Sách bài tập Toán 9 Bài 2 (Chân trời sáng tạo): Phương trình bậc hai một ẩn

Giải SBT Toán 9 Bài 2: Phương trình bậc hai một ẩn

Bài 1 trang 12 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Giải các phương trình (không dùng công thức nghiệm):

a) 3x² + 7x = 0

b) $\frac{2}{3}{x}^2-\frac{4}{15}=0;$

c) y² – 6y + 8 = 0;

d) (x – 2)² = (x – 2)(3x + 5).

Lời giải:

a) 3x² + 7x = 0

x(3x + 7) = 0

x = 0 hoặc 3x + 7 = 0

x = 0 hoặc $x=-\frac{7}{3}.$

Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 0 và $x=-\frac{7}{3}.$

b) $\frac{2}{3}{x}^2-\frac{4}{15}=0$

$\frac{2}{3}{x}^2=\frac{4}{15}$

$x^2=\frac{4}{15}:\frac{2}{3}$

$x^2=\frac{4}{15}\cdot \frac{3}{2}$

$x^2=\frac{2}{5}$

$x=\sqrt{\frac{2}{5}}$ hoặc $x=-\sqrt{\frac{2}{5}}$

$x=\frac{\sqrt{10}}{5}$ hoặc $x=-\frac{\sqrt{10}}{5}.$

Vậy phương trình có hai nghiệm là $x=\frac{\sqrt{10}}{5}$ và $x=-\frac{\sqrt{10}}{5}.$

c) y² – 6y + 8 = 0

y² – 4y – 2y + 8 = 0

y(y – 4) – 2(y – 4) = 0

(y – 4)(y – 2) = 0

y ‒ 4 = 0 hoặc y ‒ 2 = 0

y = 4 hoặc y = 2.

Vậy phương trình có hai nghiệm là y = 4 và y = 2.

d) (x – 2)² = (x – 2)(3x + 5)

(x – 2)² – (x – 2)(3x + 5) = 0

(x ‒ 2)(x ‒ 2 ‒ 3x ‒ 5) = 0

(x – 2)(–2x – 7) = 0

x ‒ 2 = 0 hoặc ‒2x ‒ 7 = 0

x = 2 hoặc $x=-\frac{7}{2}.$

Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 2 và $x=-\frac{7}{2}.$

Bài 2 trang 12 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Giải các phương trình:

a) 2x² – 5x + 2 = 0;

b) –x² + 11x – 30 = 0;

c) 5x² – 7x – 6 = 0;

d) $5x^2–2\sqrt{5}x+1=0;$

e) $\frac{1}{16}{x}^2+\frac{1}{8}x=\frac{1}{2};$

g) $x^2-\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)x-\sqrt{10}=0.$

Lời giải:

a) 2x² – 5x + 2 = 0

Ta có: a = 2, b = ‒5, c = 2, ∆ = (‒5)² ‒ 4.2.2 = 25 ‒ 16 = 9 > 0.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là

$x_1=\frac{-\left(-5\right)+\sqrt{9}}{2\cdot 2}=\frac{5+3}{4}=\frac{8}{4}=2;$

$x_2=\frac{-\left(-5\right)-\sqrt{9}}{2\cdot 2}=\frac{5-3}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.$

b) – x² + 11x – 30 = 0

Ta có: a = ‒1, b = 11, c = ‒30, ∆ = 11² ‒ 4.(‒1).(‒30) = 121 ‒ 120 = 1 > 0

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là

$x_1=\frac{-11+\sqrt{1}}{2\cdot \left(-1\right)}=\frac{-11+1}{-2}=\frac{-10}{-2}=5;$

$x_2=\frac{-11-\sqrt{1}}{2\cdot \left(-1\right)}=\frac{-11-1}{-2}=\frac{-12}{-2}=6.$

c) 5x² – 7x – 6 = 0

Ta có: a = 5, b = ‒7, c = ‒6, ∆ = (‒7)² ‒ 4.5.(‒6) = 49 + 120 = 169 > 0.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là

$x_1=\frac{-\left(-7\right)+\sqrt{169}}{2\cdot 5}=\frac{7+13}{10}=\frac{20}{10}=2;$

$x_2=\frac{-\left(-7\right)-\sqrt{169}}{2\cdot 5}=\frac{7-13}{10}=\frac{-6}{10}=-\frac{3}{5}.$

d) $5x^2–2\sqrt{5}x+1=0$

Ta có: a = 5, $b=-2\sqrt{5},$ c = 1, $\Delta ={\left(-2\sqrt{5}\right)}^2-4\cdot 5\cdot 1=20-20=0.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm kép là

$x_1=x_2=\frac{-\left(-2\sqrt{5}\right)}{2\cdot 5}=\frac{2\sqrt{5}}{10}=\frac{\sqrt{5}}{5}.$

e) $\frac{1}{16}{x}^2+\frac{1}{8}x=\frac{1}{2}$

x² + 2x ‒ 8 = 0.

Ta có a = 1, b = 2, c = ‒8, ∆ = 2² ‒ 4.1.(‒8) = 4 + 32 = 36 > 0.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là

$x_1=\frac{-2+\sqrt{36}}{2\cdot 1}=\frac{-2+6}{2}=\frac{4}{2}=2;$

$x_2=\frac{-2-\sqrt{36}}{2\cdot 1}=\frac{-2-6}{2}=\frac{-8}{2}=-4.$

g) $x^2-\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)x-\sqrt{10}=0.$

Ta có $a=1,b=-\sqrt{5}+\sqrt{2},c=-\sqrt{10},$

$\Delta ={\left[-\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\right]}^2-4\cdot 1\cdot \left(-\sqrt{10}\right)$

$=5-2\sqrt{10}+2+4\sqrt{10}$

$=5+2\sqrt{10}+2={\left(\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)}^2>0.$

Nên $\sqrt{\Delta }=\sqrt{{\left(\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)}^2}=\left|\sqrt{5}+\sqrt{2}\right|=\sqrt{5}+\sqrt{2}.$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là

$x_1=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}+\sqrt{5}+\sqrt{2}}{2\cdot 1}=\frac{2\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5};$

$x_1=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}-\left(\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)}{2\cdot 1}=\frac{-2\sqrt{2}}{2}=-\sqrt{2}.$

Bài 3 trang 12 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Giải các phương trình:

a) (x – 1)(2x + 3) = x² + x;

b) 4x(3x – 2) – 9x + 6 = 0;

c) (x + 4)² – (2x – 1)(2x + 1) = 14

d) (x + 3)(x + 4) – 4x = 20.

Lời giải:

a) (x – 1)(2x + 3) = x² + x

2x² + 3x ‒ 2x ‒ 3 = x² + x

2x² + 3x ‒ 2x ‒ 3 ‒ x² ‒ x = 0

x² ‒ 3 = 0

x² = 3

$x=\sqrt{3}$ hoặc $x=-\sqrt{3}.$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x=\sqrt{3}$ và $x=-\sqrt{3}.$

b) 4x(3x – 2) – 9x + 6 = 0

12x² ‒ 8x ‒ 9x + 6 = 0

12x² ‒ 17x + 6 = 0

Ta có a = 12, b = ‒17, c = 6, ∆ = (‒17)² ‒ 4.12.6 = 289 ‒ 288 = 1 > 0.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là:

$x_1=\frac{-\left(-17\right)+\sqrt{1}}{2\cdot 12}=\frac{17+1}{24}=\frac{18}{24}=\frac{3}{4};$

$x_1=\frac{-\left(-17\right)-\sqrt{1}}{2\cdot 12}=\frac{17-1}{24}=\frac{16}{24}=\frac{2}{3}.$

c) (x + 4)² – (2x – 1)(2x + 1) = 14

x² + 8x + 16 ‒ (4x² ‒ 1) ‒ 14 = 0

x² + 8x + 16 ‒ 4x² + 1 ‒ 14 = 0

‒3x² + 8x + 3 = 0

Ta có a = ‒3, b’ = 4, c = 3, ∆’ = 4² ‒ (‒3).3 = 16 + 9 = 25 > 0.

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là

$x_1=\frac{-4+\sqrt{25}}{-3}=\frac{-4+5}{-3}=\frac{1}{-3}=-\frac{1}{3};$

$x_2=\frac{-4-\sqrt{25}}{-3}=\frac{-4-5}{-3}=\frac{-9}{-3}=3.$

d) (x + 3)(x + 4) – 4x = 20.

x² + 4x + 3x + 12 ‒ 4x – 20 = 0

x² + 3x ‒ 8 = 0

Ta có a = 1, b = 3, c = ‒8, ∆ = 3² ‒ 4.1.(‒8) = 9 + 32 = 41 > 0.

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là

$x_1=\frac{-3+\sqrt{41}}{2};$$x_2=\frac{-3-\sqrt{41}}{2}.$

Bài 4 trang 12 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Hai bến sông A và B cách nhau 40 km. Một tàu chở hàng xuôi dòng từ bến A đến bến B để giao hàng. Sau khi giao hàng xong, tàu đi ngược dòng trở về và đỗ ở bến C cách bến A 8 km (Hình 1). Tính tốc độ của tàu chở hàng đó, biết rằng tốc độ của dòng nước là 3 km/h và thời gian cả đi lẫn về không kể thời gian giao hàng là 2 giờ 40 phút.

Lời giải:

Gọi x (km/h) là tốc độ của tàu chở hàng (x > 3).

Tốc độ của tàu khi xuôi dòng là x + 3 (km/h).

Thời gian tàu đi xuôi dòng từ A đến B là $\frac{40}{x+3}$ (giờ).

Tốc độ của tàu khi ngược dòng là x – 3 (km/h).

Thời gian tàu đi ngược dòng từ B đến C là $\frac{40-8}{x-3}=\frac{32}{x-3}$ (giờ).

Theo bài, thời gian cả đi lẫn về không kể thời gian giao hàng là 2 giờ 40 phút = $\frac{8}{3}$ giờ nên ta có phương trình: $\frac{40}{x+3}+\frac{32}{x-3}=\frac{8}{3}.$

Giải phương trình:

$\frac{40}{x+3}+\frac{32}{x-3}=\frac{8}{3}$

$\frac{40\cdot 3\left(x-3\right)}{3\left(x+3\right)\left(x-3\right)}+\frac{32\cdot 3\left(x+3\right)}{3\left(x+3\right)\left(x-3\right)}=\frac{8\left(x+3\right)\left(x-3\right)}{3\left(x+3\right)\left(x-3\right)}$

40.3(x – 3) + 32.3(x + 3) = 8(x + 3)(x – 3)

120x ‒ 360 + 96x + 288 = 8(x² ‒ 9)

216x – 72 = 8x² – 72

8x² ‒ 216x = 0

8x(x ‒ 27) = 0

x = 0 hoặc x ‒ 27 = 0

x = 0 (không thỏa mãn) hoặc x = 27 (thoả mãn).

Vậy tốc độ của tàu chở hàng là 27 km/h.

Bài 5 trang 12 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Bác Thanh có một mảnh đất hình chữ nhật với chiều rộng bằng $\frac{2}{3}$ chiều dài. Do quy hoạch mở rộng đường nên chiều dài và chiều rộng mảnh đất đều giảm đi 5 m, do đó diện tích mảnh đất còn lại chỉ bằng 84% diện tích lúc đầu. Tính diện tích mảnh đất lúc đầu.

Lời giải:

Gọi x (m) là chiều dài mảnh đất lúc đầu (x > 5).

Chiều rộng của mảnh đất lúc đầu là $\frac{2}{3}x\text{ (m).}$

Diện tích mảnh đất lúc đầu là: $x\cdot \frac{2}{3}x=\frac{2}{3}{x}^2{\text{ (m}}^2\text{).}$

Chiều dài của mảnh đất sau khi giảm là x – 5 (m).

Chiều rộng của mảnh đất sau khi giảm là $\frac{2}{3}x-5\text{ (m).}$

Diện tích mảnh đất sau khi giảm là: $\left(x-5\right)\left(\frac{2}{3}x-5\right)\text{ (m).}$

Diện tích mảnh đất còn lại bằng 84% diện tích lúc đầu nên ta có phương trình:

$\left(x-5\right)\left(\frac{2}{3}x-5\right)=84\%\cdot \frac{2}{3}{x}^2.$

Giải phương trình:

$\left(x-5\right)\left(\frac{2}{3}x-5\right)=84\%\cdot \frac{2}{3}{x}^2$

$\frac{2}{3}{x}^2-5x-\frac{10}{3}x+25=\frac{14}{25}{x}^2$

50x² – 375x – 250x + 1 875 – 42x² = 0

8x² – 625x + 1 875 = 0

Ta có a = 8, b = ‒625, c = 1 875, ∆ = (‒625)² ‒ 4 . 8 . 1 875 = 330 625 > 0 và $\sqrt{\Delta }=\sqrt{330625}=575.$

Vậy phương tình có hai nghiệm phân biệt là

$x_1=\frac{625+575}{2\cdot 8}=\frac{1200}{16}=75;$

$x_2=\frac{625-575}{2\cdot 8}=\frac{50}{16}=3,125.$

Ta thấy chỉ có giá trị x₁ = 75 thoả mãn điều kiện.

Do đó mảnh đất lúc đầu có chiều dài là 75 m, chiều rộng là $\frac{2}{3}\cdot 75=50\text{ (m).}$

Vậy diện tích mảnh đất lúc đầu là 75.50 = 3 750 m².

Bài 6 trang 13 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Một công ty điều một số xe tải để chở 67,5 tấn hàng. Khi đến kho hàng thì có 3 xe bị hỏng nên để chở hết số hàng thì mỗi xe còn lại phải chở thêm 0,25 tấn so với dự định ban đầu. Hỏi số xe được điều đến chở hàng là bao nhiêu? Biết rằng khối lượng hàng mỗi xe chở là như nhau.

Lời giải:

Gọi x là số xe được điều đến chở hàng lúc đầu (x ∈ ℤ, x > 3).

Số xe lúc sau là x – 3 (xe).

Số hàng mỗi xe phải chở lúc đầu là $\frac{67,5}{x}$ (tấn).

Số hàng mỗi xe phải chở lúc sau là $\frac{67,5}{x-3}$ (tấn).

Theo bài, mỗi xe còn lại lúc sau phải chở thêm 0,25 tấn so với dự định ban đầu nên ta có phương trình: $\frac{67,5}{x-3}-\frac{67,5}{x}=0,25.$

Giải phương trình:

$\frac{67,5}{x-3}-\frac{67,5}{x}=0,25$

$\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x}=\frac{0,25}{67,5}$

$\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x}=\frac{1}{270}$

$\frac{270x}{270x\left(x-3\right)}-\frac{270\left(x-3\right)}{270x\left(x-3\right)}=\frac{x\left(x-3\right)}{270x\left(x-3\right)}$

270x ‒ (270x – 810) = x² ‒ 3x

270x – 270x + 810 = x² ‒ 3x

x² ‒ 3x ‒ 810 = 0

Ta có a = 1, b = ‒3, c = ‒81, ∆ = (‒3)² ‒ 4.1.(‒810) = 9 + 3 240 = 3 249 > 0.

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là

$x_1=\frac{-\left(-3\right)+\sqrt{3249}}{2\cdot 1}=\frac{3+57}{2}=\frac{60}{2}=30;$

$x_2=\frac{-\left(-3\right)-\sqrt{3249}}{2\cdot 1}=\frac{3-57}{2}=\frac{-54}{2}=-27.$

Ta thấy chỉ có giá trị x₁ = 30 thoả mãn điều kiện.

Vậy công ty đã điều 30 xe đến chở hàng.

Bài 7 trang 13 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Hai dung dịch muối có tổng khối lượng bằng 600 kg. Lượng muối trong dung dịch I là 6 kg, lượng muối trong dung dịch II là 4 kg. Biết nồng độ muối trong dung dịch I nhiều hơn nồng độ muối trong dung dịch II là 2%. Tính khối lượng mỗi dung dịch nói trên.

Lời giải:

Gọi x (kg) là khối lượng dung dịch I (0 < x < 600).

Khối lượng dung dịch II là 600 – x (kg).

Nồng độ muối trong dung dịch I là $\frac{6}{x}\cdot 100\left(\%\right).$

Nồng độ muối trong dung dịch II là $\frac{4}{600-x}\cdot 100\left(\%\right).$

Theo bài, nồng độ muối trong dung dịch I nhiều hơn nồng độ muối trong dung dịch II là 2% nên ta có phương trình:

$\frac{6}{x}\cdot 100-\frac{4}{600-x}\cdot 100=2.$

Giải phương trình:

$\frac{6}{x}\cdot 100-\frac{4}{600-x}\cdot 100=2$

$\frac{6}{x}-\frac{4}{600-x}=\frac{2}{100}$

$\frac{6}{x}-\frac{4}{600-x}=\frac{1}{50}$

$\frac{6\cdot 50\left(600-x\right)}{50x\left(600-x\right)}-\frac{4\cdot 50x}{50x\left(600-x\right)}=\frac{x\left(600-x\right)}{50x\left(600-x\right)}$

180 000 – 300x – 200x = 600x – x²

x² ‒ 1 100x + 180 000 = 0

Ta có a = 1, b’ = ‒550, c = 180 000, ∆’ = (‒550)² ‒ 1 . 180 000 = 122 500 > 0.

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là

$x_1=\frac{-\left(-550\right)+\sqrt{122500}}{1}=\frac{550+350}{1}=900;$

$x_2=\frac{-\left(-550\right)-\sqrt{122500}}{1}=\frac{550-350}{1}=200.$

Ta thấy chỉ có giá trị x₂ = 200 thoả mãn điều kiện.

Vậy khối lượng dung dịch I là 200 kg, khối lượng dung dịch II là 600 ‒ 200 = 400 kg.

Bài 8 trang 13 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Có hai đội thợ phải hoàn thành việc quét sơn một văn phòng. Nếu mỗi đội làm riêng thì đội I hoàn thành công việc nhanh hơn đội II thời gian là 6 ngày. Còn nếu họ làm việc cùng nhau thì chỉ cần 4 ngày sẽ xong công việc. Hỏi nếu làm riêng thì thời gian hoàn thành công việc của mỗi đội là bao lâu?

Lời giải:

Gọi x (ngày) là thời gian đội I hoàn thành công việc nếu làm riêng (x > 0).

Thời gian đội II hoàn thành công việc nếu làm riêng là x + 6 (ngày).

Trong 1 ngày, đội I làm được $\frac{1}{x}$ công việc, đội II làm được $\frac{1}{x+6}$ công việc.

Nếu cả hai đội thợ làm việc cùng nhau thì chỉ cần 4 ngày sẽ xong công việc nên trong 1 ngày, cả hai đội làm được $\frac{1}{4}$ công việc.

Khi đó, ta có phương trình: $\frac{1}{x}+\frac{1}{x+6}=\frac{1}{4}.$

Giải phương trình:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+6}=\frac{1}{4}$

$\frac{4\left(x+6\right)}{4x\left(x+6\right)}+\frac{4x}{4x\left(x+6\right)}=\frac{x\left(x+6\right)}{4x\left(x+6\right)}$

4x + 24 + 4x = x² + 6x

x² ‒ 2x ‒ 24 = 0

Ta có a = 1, b’ = ‒1, c = ‒24, ∆’ = (‒1)² ‒ 1.(‒24) = 1 + 24 = 25 > 0.

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là

$x_1=\frac{-\left(-1\right)+\sqrt{25}}{1}=\frac{1+5}{1}=6;$

$x_2=\frac{-\left(-1\right)-\sqrt{25}}{1}=\frac{1-5}{1}=-4.$

Ta thấy chỉ có giá trị x₁ = 6 thoả mãn điều kiện.

Vậy nếu làm riêng, đội I sẽ hoàn thành công việc trong 6 ngày, đội II sẽ hoàn thành công việc trong 6 + 6 = 12 ngày.

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán lớp 9 bộ sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 3: Định lí Viète

Bài tập cuối chương 6 trang 16

Bài 1: Bảng tần số và biểu đồ tần số

Bài 2: Bảng tần số tương đối và biểu đồ tần số tương đối

Bài 3: Biểu diễn số liệu ghép nhóm