Giải SBT Toán 10 trang 71 Tập 2 Kết nối tri thức

Giải SBT Toán 10 trang 71 Tập 2 Kết nối tri thức

Bài 4 trang 71 SBT Toán 10 Tập 2: Một quả bóng chày được đánh đi với vận tốc 35 m/s hợp với phương ngang một góc bằng 45° ở độ cao 1 m so với mặt sân phẳng ở chỗ vụt bóng. Bỏ qua sức cản của không khí và lấy g = 9,8 m/s².

a) Biết rằng quỹ đạo chuyển động của quả bóng chày được cho bởi phương trình:

$y=\frac{-g}{2v_0^2{\cos }^2\alpha }{x}^2+x\tan \alpha +h$,

trong đó x là quãng đường (tính bằng mét) quả bóng bay được theo phương ngang, h là độ cao của quả bóng lúc được đánh đi so với mặt đất, vận tốc ban đầu v₀ hợp với phương ngang một góc α.

Viết phương trình chuyển động của quả bóng chày.

b) Tính độ cao lớn nhất của quả bóng chày.

c) Tính tầm xa của quả bóng chày, tức là khoảng cách từ mặt đất ở chỗ đánh bóng và nơi quả bóng chạm đất (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

d) Có một hàng rào cao 4 m cách chỗ đánh bóng 125 m theo hướng đánh bóng. Hỏi quả bóng chày được đánh đi như trên có bị bay qua hàng rào đó hay không?

Lời giải:

a) Ta có: g = 9,8 m/s², α = 45°, h = 1 m, v₀ = 35 m/s.

Do đó, phương trình chuyển động của quả bóng chày là:

$y=\frac{-\mathrm{9,8}}{{2.35}^2.{\cos }^{2}45°}{x}^2+x\tan 45°+1$.

Hay y = $\frac{-1}{125}{x}^2$  + x + 1.

b) Quả bóng chày đạt độ cao lớn nhất tức là hàm số y = $\frac{-1}{125}{x}^2$  + x + 1 đạt giá trị lớn nhất.

Hàm số y = $\frac{-1}{125}{x}^2$  + x + 1 là hàm số bậc hai nên đồ thị là một parabol.

Vì hệ số a = $\frac{-1}{125}<0$ , do đó hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng tung độ đỉnh của parabol và giá trị lớn nhất này đạt được tại hoành độ đỉnh của parabol là x = $\frac{-b}{2a}=\frac{-1}{2.\frac{-1}{125}}=\mathrm{62,5}$ .

Khi đó, tung độ đỉnh y = $\frac{-1}{125}{\mathrm{.62,5}}^2+\mathrm{62,5}+1$  = 32,25.

Vậy độ cao cực đại của quả bóng chày là 32,25 m.

c) Bóng chạm đất khi y = 0.

Xét y = 0 ⇔ $\frac{-1}{125}{x}^2$  + x + 1 = 0 ⇔ x ≈ 126 hoặc x ≈ – 1 (loại).   

Vậy tầm xa của quả bóng chày là khoảng 126 m.

d) Quả bóng chày không bị bay qua hàng rào khi độ cao của quả bóng chày nhỏ hơn độ cao của hàng rào là 4 m.

Xét y < 4 ⇔ $\frac{-1}{125}{x}^2$  + x + 1 < 4 ⇔ x² – 125x + 375 > 0 ⇔ x < 3 hoặc x > 122.

Do 125 > 122.

Vậy quả bóng chày không bị bay qua hàng rào khi được đánh đi ở vị trí cách hàng rào 125 m.

Bài 5 trang 71 SBT Toán 10 Tập 2: Một công ty thời trang thấy rằng khi một loại áo phông được bán ở mức giá x (nghìn đồng) một chiếc thì số lượng áo phông bán được n cho bởi phương trình nhu cầu

n = 21 000 – 150x.

a) Tìm công thức biểu diễn doanh thu R như là hàm của giá bán x. Tìm miền xác định của hàm số R = R(x).

b) Giá bán nào sẽ làm cho doanh thu đạt cực đại? Tính doanh thu cực đại đó và số áo phông bán được trong trường hợp đó.

c) Với giá bán như thế nào thì công ty sẽ đạt được ít nhất 675 triệu đồng doanh thu?

Lời giải:

a) Công thức biểu diễn doanh thu R là:

R(x) = n . x = (21 000 – 150x). x = – 150x² + 21 000x (nghìn đồng).

Hàm số xác định khi x ≥ 0 và n ≥ 0 (số lượng áo phông) ⇔ 21 000 – 150x ≥ 0 ⇔ x ≤ 140.

Vậy miền xác định của hàm số R(x) là D = [0; 140].

b) R(x) đạt cực đại tại x = $-\frac{b}{2a}=-\frac{21000}{2.\left(-150\right)}=70$ .

Khi đó R(70) = – 150 . 70² + 21 000 . 70 = 735 000.

Vậy công ty bán với giá 70 nghìn đồng mỗi chiếc áo thì doanh thu đạt cực đại là 735 000 nghìn đồng hay chính là 735 triệu đồng.

Số áo phông bán được trong trường hợp này là: n = 21 000 – 150 . 70 = 10 500 (chiếc).

c) Ta có: 675 triệu đồng = 675 000 nghìn đồng.

Xét bất phương trình – 150x² + 21 000x ≥ 675 000

⇔ – 150x² + 21 000x – 675 000 ≥ 0

⇔ 50 ≤ x ≤ 90.

Vậy với giá bán từ 50 nghìn đồng đến 90 nghìn đồng mỗi chiếc áo thì công ty sẽ đạt được ít nhất 675 triệu đồng doanh thu.

Bài 6 trang 71 SBT Toán 10 Tập 2: Người ta ước tính rằng trong khoảng từ năm 2010 đến năm 2030, số lượng điện thoại di động bán được của một công ty có thể được xấp xỉ bởi một hàm số bậc hai. Năm 2010 công ty đó bán được khoảng 19 nghìn chiếc điện thoại di động và năm 2019 bán được khoảng 100 nghìn chiếc điện thoại di động. Giả sử t là số năm tính từ năm 2010. Số điện thoại di động bán được năm 2010 được biểu diễn bởi điểm (0; 19) và số điện thoại di động bán được năm 2019 được biểu diễn bởi điểm (9; 100). Giả sử điểm (0; 19) là đỉnh đồ thị của hàm số bậc hai này.

a) Tìm hàm số bậc hai biểu diễn số điện thoại di động công ty đó bán được qua từng năm.

b) Dựa trên mô hình này, hãy tính số điện thoại di động bán được năm 2024.

c) Dựa trên mô hình này, hãy ước lượng xem khi nào thì số điện thoại di động bán được được vượt mức 300 nghìn chiếc.

Lời giải:

a) Giả sử y = at² + bt + c (a ≠ 0) là hàm số bậc hai mô tả lượng điện thoại di động bán được qua từng năm, trong đó t là số năm tính từ năm 2010.

Từ giả thiết ta có (0; 19) là đỉnh của đồ thị hàm số nên b = 0 và c = 19.

Điểm (9; 100) thuộc đồ thị hàm số nên ta có: 100 = a . 9² + 0 . 9 + 19 ⇔ a = 1.

Vậy hàm số cần tìm là: y = t² + 19.

b) Ta có: 2024 – 2010 = 14.

Do đó năm 2024 tương ứng với t = 14.

Khi đó, số lượng điện thoại di động bán được trong năm 2024 là:

y = 14² + 19 = 215 (nghìn chiếc).

c) Xét bất phương trình t² + 19 > 300.

Bất phương trình trên tương đương với t² – 281 > 0.

Nghiệm của phương trình t² – 281 = 0 là t ≈ – 16,8; t ≈ 16,8.

Khi đó t² – 281 > 0 ⇔ t < – 16,8 hoặc t > 16,8.

Do đó t ≥ 17.

Ta có: 2010 + 17 = 2027.

Vậy từ năm 2027 trở đi (đến năm 2030) thì số điện thoại di động bán được vượt 300 nghìn chiếc. 

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác: 

Giải SBT Toán 10 trang 70 Tập 2

Giải SBT Toán 10 trang 72 Tập 2

Giải SBT Toán 10 trang 73 Tập 2