Sách bài tập Toán 9 Bài 2 (Chân trời sáng tạo): Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Giải SBT Toán 9 Bài 2: Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bài 1 trang 33 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất một ẩn?

a) x > 0;

b) $\mathrm{0,2}x-\frac{1}{3}<0;$

c) 5x³ – 3x + 7 ≤ 0;

d) $\frac{x}{2}+y\ge 0.$

Lời giải:

⦁ Bất phương trình ở câu a) là bất phương trình bậc nhất một ẩn với a = 1 và b = 0.

⦁ Bất phương trình ở câu b) là bất phương trình bậc nhất một ẩn với a = 0,2 và $b=-\frac{1}{3}.$

⦁ Bất phương trình ở câu c) không phải là bất phương trình bậc nhất một ẩn vì có chứa 5x³.

⦁ Bất phương trình ở câu c) không phải là bất phương trình bậc nhất một ẩn vì có chứa ẩn thứ hai là y.

Bài 2 trang 33 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Giải các bất phương trình:

a) $\frac{4x+9}{3}+2\ge \frac{2x-1}{4};$

b) $1-\frac{x}{2}\le \frac{x+5}{3}.$

Lời giải:

a) $\frac{4x+9}{3}+2\ge \frac{2x-1}{4}$

$\frac{4\left(4x+9\right)}{3\cdot 4}+\frac{2\cdot 12}{12}\ge \frac{3\left(2x-1\right)}{4\cdot 3}$

4.(4x + 9) + 2.12 ≥ 3.(2x – 1)

16x + 36 + 24 ≥ 6x – 3

16x – 6x ≥ –3 – 36 – 24

10x ≥ –63.

x ≥ –6,3.

Vậy nghiệm của bất phương trình là x ≥ –6,3.

b) $1-\frac{x}{2}\le \frac{x+5}{3}$

$\frac{6}{6}-\frac{3x}{2\cdot 3}\le \frac{2\left(x+5\right)}{3\cdot 2}$

6 – 3x ≤ 2(x + 5)

6 – 3x ≤ 2x + 10

–3x – 2x ≤ 10 – 6

–5x ≤ 4

$x\ge -\frac{4}{5}.$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x\ge -\frac{4}{5}.$

Bài 3 trang 33 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Tìm tất cả giá trị của x thoả mãn điều kiện:

a) $\frac{4-x}{3}\le \frac{x+2}{2};$

b) $\frac{4-x}{3}\le \frac{1-x}{5}.$

Lời giải:

a) $\frac{4-x}{3}\le \frac{x+2}{2}$

$\frac{2\left(4-x\right)}{3\cdot 2}\le \frac{3\left(x+2\right)}{2\cdot 3}$

2(4 – x) ≤ 3(x + 2)

8 – 2x ≤ 3x + 6

–2x – 3x ≤ 6 – 8

–5x ≤ –2

$x\ge \frac{2}{5}.$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x\ge \frac{2}{5}.$

b) $\frac{4-x}{3}\le \frac{1-x}{5}$

$\frac{5\left(4-x\right)}{3\cdot 5}\le \frac{3\left(1-x\right)}{5\cdot 3}$

5(4 – x) ≤ 3(1 – x)

20 – 5x ≤ 3 – 3x

–5x + 3x ≤ 3 – 20

–2x ≤ –17

$x\ge \frac{17}{2}.$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x\ge \frac{17}{2}.$

Bài 4 trang 33 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Giải các bất phương trình:

a) $\frac{5-2x}{2}+3\ge \frac{x+1}{3};$

b) $\frac{4x+7}{5}-2\le 3.$

Lời giải:

a) $\frac{5-2x}{2}+3\ge \frac{x+1}{3}$

$\frac{3\left(5-2x\right)}{2\cdot 3}+\frac{3\cdot 6}{6}\ge \frac{2\left(x+1\right)}{3\cdot 2}$

3(5 – 2x) + 3.6 ≥ 2(x + 1)

15 – 6x + 18 ≥ 2x + 2

–6x – 2x ≥ 2 – 15 – 18

–8x ≥ –31

$x\le \frac{31}{8}.$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x\le \frac{31}{8}.$

b) $\frac{4x+7}{5}-2\le 3$

$\frac{4x+7}{5}-2-3\le 0$

$\frac{4x+7}{5}-5\le 0$

$\frac{4x+7}{5}-\frac{5\cdot 5}{5}\le 0$

4x + 7 – 25 ≤ 0

4x ≤ 25 – 7

4x ≤ 18

$x\le \frac{9}{2}.$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x\le \frac{9}{2}.$

Bài 5 trang 33 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Một quả táo có giá 20 nghìn đồng, một quả lê có giá 12 nghìn đồng. Bạn Chi có 200 nghìn đồng, bạn ấy muốn mua mỗi loại ít nhất 5 quả. Hỏi tổng số quả táo và lê nhiều nhất Chi có thể mua được là bao nhiêu?

Lời giải:

Gọi x (quả) là tổng số quả táo và lê bạn Chi có thể mua được (x ∈ ℕ).

Mỗi loại bạn Chi mua ít nhất 5 quả và giá mỗi quả táo cao hơn mỗi quả lê, do đó bạn ấy chỉ nên mua 5 quả táo.

Khi đó, số quả lê bạn Chi đã mua là x – 5 (quả).

Số tiền bạn Chi mua 5 quả táo là: 5.20 = 100 (nghìn đồng).

Số tiền bạn Chi mua x – 5 quả lê là: 12.(x – 5) (nghìn đồng).

Bạn Chi có 200 nghìn đồng để mua táo và lê nên ta có:

100 + 12(x – 5) ≤ 200

12x – 60 ≤ 100

12x ≤ 160

$x\le \frac{40}{3}\left(=13\frac{1}{3}\right)$

Vậy bạn Chi có thể mua nhiều nhất 13 quả táo và lê.

Lý thuyết Bất phương trình bậc nhất một ẩn

1. Bất phương trình bậc nhất một ẩn, nghiệm của bất phương trình bậc nhất một ẩn

1.1. Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bất phương trình dạng ax + b > 0 (hoặc ax + b < 0, ax + b ≥ 0, ax + b ≤ 0), vớia, b là hai số đã cho và a ≠ 0, được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn (ẩn x).

Ví dụ 1.

• Bất phương trình 3x + 2024 < 0 là phương trình bậc nhất một ẩn với a = 3 ≠ 0; b = 2024

• Bất phương trình 0x + 2 < 0 không phải là phương trình bậc nhất một ẩn vì a = 0.

• Bất phương trình −5x + 1 ≤ 0 là phương trình bậc nhất một ẩn với a = −5 ≠ 0; b = 0.

• Bất phương trình x⁴ ≥ 0 không phải là phương trình bậc nhất một ẩn vì vì x⁴có bậc là 4.

1.2. Nghiệm của bất phương trình bậc nhất một ẩn

Với bất phương trình bậc nhất có ẩn là x, số x₀ được gọi là một nghiệm của bất phương trình nếu ta thay x = x₀ thì nhận được một khẳng định đúng.

Giải bất phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó.

Ví dụ 2. Trong hai giá trị x = –2 và x = 4, giá trị nào là nghiệm của bất phương trình 2x – 3 ≥ 0.

Hướng dẫn giải

• Thay x = –2 vào bất phương trình 2x – 3 ≥ 0, ta được 2 . (–2) – 3 ≥ 0 là khẳng định sai.

Do đó, x = –2 không là nghiệm của bất phương trình đã cho.

• Thay x = 4 vào bất phương trình 2x – 3 ≥ 0, ta được 2 . 4 – 3 ≥ 0 là khẳng định đúng.

Do đó, x = 4 là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Vậy trong hai giá trị đã cho thì x = 4 là nghiệm của bất phương trình 2x – 3 ≥ 0.

2. Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn

Xét bất phương trình ax + b > 0 (a ≠ 0).

–Cộng hai vế của bất phương trình với −b, ta được bất phương trình: ax > −b.

–Nhân hai vế của bất phương trình nhận được với $\frac{1}{a}$

+ Nếu a > 0 thì nhận được nghiệm của bất phương trình đã cho là: $x>-\frac{b}{a}.$

+ Nếu a < 0 thì nhận được nghiệm của bất phương trình đã cho là: $x<-\frac{b}{a}.$

Với các bất phương trình ax + b < 0, ax + b ≥ 0, ax + b ≤ 0, ta thực hiện các bước giải tương tự.

Ví dụ 3. Giải bất phương trình: 3x + 7 < 0.

Hướng dẫn giải

Ta có: 3x + 7 < 0

3x < –7

$x<-\frac{7}{3}.$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x<-\frac{7}{3}.$

Chú ý: Bằng cách sử dụng các tính chất của bất đẳng thức, ta có thể giải một số bất phương trình đưa được về bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Ví dụ 4. Giải bất phương trình: 2x – 5 < –6 – x.

Hướng dẫn giải

Ta có: 2x – 5 < –6 – x

2x + x < –6 + 5

3x < –1

$x<-\frac{1}{3}.$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x<-\frac{1}{3}.$