Sách bài tập Toán 9 (Chân trời sáng tạo) Bài tập cuối chương 4 trang 73

Giải SBT Toán 9 Bài tập cuối chương 4 trang 73

Câu hỏi trắc nghiệm

Bài 1 trang 73 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 6 cm, AC = 8 cm. Giá trị của sin B là:

A. $\frac{3}{4}.$

B. $\frac{3}{5}.$

C. $\frac{4}{5}.$

D. $\frac{5}{4}.$

Lời giải:

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABC vuông tại A, ta có:

$BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10\text{ (cm).}$

Xét ∆ABC vuông tại A, ta có: $\sin \widehat{ABC}=\frac{AC}{BC}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}.$

Bài 2 trang 73 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Giá trị của biểu thức B = tan 45°. cos 30°. cot 30° là

A. $\frac{\sqrt{3}}{3}.$

B. $\frac{\sqrt{6}}{2}.$

C. $\frac{\sqrt{3}}{2}.$

D. $\frac{3}{2}.$

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: B = tan 45°. cos 30°. cot 30° $=1\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \sqrt{3}=\frac{3}{2}.$

Bài 3 trang 73 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Tỉ số lượng giác bằng với cos 58° là

A. sin 58°.

B. sin 32°.

C. tan 32°.

D. cot 32°.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: cos 58° = sin(90° ‒ 58°) = sin 32°.

Bài 4 trang 73 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Số đo góc C trong Hình 1 (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm của độ) là

A. 59,04°.

B. 30,93°.

C. 36,87°.

D. 53,13°.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác ABC vuông tại B có:

$\tan C=\frac{AB}{BC}=\frac{5}{3},$ suy ra $\widehat{C}\approx \mathrm{59,04}°.$

Bài 5 trang 73 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Độ dài cạnh BC trong Hình 2 (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm) là:

A. 17,14.

B. 9,83.

C. 8,40.

D. 6,88.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác ABC vuông tại B có:

BC = AB.cotC = 12.cot55° ≈ 8,40.

Bài 6 trang 73 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Một cầu trượt trong công viên có độ dốc là 28° và có độ cao là 2,1 m. Độ dài của mặt cầu trượt (kết quả làm tròn đến hàng phần mười) là

A. 6,8 m.

B. 4,5 m.

C. 3,9 m.

D. 3,3 m.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Gọi AB là độ cao của cầu trượt và $\widehat{ACB}$ là độ dốc của cầu trượt.

Khi đó AB = 2,1 m và $\widehat{ACB}=28°.$

Ta có: $\sin C=\frac{AB}{BC}$ hay $\sin 28°=\frac{\mathrm{2,1}}{BC}$

Suy ra $BC=\frac{\mathrm{2,1}}{sin28°}\approx \mathrm{4,5}m.$

Vậy độ dài của mặt cầu trượt khoảng 4,5 m.

Bài 7 trang 73 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Khoảng cách giữa hai chân tháp AB và MN là x (Hình 3). So với phương nằm ngang AH, từ đỉnh A của tháp AB nhìn lên đỉnh M của tháp MN ta được góc α, từ đỉnh A của tháp AB nhìn xuống chân N của tháp MN ta được góc β. Cho biết x = 120 m, α = 30° và β = 20°. Chiều cao của tháp MN (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của mét) là

A. 113 m.

B. 25 m.

C. 101 m.

D. 217 m.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: ABNH là hình chữ nhật nên AH = BN = 120 m.

Xét ∆AHN vuông tại H có: NH = AH.tanβ = 120.tan20° (m).

Xét ∆AHM vuông tại H có:

$MH=AH\cdot \tan \alpha =120\cdot \tan 30°=120\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=40\sqrt{3}\text{ (m).}$

Do đó $MN=MH+HN=40\sqrt{3}+\tan 20°\cdot 20\approx 113\text{ (m).}$

Bài 8 trang 74 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Độ dài y trong Hình 4 (kết quả làm tròn đến hàng phần mười) là

A. 10,2.

B. 8,4.

C. 10,3.

D. 11.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có CDEF là hình chữ nhật, lại có CD = DE = 4 nên CDEF là hình vuông.

Do đó EF = CF = CD = DE = 4.

Xét ∆ADE vuông tại E, có: AE = DE.cotA = 4.cot70°.

Xét ∆CFB vuông tại F, có: BF = CF.tanC = 4.tan50°.

Mà AB = AE + EF + FB

Nên y = 4.cot70° + 4 + 4.tan 50° ≈ 10,2.

Bài 9 trang 74 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Giá trị của biểu thức C = sin 75° – cos 15° + sin 30° là

A. $\frac{\sqrt{3}}{2}.$

B. $\frac{1}{2}.$

C. $\frac{\sqrt{2}}{2}.$

D. 0

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có:

C = sin 75° – cos 15° + sin 30°

= cos(90° ‒ 75°) – cos 15° + sin 30°

= cos 15° – cos 15° + sin 30°

= sin30° = $\frac{1}{2}.$

Bài 10 trang 74 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho tam giác OAB vuông tại O có OA = 8 cm, OB = 15 cm.

a) $\tan A=\frac{15}{8}.$

b) $\sin B=\frac{15}{17}.$

c) $\sin A=\frac{8}{17}.$

d) cotA = tanB.

Lời giải:

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác OAB vuông tại O, ta có:

$AB=\sqrt{O{A}^2+O{B}^2}=\sqrt{8^2+{15}^2}=\sqrt{289}=17\text{ (cm).}$

Xét tam giác OAB vuông tại O, có:

⦁ $\tan A=\frac{OB}{OA}=\frac{15}{8}.$ Do đó ý a) là đúng.

⦁ $\sin B=\frac{OA}{AB}=\frac{8}{17}.$ Do đó ý b) là sai.

⦁ $\sin A=\frac{OB}{AB}=\frac{15}{17}.$ Do đó ý c) là sai.

⦁ $\cot A=\frac{OA}{OB}=\frac{8}{15};\tan B=\frac{OA}{OB}=\frac{8}{15}.$ Do đó cotA = tanB nên ý d) là đúng.

Vậy: a) Đ;

b) S;

c) S;

d) Ð.

Bài 11 trang 74 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Tam giác ABC vuông tại A , có AB = 24 cm, BC = 25 cm, AH là đường cao (Hình 5).

Lời giải:

a) AC = 8 cm.

b) $\widehat{B}\approx \mathrm{16,26}°.$

c) $\cos C=\frac{24}{25}.$

d) AH ≈ 7 cm.

Lời giải

– Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABC vuông tại A ta có:

BC² = AB² + AC²

Suy ra $AC=\sqrt{B{C}^2-A{B}^2}=\sqrt{{25}^2-{24}^2}=\sqrt{625-576}=\sqrt{49}=7\text{ (cm).}$

Do đó ý a) là sai.

– Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:

⦁ $\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{7}{25},$ suy ra $\widehat{B}\approx \mathrm{16,26}°.$ Do đó, ý b) là đúng.

⦁ $\cos C=\frac{AC}{BC}=\frac{7}{25}.$ Do đó ý c) là sai.

– Xét tam giác ABH vuông tại H, ta có: $\sin B=\frac{AH}{AB}.$

Mà $\sin B=\frac{7}{25},$ nên $\frac{AH}{AB}=\frac{7}{25}$

Suy ra $AH=\frac{7}{25}AB=\frac{7}{25}\cdot 24=\mathrm{6,72}\text{ (cm)}\approx 7\text{ (cm).}$ Do đó ý d) là đúng.

Vậy: a) S;

b) Đ;

c) S;

d) Ð.

Bài 12 trang 74 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Từ điểm A trên đỉnh một tòa nhà cao 30 m, một người nhìn thấy một ô tô đang dừng tại vị trí B dưới một góc nghiêng xuống là 55° (Hình 6).

a) OB ≈ 21 m.

b) AB = 47 m.

c) $\widehat{OAB}=35°.$

d) $\widehat{OBA}=35°.$

Lời giải:

– Ta có: $\widehat{ABO}=\widehat{A}=55°$(2 góc ở vị trí so le trong). Do đó ý d) là sai.

$\widehat{OAB}=90°-55°=35°.$Do đó ý c) là đúng.

– Xét tam giác OAB vuông tại O, ta có:

⦁ OB = OA.cotB = 30.cot55° ≈ 21 m. Do đó ý a) là đúng.

⦁ $\sin B=\frac{OA}{AB},$ suy ra $AB=\frac{OA}{\sin B}=\frac{30}{\sin 55°}\approx \mathrm{36,62}\text{ (m).}$

Do đó ý b) là sai.

Vậy: a) Đ;

b) S;

c) Đ;

d) S.

Câu hỏi tự luận

Bài 13 trang 74 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH, BH = 1 cm, CH = 4 cm. Giải tam giác ABC.

Lời giải:

Ta có BC = BH + CH = 1 + 4 = 5 (cm).

Xét ∆ABC vuông tại A, ta có: $\widehat{B}+\widehat{C}=90°$ (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông bằng 90°).

Xét ∆ABH vuông tại H, ta có: $\widehat{B}+\widehat{BAH}=90°$ (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông bằng 90°).

Suy ra $\widehat{C}=\widehat{BAH}$(cùng phụ với góc B).

Xét ∆ABH và ∆CBA có:

Góc B chung, $\widehat{C}=\widehat{BAH}$

Do đó ∆ABH ᔕ ∆CBA (g.g), suy ra $\frac{AB}{CB}=\frac{BH}{BA}$

Hay AB² = BH.BC = 1.5 = 5, suy ra $AB=\sqrt{5}\text{ (cm).}$

Tương tự, ta có ∆CAH ᔕ ∆CBA (g.g), suy ra $\frac{AC}{BC}=\frac{CH}{CA}$

Hay AC² = CH.BC = 4.5 = 20, suy ra $AC=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\text{ (cm).}$

Xét ∆ABC vuông tại A, ta có:

$\sin C=\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{5}}{5},$ suy ra $\widehat{C}\approx 26°34\text{'}.$

Mà $\widehat{B}+\widehat{C}=90°$ nên $\widehat{B}=90°-\widehat{C}\approx 90°-26°{34}^{\text{'}}=63°26\text{'}.$

Bài 14 trang 74 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Giải các tam giác vuông trong Hình 7.

Lời giải:

a) Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:

⦁ $\widehat{B}+\widehat{C}=90°,$ suy ra $\widehat{C}=90°-\widehat{B}=90°-15°=75°;$

⦁ AB = AC.cotB = 5.cot15° ≈ 18,66;

⦁ AC = BC.sinB, suy ra $BC=\frac{AC}{\sin B}=\frac{5}{\sin 15°}\approx \mathrm{19,32.}$

b) Xét tam giác ABC vuông tại C, ta có:

⦁ $\widehat{A}+\widehat{B}=90°,$ suy ra $\widehat{A}=90°-\widehat{B}=90°-32°=58°;$

⦁ AC = AB.sinB = 56.sin32° ≈ 29,68;

⦁ BC = AB.cosB = 56.cos32° ≈ 47,49.

c) Xét tam giác ABC vuông tại C, ta có:

⦁ AB² = AC² + BC² (định lí Pythagore)

Suy ra $BC=\sqrt{A{B}^2-A{C}^2}=\sqrt{{25}^2-{20}^2}=\sqrt{225}=15;$

⦁ $\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{15}{25}=\frac{3}{5},$ suy ra $\widehat{A}\approx 36°{52}^{\text{'}};$

⦁ $\widehat{A}+\widehat{B}=90°,$ suy ra $\widehat{B}=90°-\widehat{A}\approx 90°-36°{52}^{\text{'}}=53°8^{\text{'}}.$

Bài 15 trang 75 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 15 cm, BC = 20 cm, $\widehat{ABC}=64°.$ Tính độ dài:

a) đường cao AH;

b) các đoạn thẳng BH, CH;

c) cạnh AC.

Lời giải:

a) Do AH là đường cao tam giác ABC nên AH ⊥ BC tại H.

Xét ∆ABH vuông tại H, ta có:

$AH=AB\cdot \sin \widehat{ABH}=15\cdot \sin 64°\approx \mathrm{13,48}\text{ (cm).}$

b) Xét ∆ABH vuông tại H, ta có:

$BH=AB\cdot \cos \widehat{ABC}=15\cdot \cos 64°\approx \mathrm{6,58}\text{ (cm).}$

Suy ra CH = BC – BH ≈ 20 – 6,58 = 13,42 (cm).

c) Áp dụng định lí Pythagore cho ∆AHC vuông tại H, có:

$AC=\sqrt{A{H}^2+C{H}^2}\approx \sqrt{{\mathrm{13,48}}^2+{\mathrm{13,42}}^2}\approx \mathrm{19,02}\text{ (cm).}$

Bài 16 trang 75 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Một người đứng cách thân một cái quạt gió 16 m và nhìn thấy tâm của cánh quạt với góc nâng 56,5°. Tính khoảng cách từ tâm của cánh quạt đến mặt đất, biết khoảng cách từ mắt của người đó đến mặt đất là 1,5 m.

Lời giải:

Gọi khoảng cách từ tâm của cánh quạt gió đến mặt đất là AE.

Người đứng ở vị trí điểm D, khoảng cách từ mắt người đó đến mặt đất là CD, suy CD = BE = 1,5 m (do BCDE là hình chữ nhật).

Người đứng cách thân quạt gió 16 m, suy ra DE = BC = 16 m.

Xét ∆ABC vuông tại B, có:

AB = BC.tanC = 16.tan 56,5° ≈ 24,17 (m).

Do đó AE = AB + BE ≈ 24,17 + 1,5 = 25,67 (m).

Vậy khoảng cách từ tâm quạt gió đến mặt đất là khoảng 25,67 m.

Bài 17 trang 75 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Một du khách đếm được 645 bước chân khi đi từ ngay dưới chân tòa tháp thẳng ra phía ngoài cho đến vị trí có góc nhìn lên đỉnh là 45° (Hình 9). Tính chiều cao của tháp, biết rằng khoảng cách trung bình của mỗi bước chân là 0,4 m.

Lời giải:

Ta có chiều cao của tòa tháp là AB, khoảng cách từ vị trí người đứng đến chân tòa tháp là AC.

Du khách đếm được 645 bước chân khi đi từ A đến C và khoảng cách trung bình của mỗi bước chân là 0,4 m, suy ra AC = 645.0,4 = 258 (m).

Xét ∆ABC vuông tại A, ta có

$AB=AC\cdot \tan \widehat{ACB}=258\cdot tan45°=258\text{ (m).}$

Vậy chiều cao của tháp là 258 m.

Bài 18 trang 75 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Một người đứng trên một tháp hải đăng ở vị trí cao 75 m so với mặt nước biển đã quan sát hai lần thấy một chiếc thuyền đang hướng về phía tháp hải đăng với góc hạ lần lượt là 30° và 45° (Hình 10). Hỏi thuyền đi được bao nhiêu mét giữa hai lần quan sát?

Lời giải:

Gọi độ cao từ mắt người đó đến mặt nước biển là AB, suy ra AB = 75 m.

Gọi vị trí chiếc thuyền hướng về phía ngọn hải đăng mà từ trên ngọn tháp quan sát với góc hạ lần lượt là 30° và 45° tương ứng là C, D.

Vì Bx // AD nên $\widehat{BDA}=\widehat{xBD}=45°$ và $\widehat{BCA}=\widehat{xBC}=30°$ (các cặp góc so le trong).

Xét ∆ABD vuông tại A có $\widehat{BDA}=45°,$ suy ra ∆ABD vuông cân tại A.

Do đó AD = AB = 75 m.

Xét ∆ABC vuông tại A, ta có:

$AC=AB\cdot \cot \widehat{BCA}=75\cdot \cot 30°=75\sqrt{3}\approx \mathrm{129,90}\text{ (m).}$

Suy ra DC = AC – AD ≈ 129,90 – 75 = 54,90 (m).

Vậy giữa hai lần quan sát, thuyền đi được khoảng 54,90 m.