của một số bằng máy tính cầm tay

Ta có thể sử dụng loại MTCT thích hợp để tính căn bậc ba của một số.

Ví dụ:

3. Căn thức bậc ba

Khái niệm

Với A là một biểu thức đại số, ta gọi $\sqrt[3]{A}$ là căn thức bậc ba của A.

Ví dụ: Với $x=60$, giá trị của $\sqrt[3]{2x+5}$ là:

$\sqrt[3]{2.60+5}=\sqrt[3]{125}=\sqrt[3]{5^3}=5$.