Giải SBT Toán 10 trang 73 Tập 2 Kết nối tri thức

Giải SBT Toán 10 trang 73 Tập 2 Kết nối tri thức

Bài 15 trang 73 SBT Toán 10 Tập 2: Chuyển động của một vật thể trong khoảng thời gian 180 phút được thể hiện trong mặt phẳng toạ độ. Theo đó, tại thời điểm t (0 ≤ t ≤ 180), vật thể có vị trí toạ độ (4cos t°; 3sin t°).

a) Tìm vị trí ban đầu và vị trí kết thúc của vật thể.

b) Tìm quỹ đạo chuyển động của vật thể.

Lời giải:

a) Vị trí ban đầu của vật thể ứng với t = 0, suy ra vật thể ở vị trí có tọa độ là A₁(4; 0) (do 4cos 0° = 4 và 3sin 0° = 0).

Vị trí kết thúc của vật thể ứng với t = 180, suy ra vật thể ở vị trí có tọa độ là A₂(– 4; 0) (do 4cos 180° = – 4 và 3sin 180° = 0).

b) Vì vật thể có vị trí toạ độ (4cos t°; 3sin t°).

Do đó, với một điểm M bất kì thuộc quỹ đạo chuyển động của vật thể ta có:

x_M = 4cos t°, y_M = 3sin t°.

Khi đó từ đẳng thức: sin² t° + cos² t° = 1 hay (sin t°)² + (cos t°)² = 1, ta suy ra:

${\left(\frac{y_M}{3}\right)}^2+{\left(\frac{x_M}{4}\right)}^2=1\iff \frac{x_M^2}{16}+\frac{y_M^2}{9}=1$.

Do đó, vật thể chuyển động trên đường elip (E) có phương trình $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ .

Khi t thay đổi trên đoạn [0; 180] thì sin t° thay đổi trên đoạn [0; 1] và cos t° thay đổi trên đoạn [– 1; 1]. Do đó, 4cos t° ∈ [– 4; 4] và 3sin t° ∈ [0; 3].

Vậy quỹ đạo vật thể (hay là tập hợp điểm M) là nửa đường elip (E) nằm trên trục hoành. 

Bài 16 trang 73 SBT Toán 10 Tập 2: Bảng sau đây cho biết lượng mưa trung bình hằng tháng tại Đà Nẵng và Hà Nội (mm).

 (Theo www.weatherspark.com)

a) Đà Nẵng hay Hà Nội có lượng mưa trung bình cả năm cao hơn?

b) Tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn của hai mẫu số liệu về lượng mưa trung bình các tháng tại Đà Nẵng và Hà Nội. Nhận xét gì về sự phân tán của hai mẫu số liệu này?

Lời giải:

a) Lượng mưa trung bình cả năm của Đà Nẵng là:

$\overline{x}=$ (39,5 + 13,2 + 14,1 + 28,0 + 60,2 + 62,5 + 58,6 + 119,6 + 291,2 + 253,5 + 304,0 + 145,1) : 12 ≈ 115,79.

Lượng mưa trung bình cả năm của Hà Nội là:

$\overline{x^{\text{'}}}$ = (13,0 + 11,9 + 29,2 + 52,5 + 126,3 + 160,1 + 204,0 + 226,2 + 173,8 + 84,8 + 45,0 + 14,1) : 12 ≈ 95,08.

Vì 115,79 > 95,08.

Vậy Đà Nẵng có lượng mưa trung bình cả năm cao hơn Hà Nội.

b) Khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn của hai mẫu số liệu về lượng mưa trung bình các tháng tại Đà Nẵng và Hà Nội.

* Đà Nẵng:

Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

13,2; 14,1; 28,0; 39,5; 58,6; 60,2; 62,5; 119,6; 145,1; 253,5; 291,2; 304,0.   

Khoảng biến thiên: R = 304,0 – 13,2 = 290,8.

Trung vị: $Q_2=\frac{\mathrm{60,2}+\mathrm{62,5}}{2}=\mathrm{61,35}$ .

Tứ phân vị thứ nhất: Q₁ = $\frac{\mathrm{28,0}+\mathrm{39,5}}{2}=\mathrm{33,75}$ .

Tứ phân vị thứ ba: Q₃ = $\frac{\mathrm{145,1}+\mathrm{253,5}}{2}$ = 199,3.

Khoảng tứ phân vị: ∆_Q = Q₃ – Q₁ = 199,3 – 33,75 = 165,55.

Phương sai:

s² = [(115,79 – 13,2)² + (115,79 – 14,1)² + (115,79 – 28,0)² + (115,79 – 39,5)² + (115,79 – 58,6)² + (115,79 – 60,2)² + (115,79 – 62,5)² + (115,79 – 119,6)² + (115,79 – 145,1)² + (115,79 – 253,5)² + (115,79 – 291,2)² + (115,79 – 304,0)²] : 12 ≈ 10 801,91.  

Độ lệch chuẩn: s = $\sqrt{s^2}$ ≈ 103,93.

* Hà Nội:

Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

11,9; 13,0; 14,1; 29,2; 45,0; 52,5; 84,8; 126,3; 160,1; 173,8; 204,0; 226,2.

Khoảng biến thiên: R' = 226,2 – 11,9 = 214,3.

Trung vị: ${Q^{\text{'}}}_2=\frac{\mathrm{52,5}+\mathrm{84,8}}{2}=\mathrm{68,65}$ .

Tứ phân vị thứ nhất: Q'₁ = $\frac{\mathrm{14,1}+\mathrm{29,2}}{2}=\mathrm{21,65}$ .

Tứ phân vị thứ ba: Q'₃ = $\frac{\mathrm{160,1}+\mathrm{173,8}}{2}$ = 166,95.

Khoảng tứ phân vị: ∆'_Q = Q'₃ – Q'₁ = 166,95 – 21,65 = 145,3.

Phương sai:

s'² = [(95,08 – 11,9)² + (95,08 – 13,0)² + (95,08 – 14,1)² + (95,08 – 29,2)² + (95,08 – 45,0)² + (95,08 – 52,5)² + (95,08 – 84,8)² + (95,08 – 126,3)² + (95,08 – 160,1)² + (95,08 – 173,8)² + (95,08 – 204,0)² + (95,08 – 226,2)²] : 12 ≈ 5 786,32.  

Độ lệch chuẩn: s' = $\sqrt{{s^{\text{'}}}^2}$ ≈ 76,07.

Từ đó ta có dãy số liệu về lượng mưa trung bình các tháng tại Đà Nẵng phân tán hơn so với tại Hà Nội.

Bài 17 trang 73 SBT Toán 10 Tập 2: Khi tham gia một trò chơi quay số trúng thưởng, mỗi người chơi chọn một số 4 chữ số (có tính cả số 0 ở đầu). Bạn An chọn số 0347. Người quản trò quay 4 tấm bìa cứng hình tròn I, II, III, IV, mỗi tấm bìa được chia thành 10 phần có diện tích bằng nhau và đánh số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 được gắn vào trục quay có mũi tên ở tâm. Giả sử mũi tên của bìa cứng số I, II, III và IV tương ứng dừng ở các số a, b, c, d. Khi đó số $\overline{abcd}$  gọi là số trúng thưởng. Nếu số của người chơi trùng hoàn toàn với số trúng thưởng thì người chơi trúng giải nhất; trùng với 3 chữ số của số trúng thưởng (tính cả thứ tự) thì người chơi trúng giải nhì.

Tính xác suất bạn An trúng giải nhất, giải nhì.

Lời giải:

Không gian mẫu: Ω = { $\overline{abcd}$; a, b, c, d ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}}.

Theo quy tắc nhân, ta có n(Ω) = 10⁴. (Do có 10 cách chọn mỗi số a, b, c, d).

+) Gọi E là biến cố “An trúng giải nhất”. Khi đó E = {0347}, n(E) = 1.

Vậy xác suất để An trúng giải nhất là P(E) = $\frac{n\left(E\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{1}{{10}^4}$ .

+) Gọi F là biến cố “An trúng giải nhì”.

Khi đó, F = { $\overline{a347};\overline{0b47};\overline{03c7};\overline{034d}$| a ∈ {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}, b ∈ {0; 1; 2; 4; 5; 6; 7; 8; 9}, c ∈ {0; 1; 2; 3; 5; 6; 7; 8; 9}, d ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 9}}.

Mỗi cách chọn a, b, c, d thỏa mãn F là chọn 1 trong 9 số. Có 9 cách chọn a, 9 cách chọn b, 9 cách chọn c, 9 cách chọn d.

Mỗi trường hợp là rời nhau nên theo quy tắc cộng ta có n(F) = 9 + 9 + 9 + 9 = 36.

Vậy xác suất để An trúng giải nhì là P(F) = $\frac{n\left(F\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{36}{{10}^4}=\mathrm{0,0036}$ .

Bài 18 trang 73 SBT Toán 10 Tập 2: Khi tham gia một trò chơi bốc thăm trúng thưởng, mỗi người chơi chọn một bộ 6 số đôi một khác nhau từ 45 số: 1; 2;....; 45, chẳng hạn bạn Bình chọn bộ số {4; 12; 20; 31; 32; 33}. Sau đó, người quản trò bốc thăm ngẫu nhiên 6 quả bóng (không hoàn lại) từ một thùng kín đựng 45 quả bóng như nhau ghi các số 1; 2; ...; 45. Bộ 6 số ghi trên 6 quả bóng đó, gọi là bộ số trúng thưởng. Nếu bộ số của người chơi trùng với 4 số của bộ số trúng thưởng thì người chơi trúng giải nhì. Tính xác suất bạn Bình trúng giải nhì khi chơi.

Lời giải:

Không gian mẫu Ω là tập hợp tất cả các tập con có 6 phần tử của tập {1; 2;....; 44; 45}.

Do đó, n(Ω) = $C_{45}^6$ .

Gọi E là biến cố: “Bạn Bình trúng giải nhì”.

E là tập hợp tất cả các tập con gồm 6 phần tử của tập {1; 2;....; 44; 45} có tính chất:

- Bốn phần tử của nó thuộc tập {4; 12; 20; 31; 32; 33};

- Hai phần tử còn lại không thuộc tập {4; 12; 20; 31; 32; 33}.

Mỗi phần tử của E được hình thành từ hai công đoạn.

Công đoạn 1: Chọn 4 phần tử trong tập {4; 12; 20; 31; 32; 33}. Có  cách chọn.

Công đoạn 2: Chọn 2 phần tử còn lại trong 39 phần tử của tập {1; 2; ....; 44; 45} \ {4; 12; 20; 31; 32; 33}. Có $C_{39}^2=741$  cách chọn.

Theo quy tắc nhân, tập E có 15 . 741 = 11 115 phần tử. Vậy n(E) = 11 115.

Vậy xác suất bạn Bình trúng giải nhì khi chơi là:

P(E) = $\frac{n\left(E\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{11115}{C_{45}^6}=\frac{11115}{8145060}\approx \mathrm{0,001365}$ .

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác: 

Giải SBT Toán 10 trang 70 Tập 2

Giải SBT Toán 10 trang 71 Tập 2

Giải SBT Toán 10 trang 72 Tập 2