Sách bài tập Toán 9 Bài 1 (Chân trời sáng tạo): Bất đẳng thức

Giải SBT Toán 9 Bài 1: Bất đẳng thức

Bài 1 trang 30 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Dùng các dấu >, <, ≥, ≤ để diễn tả:

a) Giá bán thấp nhất T của một chiếc điện thoại là 6 triệu đồng.

b) Điểm trung bình tối thiểu G để đạt học lực giỏi là 8.

c) Thời gian tối đa t để hoàn thành một dự án là 12 tháng.

Lời giải:

a) Giá bán thấp nhất T của một chiếc điện thoại là 6 triệu đồng, tức là T ≥ 6 (triệu đồng);

b) Điểm trung bình tối thiểu G để đạt học lực giỏi là 8, tức là G ≥ 8 (điểm);

c) Thời gian tối đa t để hoàn thành một dự án là 12 tháng, tức là t ≤ 12 (tháng).

Bài 2 trang 30 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Điền vào chỗ chấm dấu >, =, hoặc < để tạo thành một phát biểu đúng.

a) Nếu 17 > 10 và 10 > p thì 17 ... p.

b) Nếu –11 > x và x > y thì –11 ... y.

c) Nếu a < 100 và b > 100 thì b ... a.

d) Nếu x + 1 = y thì x ... y.

e) Nếu 3x = 3y thì x ... y.

Lời giải:

a) Nếu 17 > 10 và 10 > p thì 17 > p.

b) Nếu –11 > x và x > y thì –11 > y.

c) Nếu a < 100 và b > 100 thì b > a.

d) Nếu x + 1 = y thì x < y.

e) Nếu 3x = 3y thì x = y.

Bài 3 trang 30 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Hãy cho biết các bất đẳng thức được tạo thành khi:

a) Cộng hai vế của bất đẳng thức p + 2 > 5 với –2;

b) Cộng hai vế của bất đẳng thức x + 10 ≤ y + 11 với 9;

c) Nhân hai vế của bất đẳng thức $\frac{1}{3}x<5$ với 3, rồi tiếp tục cộng với –15;

d) Cộng vào hai vế của bất đẳng thức 2m ≤ –3 với –1, rồi tiếp tục nhân với $-\frac{1}{2}.$

Lời giải:

a) p + 2 > 5

p + 2 + (‒ 2) > 5 + (‒ 2)

p > 3.

b) x + 10 ≤ y + 11

x + 10 + 9 ≤ y + 11 + 9

x + 19 ≤ y + 20.

c) $\frac{1}{3}x<5$

$\frac{1}{3}x\cdot 3<5\cdot 3$

x < 15

x + (‒15) < 15 + (‒15)

x ‒ 15 < 0.

d) 2m ≤ –3

2m + (‒1) ≤ ‒3 + (‒1)

2m ‒ 1 ≤ ‒4

$\left(2m-1\right)\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\ge -4\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$

$-m+\frac{1}{2}\ge 2.$

Bài 4 trang 30 sách bài tập Toán 9 Tập 1: So sánh hai số m và n trong mỗi trường hợp sau:

Lời giải:

a) m + 15 < n + 15;

b) –17m ≥ –17n;

c) $\frac{m}{7}-5\le \frac{n}{7}-5;$

d) –0,7n + 10 > –0,7m + 10.

Lời giải

a) m + 15 < n + 15

m + 15 – 15 < n + 15 – 15

m < n.

b) –17m ≥ –17n

$–17m\cdot \frac{-1}{17}\ge –17n\cdot \frac{-1}{17}$

m ≤ n.

c) $\frac{m}{7}-5\le \frac{n}{7}-5;$

$\frac{m}{7}\le \frac{n}{7}$

$\frac{m}{7}\cdot 7\le \frac{n}{7}\cdot 7$

m ≤ n.

d) –0,7n + 10 > –0,7m + 10

‒0,7n > ‒0,7m

$-\mathrm{0,7}n\cdot \frac{1}{-\mathrm{0,7}}<-\mathrm{0,7}m\cdot \frac{1}{-\mathrm{0,7}}$

n < m.

Bài 5 trang 30 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho a > 0 và b > 0. Chứng tỏ a + b > 0.

Lời giải:

Cộng hai vế của a > 0 với b ta được a + b > b, do b > 0 nên a + b > 0.

Bài 6 trang 30 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho a, b, c, d là các số thực thỏa mãn a > b và c > d.

a) Chứng minh: a + c > b + d.

b) a – c > b – d có luôn luôn đúng không? Nếu không, hãy cho ví dụ.

Lời giải:

a) Cộng c vào hai vế của a > b ta được a + c > b + c. (1)

Cộng b vào hai vế của c > d ta được c + b > d + b. (2)

Từ (1) và (2), suy ra: a + c > b + d.

b) a – c > b – d không phải luôn luôn đúng.

Chẳng hạn, lấy a = 10, b = 9, c = 5, d = 1, ta có: 10 > 9 và 5 > 1, tuy nhiên 10 – 5 < 9 – 1.

Bài 7 trang 30 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Tìm:

a) Số nguyên lẻ x nhỏ nhất thỏa mãn 3x > 27.

b) Số nguyên y lớn nhất thỏa mãn $\frac{2y}{5}\le 13.$

c) Số nguyên tố x nhỏ nhất thỏa mãn $\frac{8x}{15}>10.$

d) Số nguyên tố x lớn nhất thỏa mãn x + 2 ≤ 25.

Lời giải:

a) 3x > 27

$3x\cdot \frac{1}{3}>27\cdot \frac{1}{3}$

x > 9.

Mà x là số nguyên lẻ nên ta có: x ∈ {11; 13; 15; …}.

Vậy số nguyên lẻ x nhỏ nhất thỏa mãn 3x > 27 là 11.

b) $\frac{2y}{5}\le 13$

$\frac{2y}{5}\cdot \frac{5}{2}\le 13\cdot \frac{5}{2}$

$y\le \frac{65}{2}\left(=\mathrm{32,5}\right).$

Mà y là số nguyên nên ta có y ∈ {32; 31; 30; 29; …}.

Vậy số nguyên y lớn nhất thỏa mãn $\frac{2y}{5}\le 13$ là 32.

c) $\frac{8x}{15}>10$

$\frac{8x}{15}\cdot \frac{15}{8}>10\cdot \frac{15}{8}$

$x>\frac{75}{4}\left(=\mathrm{18,75}\right)$

Mà x là số nguyên tố nên x ∈ {19; 23; 29; …}.

Vậy số nguyên tố x nhỏ nhất thỏa mãn $\frac{8x}{15}>10$ là 19.

d) x + 2 ≤ 25

x + 2 + (–2) ≤ 25 + (–2)

x ≤ 23.

Mà x là số nguyên tố nên x ∈ {23; 22; 21; …}.

Vậy số nguyên tố x lớn nhất thỏa mãn x + 2 ≤ 25 là 23.

Lý thuyết Bất đẳng thức

1. Khái niệm bất đẳng thức

Hệ thức dạng a > b (hay a < b, a ≥ b, a ≤ b), được gọi là bất đẳng thức và a được gọi là vế trái, b được gọi là vế phải của bất đẳng thức.

Ví dụ 1.Hãy chỉ ra bất đẳng thức diễn tả số x nhỏ hơn hoặc bằng 5. Vế trái, vế phải của bất đẳng thức đó là gì?

Hướng dẫn giải

Để diễn tả số số a nhỏ hơn hoặc bằng 5, ta có bất đẳng thức x ≤ 5. Khi đó x là vế trái, 5 là vế phải của bất đẳng thức.

2. Tính chất của bất đẳng thức

2.1. Tính chất bắc cầu

Cho ba số a, b, c. Nếu a > b và b > c thì a > c (tính chất bắc cầu).

Ví dụ 2. Nếu u > 6 và 6 > v thì theo tính chất bắc cầu, ta suy ra u > v.

Chú ý: Tính chất bắc cầu vẫn đúng với các bất đẳng thức có dấu <, ≥ , ≤ .

Ví dụ 3. So sánh hai số a và b, biết a ≥ 3,5 và b ≤ 3,5.

Hướng dẫn giải

Ta có b ≤ 3,5 hay 3,5 ≥ b.

Do a ≥ 3,5 và 3,5 ≥ b nên theo tính chất bắc cầu, ta suy ra a ≥ b.

2.2. Tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép cộng

Khi cộng một số vào cả hai vế của một bất đẳng thức thì được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

Cho ba số a, b và c. Nếu a > b thì a + c > b + c.

Chú ý: Tính chất này vẫn đúng với các bất đẳng thức có dấu <, ≥ , ≤ .

Ví dụ 4. Cho hai số m và n thỏa mãn m ≤ n. Chứng tỏ m + 5 ≤ n + 7.

Hướng dẫn giải

Cộng 5 vào hai vế của bất đẳng thức m ≤ n, ta được:

m + 5 ≤ n + 5. (1)

Cộng n vào hai vế của bất đẳng thức 5 ≤ 7, ta được:

5 + n ≤ 7 + n hay n + 5 ≤ n + 7. (2)

Từ (1) và (2) suy ra m + 5 ≤ n + 7 (tính chất bắc cầu).

2.3. Tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

• Khi nhân hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương thì được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

• Khi nhân hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm thì được một bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.

• Cho ba số a, b và c và a > b.

− Nếu c > 0 thì a . c > b . c;

− Nếu c < 0 thì a . c < b . c.

Chú ý: Tính chất này vẫn đúng với các bất đẳng thức có dấu <, ≥ , ≤.

Ví dụ 5. Cho hai số a, b thỏa mãn a² > b² > 0. Chứng tỏ −3a² < −2b².

Hướng dẫn giải

Nhân hai vế của bất đẳng thức a² > b² với (−3), ta được:

−3a² < −3b². (1)

Vì b² > 0 nên khi nhân hai vế của bất đẳng thức −3 < −2 với b² ta được:

−3b² < −2b². (2)

Từ (1) và (2) suy ra −3a² < −2b² (tính chất bắc cầu).