Sách bài tập Toán 9 Bài 4 (Chân trời sáng tạo): Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai

Giải SBT Toán 9 Bài 4: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai

Bài 1 trang 50 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Trục căn thức ở mẫu các biểu thức:

a) $\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{15}};$

b) $-\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{18}};$

c) $\frac{6a}{\sqrt{2a{b}^2}}$ (a > 0, b > 0).

Lời giải:

a) $\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{15}}=\frac{5\sqrt{2}\cdot \sqrt{15}}{{\left(\sqrt{15}\right)}^2}=\frac{5\sqrt{2\cdot 15}}{15}$$=\frac{5\sqrt{30}}{15}=\frac{\sqrt{30}}{3}.$

b) $-\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{18}}=-\frac{2\sqrt{5}\cdot \sqrt{18}}{{\left(\sqrt{18}\right)}^2}=-\frac{2\sqrt{5}\cdot \sqrt{3^2\cdot 2}}{18}=$$-\frac{2\sqrt{5}\cdot 3\sqrt{2}}{18}=\frac{6\sqrt{5\cdot 2}}{18}=\frac{\sqrt{10}}{3}$

c) Với a > 0, b > 0, ta có:

$\frac{6a}{\sqrt{2a{b}^2}}=\frac{6a}{\sqrt{2a}\cdot \sqrt{b^2}}=\frac{6a}{\sqrt{2a}\cdot b}$$=\frac{6a\cdot \sqrt{2a}}{b\cdot {\left(\sqrt{2a}\right)}^2}=\frac{6a\sqrt{2a}}{b\cdot 2a}=\frac{3\sqrt{2a}}{b}.$

Bài 2 trang 50 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Khử mẫu của biểu thức lấy căn:

a) $\sqrt{\frac{10}{11}};$

b) $\sqrt{\frac{42}{300}};$

c) $\sqrt{\frac{5a}{12b}}.$ (a ≥ 0; b > 0)

Lời giải:

a) $\sqrt{\frac{10}{11}}=\sqrt{\frac{10\cdot 11}{{11}^2}}=\frac{\sqrt{110}}{\sqrt{{11}^2}}=\frac{\sqrt{110}}{11}.$

b) $\sqrt{\frac{42}{300}}=\sqrt{\frac{14\cdot 3}{3\cdot 100}}=\sqrt{\frac{14}{100}}$$=\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{100}}=\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{{10}^2}}=\frac{\sqrt{14}}{10}.$

c) $\sqrt{\frac{5a}{12b}}=\sqrt{\frac{5a}{4\cdot 3b}}=\sqrt{\frac{5a}{2^2\cdot 3b}}=$$\sqrt{\frac{5a\cdot 3b}{2^2\cdot 3^2\cdot b^2}}=\frac{\sqrt{15ab}}{\sqrt{{\left(2\cdot 3\right)}^2\cdot b^2}}=\frac{\sqrt{15ab}}{6b}.$

Bài 3 trang 50 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau:

a) $\frac{\sqrt{6}+2}{\sqrt{6}-2};$

b) $\frac{1}{\sqrt{2}\left(\sqrt{5}-1\right)};$

c) $\frac{x-1}{2\sqrt{x}-\sqrt{x+3}}$ (x ≥ 0, x ≠ 1).

Lời giải:

a) $\frac{\sqrt{6}+2}{\sqrt{6}-2}=\frac{{\left(\sqrt{6}+2\right)}^2}{\left(\sqrt{6}-2\right)\left(\sqrt{6}+2\right)}$

$=\frac{{\left(\sqrt{6}\right)}^2+2\sqrt{6}\cdot 2+4}{{\left(\sqrt{6}\right)}^2-2^2}=\frac{6+4\sqrt{6}+4}{6-4}$

$=\frac{10+4\sqrt{6}}{2}=\frac{2\left(5+2\sqrt{6}\right)}{2}=5+2\sqrt{6}.$

b) $\frac{1}{\sqrt{2}\left(\sqrt{5}-1\right)}=\frac{\sqrt{2}\cdot \left(\sqrt{5}+1\right)}{{\left(\sqrt{2}\right)}^2\cdot \left(\sqrt{5}-1\right)\left(\sqrt{5}+1\right)}$

$=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2\cdot \left[{\left(\sqrt{5}\right)}^2-1^2\right]}=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2\cdot \left(5-1\right)}$$=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{8}.$

c) Với x ≥ 0, x ≠ 1, ta có:

$\frac{x-1}{2\sqrt{x}-\sqrt{x+3}}=\frac{\left(x-1\right)\left(2\sqrt{x}+\sqrt{x+3}\right)}{\left(2\sqrt{x}-\sqrt{x+3}\right)\left(2\sqrt{x}+\sqrt{x+3}\right)}$

$=\frac{\left(x-1\right)\left(2\sqrt{x}+\sqrt{x+3}\right)}{{\left(2\sqrt{x}\right)}^2-{\left(\sqrt{x+3}\right)}^2}$

$=\frac{\left(x-1\right)\left(2\sqrt{x}+\sqrt{x+3}\right)}{4x-\left(x+3\right)}$

$=\frac{\left(x-1\right)\left(2\sqrt{x}+\sqrt{x+3}\right)}{3x-3}$

$=\frac{\left(x-1\right)\left(2\sqrt{x}+\sqrt{x+3}\right)}{3\left(x-1\right)}$

$=\frac{2\sqrt{x}+\sqrt{x+3}}{3}.$

Bài 4 trang 51 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho hình hộp chữ nhật với chiều dài $3\sqrt{5}$ cm, chiều rộng $\sqrt{5}$ cm và thể tích $30\sqrt{5}$ cm³ như Hình 1. Tính tổng độ dài các cạnh của hình hộp chữ nhật đó

Lời giải:

Gọi chiều cao hình hộp chữ nhật là h (cm) (h > 0).

Khi đó, thể tích của hình hộp chữ nhật đó là:

$3\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}\cdot h=3\cdot 5\cdot h=15h$(cm³).

Theo bài, thể tích của hình hộp chữ nhật bằng $30\sqrt{5}$cm nên ta có:

$15h=30\sqrt{5},$suy ra: $h=\frac{30\sqrt{5}}{15}=2\sqrt{5}$(cm).

Tổng độ dài các cạnh của hình hộp chữ nhật là:

$4\cdot \left(3\sqrt{5}+\sqrt{5}+2\sqrt{5}\right)=4\cdot 6\sqrt{5}=24\sqrt{5}$ (cm).

Bài 5 trang 51 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Rút gọn các biểu thức:

a) $\sqrt{8}\cdot \sqrt{18}:\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}};$

b) $\sqrt{75}:\sqrt{45}\cdot \frac{3}{\sqrt{10}}.$

Lời giải:

a) $\sqrt{8}\cdot \sqrt{18}:\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=\sqrt{8\cdot 18}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

$=\sqrt{144}\cdot \frac{\sqrt{2}\cdot \sqrt{5}}{{\left(\sqrt{5}\right)}^2}=12\cdot \frac{\sqrt{2\cdot 5}}{5}=\frac{12\sqrt{10}}{5}.$

b) $\sqrt{75}:\sqrt{45}\cdot \frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{45}}\cdot \frac{3}{\sqrt{2\cdot 5}}$

$=\sqrt{\frac{75}{45}}\cdot \frac{3}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{5}}=\sqrt{\frac{5}{3}}\cdot \frac{3}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{5}}$

$=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}\cdot \frac{{\left(\sqrt{3}\right)}^2}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{5}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}}{{\left(\sqrt{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{6}}{2}.$

Bài 6 trang 51 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Rút gọn các biểu thức:

a) $4\sqrt{24}+\sqrt{6}-2\sqrt{54};$

b) $2\sqrt{45}-\sqrt{125}-\frac{15}{\sqrt{5}};$

c) $\sqrt{8}-\sqrt{27}-\sqrt{32}+\sqrt{75};$

d) $\left(2-\sqrt{10}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{5}\right).$

Lời giải:

a) $4\sqrt{24}+\sqrt{6}-2\sqrt{54}$

$=4\cdot \sqrt{2^2\cdot 6}+\sqrt{6}-2\cdot \sqrt{3^2\cdot 6}$

$=4\cdot 2\sqrt{6}+\sqrt{6}-2\cdot 3\sqrt{6}$

$=8\sqrt{6}+\sqrt{6}-6\sqrt{6}$

$=3\sqrt{6}.$

b) $2\sqrt{45}-\sqrt{125}-\frac{15}{\sqrt{5}}$

$=2\cdot \sqrt{3^2\cdot 5}-\sqrt{5^2\cdot 5}-\frac{15\cdot \sqrt{5}}{{\left(\sqrt{5}\right)}^2}$

$=2\cdot 3\sqrt{5}-5\sqrt{5}-\frac{15\cdot \sqrt{5}}{5}$

$=6\sqrt{5}-5\sqrt{5}-3\sqrt{5}=-2\sqrt{5}.$

c) $\sqrt{8}-\sqrt{27}-\sqrt{32}+\sqrt{75}$

$=\sqrt{2^2\cdot 2}-\sqrt{3^2\cdot 3}-\sqrt{4^2\cdot 2}+\sqrt{5^2\cdot 3}$

$=2\sqrt{2}-3\sqrt{3}-4\sqrt{2}+5\sqrt{3}$

$=-2\sqrt{2}+2\sqrt{3}.$

d) $\left(2-\sqrt{10}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)$

$=2\sqrt{2}-2\sqrt{5}-\sqrt{10}\cdot \sqrt{2}+\sqrt{10}\cdot \sqrt{5}$

$=2\sqrt{2}-2\sqrt{5}-\sqrt{10\cdot 2}+\sqrt{10\cdot 5}$

$=2\sqrt{2}-2\sqrt{5}-\sqrt{20}+\sqrt{50}$

$=2\sqrt{2}-2\sqrt{5}-\sqrt{2^2\cdot 5}+\sqrt{5^2\cdot 2}$

$=2\sqrt{2}-2\sqrt{5}-2\sqrt{5}+5\sqrt{2}$

$=7\sqrt{2}-4\sqrt{5}.$

Bài 7 trang 51 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Rút gọn các biểu thức (biết a > 0, b > 0):

a) $\sqrt{4a}+\sqrt{25a}-6\sqrt{\frac{a}{4}};$

b) $b\sqrt{\frac{a}{b}}+a\sqrt{\frac{b}{a}}.$

Lời giải:

Với a > 0, b > 0, ta có:

a) $\sqrt{4a}+\sqrt{25a}-6\sqrt{\frac{a}{4}}$

$=\sqrt{2^2\cdot a}+\sqrt{5^2\cdot a}-6\cdot \sqrt{\frac{a}{2^2}}$

$=2\sqrt{a}+5\sqrt{a}-6\cdot \frac{\sqrt{a}}{2}$

$=2\sqrt{a}+5\sqrt{a}-3\sqrt{a}$

$=4\sqrt{a}.$

b) $b\sqrt{\frac{a}{b}}+a\sqrt{\frac{b}{a}}$

$=\sqrt{b^2\cdot \frac{a}{b}}+\sqrt{a^2\cdot \frac{b}{a}}$

$=\sqrt{ab}+\sqrt{ab}=2\sqrt{ab}.$

Bài 8 trang 51 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Một phần khung của một cây cầu gồm các thanh thép tạo thành các tam giác vuông cân như Hình 2. Biết rằng cạnh CD có độ dài a (m). Tính độ dài của đoạn BF theo a.

Lời giải:

Do ∆ABC cân tại B nên BA = BC.

Do ∆ACD cân tại C nên CA = CD.

Do ∆ADE cân tại D nên DA = DE.

Do ∆AEF cân tại E nên EA = EF.

Xét ∆ACD vuông tại C, theo định lí Pythagore, ta có:

$DA=\sqrt{C{A}^2+C{D}^2}=\sqrt{2C{D}^2}=CD\sqrt{2}=a\sqrt{2}$(m).

Xét ∆ADE vuông tại D, theo định lí Pythagore, ta có:

$EA=\sqrt{D{A}^2{\text{+DE}}^2}=\sqrt{2D{A}^2}=DA\sqrt{2}=a\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2a$ (m).

Xét ∆AEF vuông tại E, theo định lí Pythagore, ta có:

$AF=\sqrt{E{A}^2{\text{+EF}}^2}=\sqrt{2E{A}^2}=EA\sqrt{2}=2a\cdot \sqrt{2}=2a\sqrt{2}$(m).

Xét ∆ABC vuông tại B, theo định lí Pythagore, ta có:

$CA=\sqrt{B{A}^2+B{C}^2}=\sqrt{2B{A}^2}=BA\sqrt{2}$

Suy ra $BA=\frac{CA}{\sqrt{2}}=\frac{CD}{\sqrt{2}}=\frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$(m).

Từ đó, $BF=BA+AF=\frac{a\sqrt{2}}{2}+2a\sqrt{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}+\frac{4a\sqrt{2}}{2}=\frac{5a\sqrt{2}}{2}$

Vậy $BF=\frac{5a\sqrt{2}}{2}\text{ (m).}$

Bài 9 trang 51 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Rút gọn các biểu thức (biết x > 0; y > 0):

a) $2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)-\frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}};$

b) $\frac{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}}{x-\sqrt{xy}+y}.$

Lời giải:

a) $2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)-\frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$

$=2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)-\frac{{\left(\sqrt{x}\right)}^2-{\left(\sqrt{y}\right)}^2}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$

$=2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)-\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$

$=2\sqrt{x}+2\sqrt{y}-\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)$

$=2\sqrt{x}+2\sqrt{y}-\sqrt{x}+\sqrt{y}$

$=\sqrt{x}+3\sqrt{y}.$

b) $\frac{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}}{x-\sqrt{xy}+y}$

$=\frac{{\left(\sqrt{x}\right)}^3+{\left(\sqrt{y}\right)}^3}{x-\sqrt{xy}+y}$

$=\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left[{\left(\sqrt{x}\right)}^2-\sqrt{x}\cdot \sqrt{y}+{\left(\sqrt{y}\right)}^2\right]}{x-\sqrt{xy}+y}$

$=\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(x-\sqrt{xy}+y\right)}{x-\sqrt{xy}+y}$

$=\sqrt{x}+\sqrt{y}.$

Bài 10 trang 51 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Rút gọn và tính giá trị của biểu thức $A=\frac{x-16}{x+\sqrt{x}+1}:\frac{\sqrt{x}+4}{x\sqrt{x}-1}$ tại x = 0,64.

Lời giải:

$A=\frac{x-16}{x+\sqrt{x}+1}:\frac{\sqrt{x}+4}{x\sqrt{x}-1}$

$=\frac{{\left(\sqrt{x}\right)}^2-4^2}{x+\sqrt{x}+1}\cdot \frac{{\left(\sqrt{x}\right)}^3-1}{\sqrt{x}+4}$

$=\frac{\left(\sqrt{x}-4\right)\left(\sqrt{x}+4\right)}{x+\sqrt{x}+1}\cdot \frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}+4}$

$=\left(\sqrt{x}-4\right)\left(\sqrt{x}-1\right).$

Thay x = 0,64 vào biểu thức trên ta được:

$A=\left(\sqrt{\mathrm{0,64}}-4\right)\left(\sqrt{\mathrm{0,64}}-1\right)$

$=\left(\sqrt{{\mathrm{0,8}}^2}-4\right)\left(\sqrt{{\mathrm{0,8}}^2}-1\right)$

= (0,8 ‒ 4)(0,8 ‒ 1)

= ‒3,2.(‒0,2) = 0,64.

Bài 11 trang 51 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Một chiếc thùng hình lập phương có chiều dài cạnh là x (cm).

a) Viết công thức tính thể tích V (cm³) và tổng diện tích S (cm²) các mặt của hình lập phương theo x.

b) Viết công thức tính x theo S.

c) Viết công thức tính V theo S. Tính V khi S = 50 cm².

Lời giải:

a) Thể tích của hình lập phương là: V = x³ (cm³).

Diện tích 1 mặt của hình lập phương là: x² (cm²).

Do hình lập phương có 6 mặt đều là hình vuông cạnh x (cm) nên diện tích các mặt của hình lập phương là:

S = 6x² (cm²).

b) Từ S = 6x², ta có: $x^2=\frac{S}{6},$ suy ra $x=\sqrt{\frac{S}{6}}$ (cm) (do x > 0).

Vậy công thức tính x theo S là: $x=\sqrt{\frac{S}{6}}$(cm).

c) Thay $x=\sqrt{\frac{S}{6}}$ vào biểu thức V = x³ ta được:

$V={\left(\sqrt{\frac{S}{6}}\right)}^3=\frac{{\left(\sqrt{S}\right)}^3}{{\left(\sqrt{6}\right)}^3}=\frac{{\left(\sqrt{S}\right)}^2\cdot \sqrt{S}}{{\left(\sqrt{6}\right)}^2\cdot \sqrt{6}}=\frac{S\sqrt{S}}{6\sqrt{6}}=\frac{S\sqrt{6S}}{36}$(cm³).

Thay S = 50 vào biểu thức trên ta được:

$V=\frac{50\sqrt{6\cdot 50}}{36}=\frac{50\cdot \sqrt{{10}^2\cdot 3}}{36}=\frac{50\cdot 10\cdot \sqrt{3}}{36}=\frac{125\sqrt{3}}{9}$(cm³).

Vậy $V=\frac{125\sqrt{3}}{9}{\text{ (cm}}^3\text{).}$

Lý thuyết Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai

1. Trục căn thức ở mẫu

Ví dụ:

$\frac{2}{3\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{3{\left(\sqrt{5}\right)}^2}=\frac{2\sqrt{5}}{3.5}=\frac{2\sqrt{5}}{15}$;

$\frac{a}{3-2\sqrt{2}}=\frac{a\left(3+2\sqrt{2}\right)}{\left(3-2\sqrt{2}\right).\left(3+2\sqrt{2}\right)}=\frac{a\left(3+2\sqrt{2}\right)}{3^2-{\left(2\sqrt{2}\right)}^2}=\frac{a\left(3+2\sqrt{2}\right)}{9-8}=\left(3+2\sqrt{2}\right)a$.

2. Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Ví dụ:

$\begin{array}{l}A=2\sqrt{3}-\sqrt{75}+\sqrt{{\left(1-\sqrt{3}\right)}^2}\\ =2\sqrt{3}-\sqrt{{3.5}^2}+\left|1-\sqrt{3}\right|\\ =2\sqrt{3}-5\sqrt{3}+\sqrt{3}-1\\ =-1-2\sqrt{3}\end{array}$

$\begin{array}{l}B=x\sqrt{x}-\frac{x^2-x}{\sqrt{x}+1}\\ =x\sqrt{x}-\frac{\left(x^2-x\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\\ =x\sqrt{x}-\frac{x\left(x-1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\\ =x\sqrt{x}-\frac{x\left(x-1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{x-1}\\ =x\sqrt{x}-x\left(\sqrt{x}-1\right)\\ =x\sqrt{x}-x\sqrt{x}+x\\ =x\end{array}$