Sách bài tập Toán 9 (Chân trời sáng tạo) Bài tập cuối chương 3 trang 52

Giải SBT Toán 9 Bài tập cuối chương 3 trang 52

Câu hỏi trắc nghiệm

Bài 1 trang 52 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Rút gọn biểu thức $\sqrt{{\left(-a\right)}^2}-\sqrt{9a^2}$ với a < 0 ta có kết quả

A. ‒4a.

B. 2a.

C. 4a.

D. ‒2a.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Với a < 0 ta có |a| = –a.

Khi đó, $\sqrt{{\left(-a\right)}^2}-\sqrt{9a^2}=\left|-a\right|-\sqrt{{\left(3a\right)}^2}$

$=\left|-a\right|-\left|3a\right|=-a-\left(-3a\right)=-a+3a=2a.$

Bài 2 trang 52 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Trong các giá trị sau của a, giá trị nào làm cho $\sqrt{24a}$ là số tự nhiên?

A. 4.

B. 6.

C. 8.

D. 12.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\sqrt{24a}=\sqrt{2^2\cdot 6a}=2\sqrt{6a}.$

Thay lần lượt từng giá trị a = 4, a = 6, a = 8, a = 12 vào biểu thức ta được:

$2\sqrt{6\cdot 4}=2\sqrt{24};$

$2\sqrt{6\cdot 6}=2\cdot 6=12;$

$2\sqrt{6\cdot 8}=2\sqrt{48};$

$2\sqrt{6\cdot 12}=2\sqrt{72};$

Vậy ta chọn phương án B.

Bài 3 trang 52 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Số $\sqrt{79}$ nằm giữa hai số tự nhiên liên tiếp là

A. 7 và 8.

B. 8 và 9.

C. 9 và 10.

D. 78 và 80.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: 7² = 49; 8² = 64; 9² = 81; 10² = 100.

Vì 64 < 79 < 81 nên $\sqrt{64}<\sqrt{79}<\sqrt{81}$ hay $8<\sqrt{79}<9.$

Vậy số $\sqrt{79}$ nằm giữa hai số tự nhiên liên tiếp là 8 và 9.

Bài 4 trang 52 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Rút gọn biểu thức $\sqrt{18\cdot 80}\cdot \sqrt{30},$ ta có kết quả

A. $120\sqrt{3}.$

B. $120\sqrt{6}.$

C. $120\sqrt{15}.$

D. 360

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\sqrt{18\cdot 80}\cdot \sqrt{30}=\sqrt{18\cdot 80\cdot 30}=\sqrt{3^2\cdot 2\cdot 4^2\cdot 5\cdot 3\cdot 10}$

$=\sqrt{3^2\cdot 4^2\cdot {10}^2\cdot 3}=3\cdot 4\cdot 10\sqrt{3}=120\sqrt{3}.$

Bài 5 trang 52 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Trong Hình 1, biết hai hình vuông có diện tích lần lượt là 108 cm² và 96 cm².

Diện tích của hình chữ nhật ABCD là

A. $48\sqrt{3}$ cm².

B. $24\sqrt{6}$cm².

C. $72\sqrt{2}$ cm².

D. 144 cm².

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Độ dài cạnh AD là: $\sqrt{108}$ (cm).

Độ dài cạnh CD là: $\sqrt{96}$(cm).

Diện tích hình chữ nhật ABCD là:

$AD\cdot CD=\sqrt{108}\cdot \sqrt{96}=\sqrt{6^2\cdot 3}\cdot \sqrt{4^2\cdot 6}$

$=6\sqrt{3}\cdot 4\sqrt{6}=24\sqrt{18}=24\sqrt{3^2\cdot 2}=72\sqrt{2}$ (cm²).

Bài 6 trang 52 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Rút gọn biểu thức $\frac{a-81b}{\sqrt{a}-9\sqrt{b}}$ với a ≥ 0, b ≥ 0 và a ≠ 81b, ta có kết quả

A. $\sqrt{a}+3\sqrt{b}.$

B. $\sqrt{a}-3\sqrt{b}.$

C. $\sqrt{a}+9\sqrt{b}.$

D. $\sqrt{a}-9\sqrt{b}.$

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Với a ≥ 0, b ≥ 0 và a ≠ 81b, ta có:

$\frac{a-81b}{\sqrt{a}-9\sqrt{b}}=\frac{{\left(\sqrt{a}\right)}^2-{\left(9\sqrt{b}\right)}^2}{\sqrt{a}-9\sqrt{b}}$

$=\frac{\left(\sqrt{a}-9\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+9\sqrt{b}\right)}{\sqrt{a}-9\sqrt{b}}=\sqrt{a}+9\sqrt{b}.$

Bài 7 trang 52 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Rút gọn biểu thức $\frac{\sqrt{ab}}{b\sqrt{a}+a\sqrt{b}}$ với a > b > 0, ta có kết quả

A. $\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a+b}.$

B. $\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b}.$

C. $\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}.$

D. $\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}.$

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Với a > b > 0, ta có:

$\frac{\sqrt{ab}}{b\sqrt{a}+a\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}$

$=\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}$

$=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}.$

Bài 8 trang 52 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Rút gọn biểu thức $\frac{\sqrt{20}}{\sqrt{24}}\cdot \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{10}}:\left(-\sqrt{\frac{2}{9}}\right),$ ta có kết quả

A. $-\sqrt{2}.$

B. $-\frac{3\sqrt{2}}{2}.$

C. $-\frac{2\sqrt{3}}{3}.$

D. $-\sqrt{3}.$

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có:

$\frac{\sqrt{20}}{\sqrt{24}}\cdot \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{10}}:\left(-\sqrt{\frac{2}{9}}\right)$

$=\frac{\sqrt{10}\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{8}\cdot \sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{10}}\cdot \frac{-\sqrt{9}}{\sqrt{2}}$

$=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \frac{-{\left(\sqrt{3}\right)}^2}{1}=-\sqrt{3}.$

Bài 9 trang 53 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Rút gọn biểu thức $\sqrt{245}-\sqrt{75}+\sqrt{45}-\sqrt{12}$ nhận được biểu thức dạng $a\sqrt{5}+b\sqrt{3}.$ Giá trị của a ‒ b là

A. 17.

B. 3.

C. 9.

D. 10.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có:

$\sqrt{245}-\sqrt{75}+\sqrt{45}-\sqrt{12}$

$=\sqrt{7^2\cdot 5}-\sqrt{5^2\cdot 3}+\sqrt{3^2\cdot 5}-\sqrt{2^2\cdot 3}$

$=7\sqrt{5}-5\sqrt{3}+3\sqrt{5}-2\sqrt{3}$

$=10\sqrt{5}-7\sqrt{3}.$

Khi đó, suy ra a = 10 và b = ‒7.

Vậy a ‒ b = 10 ‒ (‒7) = 10 + 7 = 17.

Bài 10 trang 53 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Động năng W (J) của vật có khối lượng m (kg) chuyển động với tốc độ v (m/s) được tính theo công thức $W=\frac{1}{2}m{v}^2.$ Công thức nào sau đây cho phép tính tốc độ theo động năng và khối lượng của vật?

A. $v=\frac{2 W}{ m}.$

B. $\sqrt{\frac{W}{2 m}}.$

C. $v=\frac{\sqrt{2 W}}{ m}.$

D. $v=\sqrt{\frac{2W}{m}}.$

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Từ $W=\frac{1}{2}m{v}^2$ suy ra $v^2=\frac{2W}{m},$ suy ra $v=\sqrt{\frac{2W}{m}}$ (do v > 0)

Bài 11 trang 53 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho a là số thực âm.

a) $-\sqrt{a^2}=a.$

b) $\sqrt{{\left(10a\right)}^2}=10a.$

c) $\sqrt{4a^2}=-4a.$

d) $\sqrt{\frac{a^2}{16}}=-\frac{a}{4}.$

Lời giải:

Với a < 0 ta có |a| = –a.

a) $-\sqrt{a^2}=-\left|a\right|=-\left(-a\right)=a.$

b) $\sqrt{{\left(10a\right)}^2}=\left|10a\right|=10\cdot \left|a\right|=10\cdot \left(-a\right)=-10a.$

c) $\sqrt{4a^2}=\sqrt{{\left(2a\right)}^2}=\left|2a\right|=2\cdot \left|a\right|=2\cdot \left(-a\right)=-2a.$

d) $\sqrt{\frac{a^2}{16}}=\frac{\sqrt{a^2}}{\sqrt{16}}=\frac{\left|a\right|}{4}=-\frac{a}{4}.$

Vậy a) Đúng;

b) Sai;

c) Sai;

d) Đúng.

Bài 12 trang 53 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Một bức tường có dạng hình thang ABCD vuông tại B và C, $AB=\sqrt{8}$m, $BC=\sqrt{24}$m, $CD=\sqrt{18}$m như Hình 2.

a) Chiều dài của cạnh AB là $2\sqrt{2}$m.

b) Chênh lệch chiều dài giữa hai cạnh AB và CD là $\sqrt{10}$m.

c) Diện tích của bức tường là $10\sqrt{6}$m².

d) Chiều dài cạnh AD là $\sqrt{26}$m

Lời giải:

a) Ta có: $AB=\sqrt{8}=\sqrt{2^2\cdot 2}=2\sqrt{2}$(m).

b) Ta có 18 > 8 nên $\sqrt{18}>\sqrt{8}$ hay CD > AB.

Chênh lệch chiều dài giữa hai cạnh AB và CD là:

$CD-AB=\sqrt{18}-\sqrt{8}=\sqrt{3^2\cdot 2}-\sqrt{2^2\cdot 2}=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=\sqrt{2}\text{ (m).}$

c) Diện tích của bức tường là:

$\frac{1}{2}\left(\sqrt{8}+\sqrt{18}\right)\cdot \sqrt{24}=\frac{1}{2}\cdot \left(2\sqrt{2}+3\sqrt{2}\right)\cdot \sqrt{2^2\cdot 3\cdot 2}$$\cdot \sqrt{3}$

$=\frac{1}{2}\cdot 5\sqrt{2}\cdot 2\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{2}$$=5\cdot {\left(\sqrt{2}\right)}^2\cdot \sqrt{3}=5\cdot 2\cdot \sqrt{3}=10\sqrt{3}\text{ (m).}$

d) Kẻ AH ⊥ CD tại H. Khi đó tam giác AHD vuông tại H.

Chênh lệch chiều dài giữa hai cạnh AB và CD là: $DH=\sqrt{2}\text{ m.}$

Theo định lí Pythagore, ta có: AD² = AH² + DH²

Suy ra $AD=\sqrt{A{H}^2+D{H}^2}=\sqrt{{\left(\sqrt{24}\right)}^2+{\left(\sqrt{2}\right)}^2}=\sqrt{24+2}=\sqrt{26}\text{ (m).}$

Vậy a) Đúng;

b) Sai;

c) Sai;

d) Đúng.

Câu hỏi tự luận

Bài 13 trang 53 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Biết rằng diện tích của hình tròn lớn bằng tổng diện tích của hai hình tròn nhỏ có bán kính lần lượt là 2 cm và 3 cm. Tính bán kính r của hình tròn lớn (kết quả làm tròn đến hàng phần mười của xăngtimét).

Lời giải:

Diện tích của hình tròn có bán kính 2 cm là: π.2² = 4π (cm²).

Diện tích của hình tròn có bán kính 3 cm là: π.3² = 9π (cm²).

Tổng diện tích của hai hình tròn nhỏ là: 4π + 9π = 13π (cm²).

Diện tích của hình tròn lớn có bán kính r cm (r > 0) là: πr² (cm²).

Theo đề bài, ta có πr² = 13π

Suy ra r² = 13

Do đó $r=\sqrt{13}\approx \mathrm{3,6}$ cm (do r > 0).

Bài 14 trang 53 sách bài tập Toán 9 Tập 1:

a) Sắp xếp ba số $2\sqrt{7},3\sqrt{7}$và 7 theo thứ tự tăng dần.

b) Rút gọn biểu thức $A=\sqrt{{\left(7-2\sqrt{7}\right)}^2}+\sqrt{{\left(7-3\sqrt{7}\right)}^2}.$

Lời giải:

a) Ta có:

${\left(2\sqrt{7}\right)}^2=2^2\cdot {\left(\sqrt{7}\right)}^2=4\cdot 7=28;$

${\left(3\sqrt{7}\right)}^2=3^2\cdot {\left(\sqrt{7}\right)}^2=9\cdot 7=63;$

7² = 49.

Do 28 < 49 < 63 nên $\sqrt{28}<\sqrt{49}<\sqrt{63}$ hay $2\sqrt{7}<7<3\sqrt{7}.$

Vậy sắp xếp các số đã cho theo thứ tự tăng dần, ta được: $2\sqrt{7};7;3\sqrt{7}.$

b) $A=\sqrt{{\left(7-2\sqrt{7}\right)}^2}+\sqrt{{\left(7-3\sqrt{7}\right)}^2}=\left|7-2\sqrt{7}\right|+\left|7-3\sqrt{7}\right|.$

Theo câu a, $2\sqrt{7}<7<3\sqrt{7}$ suy ra: $7-2\sqrt{7}>0$ và $3\sqrt{7}-7>0.$

Do đó $\left|7-2\sqrt{7}\right|=7-2\sqrt{7}$ và $\left|3\sqrt{7}-7\right|=3\sqrt{7}-7.$

Vậy $A=\left|7-2\sqrt{7}\right|+\left|7-3\sqrt{7}\right|=7-2\sqrt{7}+3\sqrt{7}-7=\sqrt{7}.$

Bài 15 trang 53 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Tìm số tự nhiên n thoả mãn $n<\sqrt{37}<n+1.$

Lời giải:

Ta có: 36 = 6²; 49 = 7² và 36 < 37 < 49

Suy ra $\sqrt{36}<\sqrt{37}<\sqrt{49}$ hay $6<\sqrt{37}<7.$

Vậy n = 6 là số tự nhiên thoả mãn $n<\sqrt{37}<n+1.$

Bài 16 trang 53 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Giá trị trung bình nhân của ba số a, b và c được tính bằng công thức $A=\sqrt[3]{abc}.$ Tính giá trị trung bình nhân của các số

a) 3; 8 và 9;

b) ‒1; 40 và 25.

Lời giải:

a) $A=\sqrt[3]{3\cdot 8\cdot 9}=\sqrt[3]{2^3\cdot 3^3}=\sqrt[3]{{\left(2\cdot 3\right)}^3}=\sqrt[3]{6^3}=6.$

b) $A=\sqrt[3]{\left(-1\right)\cdot 40\cdot 25}=\sqrt[3]{-1000}=\sqrt[3]{{\left(-10\right)}^3}=-10.$

Bài 17 trang 54 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, $AB=\sqrt{2}, AC=\sqrt{6}.$

Tính giá trị đúng (không làm tròn) của

a) Chu vi và diện tích của tam giác ABC;

b) Độ dài đường cao AH của tam giác ABC.

Lời giải:

a) Xét ∆ABC vuông tại A, theo định lí Pythagore, ta có:

$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2={\left(\sqrt{2}\right)}^2+{\left(\sqrt{6}\right)}^2=2+6=8.$

Suy ra: $BC=\sqrt{8}=\sqrt{2^2\cdot 2}=2\sqrt{2}.$

Chu vi tam giác ABC là:

$AB+AC+BC=\sqrt{2}+\sqrt{6}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}+\sqrt{6}.$

Diện tích tam giác ABC là:

$S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{6}=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{12}=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2^2\cdot 3}=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot \sqrt{3}=\sqrt{3}.$

b) Ta có diện tích tam giác ABC là: $S=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot AH$

Suy ra $AH=\frac{2S}{BC}=\frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}}{{\left(\sqrt{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{6}}{2}.$

Bài 18 trang 54 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Tính giá trị của các biểu thức:

a) $\sqrt{9+\sqrt{17}}\cdot \sqrt{9-\sqrt{17}};$

b) ${\left(\sqrt{5+\sqrt{21}}+\sqrt{5-\sqrt{21}}\right)}^2.$

Lời giải:

a) $\sqrt{9+\sqrt{17}}\cdot \sqrt{9-\sqrt{17}}$

$=\sqrt{\left(9+\sqrt{17}\right)\left(9-\sqrt{17}\right)}$

$=\sqrt{9^2-{\left(\sqrt{17}\right)}^2}=\sqrt{81-17}=\sqrt{64}=8.$

b) ${\left(\sqrt{5+\sqrt{21}}+\sqrt{5-\sqrt{21}}\right)}^2$

$={\left(\sqrt{5+\sqrt{21}}\right)}^2+2\cdot \sqrt{5+\sqrt{21}}\cdot \sqrt{5-\sqrt{21}}+{\left(\sqrt{5-\sqrt{21}}\right)}^2$

$=5+\sqrt{21}+2\sqrt{\left(5+\sqrt{21}\right)\cdot \left(5-\sqrt{21}\right)}+5-\sqrt{21}$

$=10+2\sqrt{5^2-{\left(\sqrt{21}\right)}^2}$

$=10+2\sqrt{25-21}$

$=10+2\sqrt{4}$

$=10+2\cdot 2=14.$

Bài 19 trang 54 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Rút gọn các biểu thức (biết a > 0, b > 0):

a) $\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{a}}-\frac{\sqrt{ab}}{a};$

b) $\left(a-2\sqrt{\frac{b}{a}}\right)\left(a+\frac{2}{a}\sqrt{ab}\right).$

Lời giải:

a) $\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{a}}-\frac{\sqrt{ab}}{a}$

$=\sqrt{\frac{ab}{b^2}}+\sqrt{\frac{ab}{a^2}}-\frac{\sqrt{ab}}{a}$

$=\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{b^2}}+\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{a^2}}-\frac{\sqrt{ab}}{a}$

$=\frac{\sqrt{ab}}{b}+\frac{\sqrt{ab}}{a}-\frac{\sqrt{ab}}{a}=\frac{\sqrt{ab}}{b}.$

b) $\left(a-2\sqrt{\frac{b}{a}}\right)\left(a+\frac{2}{a}\sqrt{ab}\right)$

$=\left(a-2\sqrt{\frac{b}{a}}\right)\left(a+2\sqrt{\frac{b}{a}}\right)$

$=a^2-{\left(2\sqrt{\frac{b}{a}}\right)}^2$

$=a^2-4\cdot \frac{b}{a}=a^2-\frac{4b}{a}.$

Bài 20 trang 54 sách bài tập Toán 9 Tập 1:

a) Chứng minh rằng $\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ với mọi số tự nhiên n.

b) Tính $\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dots +\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}.$

Lời giải:

a) Với mọi số tự nhiên n, ta có:

$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$$=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}$

$=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{{\left(\sqrt{n+1}\right)}^2-{\left(\sqrt{n}\right)}^2}$$=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n+1-n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}.$

Vậy $\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ với mọi số tự nhiên n.

b) Áp dụng công thức ở câu a, ta có:

$\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dots +\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$

$=\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\dots +\frac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{99}}$

$=\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\mathrm{...}+\sqrt{100}-\sqrt{99}$

$=-1+\sqrt{100}=-1+10=9.$

Bài 21 trang 54 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho biểu thức $P=\left(\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}-\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}+1}+\frac{4+4a}{1-a^2}\right)\left(\sqrt{a}-\frac{1}{\sqrt{a}}\right)$ với a > 0, a ≠ 1.

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tìm giá trị của a để P = 2.

Lời giải:

a) Với a > 0, a ≠ 1, ta có:

$P=\left(\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}-\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}+1}+\frac{4+4a}{1-a^2}\right)\left(\sqrt{a}-\frac{1}{\sqrt{a}}\right)$

$=\left[\frac{{\left(\sqrt{a}+1\right)}^2}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}-\frac{{\left(\sqrt{a}-1\right)}^2}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}-\frac{4\left(1+a\right)}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}\right]\cdot \frac{{\left(\sqrt{a}\right)}^2-1}{\sqrt{a}}$

$=\left[\frac{a+2\sqrt{a}+1-\left(a-2\sqrt{a}+1\right)}{a-1}-\frac{4}{a-1}\right]\cdot \frac{a-1}{\sqrt{a}}$

$=\left(\frac{4\sqrt{a}}{a-1}-\frac{4}{a-1}\right)\cdot \frac{a-1}{\sqrt{a}}$

$=\frac{4\sqrt{a}-4}{a-1}\cdot \frac{a-1}{\sqrt{a}}$

$=\frac{4\sqrt{a}-4}{\sqrt{a}}.$

Vậy với a > 0, a ≠ 1 thì $P=\frac{4\sqrt{a}-4}{\sqrt{a}}.$

b) Với a > 0, a ≠ 1, để P = 2 thì $\frac{4\sqrt{a}-4}{\sqrt{a}}=2$

Suy ra $4\sqrt{a}-4=2\sqrt{a}$

$2\sqrt{a}=4$

$\sqrt{a}=2$

a = 2² = 4 (thỏa mãn).

Vậy a = 4 thì P = 2.

Bài 22 trang 54 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Thời gian T (s) để con lắc trên đồng hồ quả lắc thực hiện được một dao động (thời gian giữa hai tiếng “tích tắc” liên tiếp) gọi chu kì của con lắc và được tính bởi công thức $T=2\pi \sqrt{\frac{l}{ \text{g}}},$ trong đó l (m) là chiều dài của dây, g = 9,8 (m/s²).

a) Tính chu kì của con lắc khi chiều dài của dây là l = 0,5 m (kết quả làm tròn đến hàng phần nghìn của giây).

b) Chiều dài của dây phải bằng bao nhiêu thì con lắc có chu kì T = 2 s (kết quả làm tròn đến hàng phần nghìn của mét)?

c) Nếu chiều dài của dây tăng lên gấp 2 lần thì chu kì của con lắc thay đổi như thế nào?

Lời giải:

a) Thay l = 0,5 m và g = 9,8 m/s² vào công thức $T=2\pi \sqrt{\frac{l}{ \text{g}}},$ ta được:

$T=2\pi \sqrt{\frac{\mathrm{0,5}}{ \mathrm{9,8}}}\approx \mathrm{1,419}$(s).

Vậy chu kì của con lắc khi chiều dài của dây là l = 0,5 m là T ≈ 1,419 s.

b) Thay T = 2 (s) vào công thức $T=2\pi \sqrt{\frac{l}{ \text{g}}},$ ta được:

$2=2\pi \sqrt{\frac{l}{ \mathrm{9,8}}},$suy ra $4=4{\pi }^2\cdot \frac{l}{\mathrm{9,8}},$ nên $l=\frac{\mathrm{9,8}}{{\pi }^2}\approx \mathrm{0,993}$ (m).

Vậy chiều dài của dây khoảng 0,993 mét thì con lắc có chu kì T = 2 s.

c) Nếu chiều dài của dây là l₁ = 2l thì con lắc có chu kì là:

$T_1=2\pi \sqrt{\frac{l_1}{ \text{g}}}=2\pi \sqrt{\frac{2l}{ \text{g}}}=2\pi \sqrt{\frac{l}{ \text{g}}}\cdot \sqrt{2}=T\sqrt{2}.$

Vậy nếu chiều dài của dây tăng lên gấp 2 lần thì chu kì của con lắc tăng lên gấp $\sqrt{2}$lần.