Giải SBT Toán 10 trang 72 Tập 2 Kết nối tri thức

Giải SBT Toán 10 trang 72 Tập 2 Kết nối tri thức

Bài 7 trang 72 SBT Toán 10 Tập 2: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số $y=\sqrt{x^2+2mx-2m+3}$  có tập xác định là toàn bộ tập số thực ℝ.

Lời giải:

Hàm số đã cho có tập xác định là toàn bộ tập số thực ℝ khi và chỉ khi x² + 2mx – 2m + 3 ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ.

Xét f(x) = x² + 2mx – 2m + 3 có ∆' = m² – 1 . (– 2m + 3) = m² + 2m – 3 và a = 1 > 0.

Ta có f(x) ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ ⇔ ∆' ≤ 0 ⇔ m² + 2m – 3 ≤ 0 ⇔ – 3 ≤ m ≤ 1.

Vậy – 3 ≤ m ≤ 1 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 8 trang 72 SBT Toán 10 Tập 2: Giải các phương trình chứa căn thức sau:

a) $\sqrt{3x^2-4x+1}=\sqrt{x^2-x}$ ;

b) $\sqrt{6x^2-11x-3}=2x-1$ .

Lời giải:

a) $\sqrt{3x^2-4x+1}=\sqrt{x^2-x}$

Bình phương hai vế của phương trình đã cho ta được:

3x² – 4x + 1 = x² – x

⇔ 2x² – 3x + 1 = 0

⇔ x = 1 hoặc x = $\frac{1}{2}$ .

Thử lại ta thấy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1.

b) $\sqrt{6x^2-11x-3}=2x-1$

Bình phương hai vế của phương trình đã cho ta được:

6x² – 11x – 3 = (2x – 1)²

⇔ 6x² – 11x – 3 = 4x² – 4x + 1

⇔ 2x² – 7x – 4 = 0

⇔ x = 4 hoặc x = $-\frac{1}{2}$ .

Thử lại ta thấy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 4.

Bài 9 trang 72 SBT Toán 10 Tập 2: Đội văn nghệ của một trường trung học phổ thông gồm có 5 học sinh khối lớp 10, 5 học sinh khối lớp 11 và 5 học sinh khối lớp 12. Nhà trường cần chọn một đội gồm 10 học sinh để tham gia thi văn nghệ cấp huyện. Tính số cách lập đội văn nghệ sao cho có học sinh ở cả ba khối lớp và có nhiều nhất 2 học sinh khối lớp 10.

Lời giải:

Để lập đội văn nghệ gồm 10 học sinh ở cả ba khối và có nhiều nhất 2 học sinh khối lớp 10, ta thấy có 2 trường hợp: đội văn nghệ có đúng 1 học sinh khối lớp 10 và có đúng 2 học sinh khối lớp 10.

- Trường hợp 1: Có đúng 1 học sinh khối lớp 10.

Số cách chọn 1 học sinh khối lớp 10 trong 5 học sinh khối lớp 10 là: $C_5^1$  cách.

Chọn 9 bạn còn lại ở hai khối lớp 11 và 12, số cách chọn là: $C_{10}^9$  cách.

Vậy, theo quy tắc nhân, có $C_5^1.C_{10}^9$  = 5 . 10 = 50 cách lập đội văn nghệ trong trường hợp 1.

- Trường hợp 2: Có đúng 2 học sinh khối lớp 10.

Số cách chọn 2 học sinh khối lớp 10 trong 5 học sinh khối lớp 10 là: $C_5^2$  cách.

Chọn 8 bạn còn lại ở hai khối lớp 11 và 12, số cách chọn là: $C_{10}^8$  cách.

Vậy, theo quy tắc nhân, có $C_5^2.C_{10}^8$  = 10 . 45 = 450 cách lập đội văn nghệ trong trường hợp 2.

Vì hai trường hợp rời nhau nên theo quy tắc cộng, ta có số cách lập đội văn nghệ thỏa mãn yêu cầu của đề bài là: 50 + 450 = 500 (cách).

Bài 10 trang 72 SBT Toán 10 Tập 2: Viết khai triển nhị thức Newton của (3x – 2)ⁿ, biết n là số tự nhiên thoả mãn

$A_n^2+2C_n^1=30$.

Lời giải:

Ta có: $A_n^2+2C_n^1=30$

$$\begin{gathered} \iff \frac{n!}{\left(n-2\right)!}+2.\frac{n!}{1!.\left(n-1\right)!}=30 \\ \iff \frac{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)!}{\left(n-2\right)!}+2\frac{n\left(n-1\right)!}{\left(n-1\right)!}=30 \end{gathered}$$

⇔ n(n – 1) + 2n = 30

⇔ n² + n – 30 = 0

⇔ n = 5 (thỏa mãn) hoặc n = – 6 (loại).

Vậy n = 5.

Khi đó ta có: (3x – 2)ⁿ = (3x – 2)⁵ = [3x + (– 2)⁵]

=$$\begin{gathered} C_5^0.{\left(3x\right)}^5+C_5^1.{\left(3x\right)}^4.\left(-2\right)+C_5^2.{\left(3x\right)}^3.{\left(-2\right)}^2 \\ +C_5^3.{\left(3x\right)}^2.{\left(-2\right)}^3+C_5^4.{\left(3x\right)}^1.{\left(-2\right)}^4+C_5^5.{\left(-2\right)}^5 \end{gathered}$$

= 243x⁵ – 810x⁴ + 1 080x³ – 720x² + 240x – 32.

Bài 11 trang 72 SBT Toán 10 Tập 2: Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, BC = 4.

a) Tính diện tích S của tam giác.

b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác.

Lời giải:

a) Nửa chu vi của tam giác ABC là:

p = (AB + AC + BC) : 2 = (2 + 3 + 4) : 2 = $\frac{9}{2}$  (đvđd).

Diện tích tam giác ABC là:

S =  $\sqrt{p\left(p-AB\right)\left(p-AC\right)\left(p-BC\right)}$ (công thức Hê-rông)

=  $\sqrt{\frac{9}{2}.\left(\frac{9}{2}-2\right).\left(\frac{9}{2}-3\right).\left(\frac{9}{2}-4\right)}$  = $\frac{3\sqrt{15}}{4}$  (đvdt).

b) Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC.

Ta có: $S=\frac{AB.AC.BC}{4R}$

 $\Rightarrow R=\frac{AB.AC.BC}{4S}=\frac{\mathrm{2.3.4}}{4.\frac{3\sqrt{15}}{4}}=\frac{8\sqrt{15}}{15}$ (đvđd).

Bài 12 trang 72 SBT Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai điểm A(3; 4), B(8; 6). Kẻ đường phân giác trong OD của tam giác OAB (D thuộc đoạn AB).

a) Tính OA, OB.

b) Chứng minh rằng $\overrightarrow{OD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}$ .

c) Tìm toạ độ điểm D.

Lời giải:

a) Ta có: A(3; 4), suy ra $\overrightarrow{OA}=\left(3;\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}4\right)$ , do đó OA = $\sqrt{3^2+4^2}=5$ .

B(8; 6), suy ra $\overrightarrow{OB}=\left(8;6\right)$ , do đó OB = $\sqrt{8^2+6^2}$ = 10.

b) Do OD là đường phân giác trong của tam giác OAB nên theo tính chất đường phân giác ta có: $\frac{AD}{BD}=\frac{OA}{OB}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$ .

Suy ra: BD = 2AD.

Mặt khác do D thuộc đoạn AB nên hai vectơ $\overrightarrow{AD},\overrightarrow{BD}$  ngược hướng.

Do vậy, $\overrightarrow{BD}=-2\overrightarrow{AD}$ .

Mà $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OB}$ ; $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}$ .

Từ đó ta có: $\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OB}=-2\left(\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}\right)$

$\iff 3\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$

$\iff \overrightarrow{OD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}$  (đpcm).

c) Gọi D(x; y), do $\overrightarrow{OD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}$ , suy ra: $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{2}{3}{x}_A+\frac{1}{3}{x}_B\\ y=\frac{2}{3}{y}_A+\frac{1}{3}{y}_B\end{array}\right.$ .

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=\frac{2}{3}.3+\frac{1}{3}.8=\frac{14}{3}\\ y=\frac{2}{3}.4+\frac{1}{3}.6=\frac{14}{3}\end{array}\right.$.

Vậy $D\left(\frac{14}{3};\frac{14}{3}\right)$ .

Bài 13 trang 72 SBT Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có M, N, P lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BC, AC, AB. Biết rằng M(1; 2), N(0; –1) và P(–2; 3).

a) Lập phương trình tham số của đường thẳng BC.

b) Lập phương trình tổng quát của đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Lời giải:

a) Do P và N lần lượt là trung điểm của AB và AC nên PN là đường trung bình của tam giác ABC, do đó PN // BC.

Ta có: $\overrightarrow{PN}=\left(2;-4\right)$

Do đó, một vectơ chỉ phương của đường thẳng BC là $\overrightarrow{u_{BC}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{PN}=\frac{1}{2}\left(2;-4\right)=\left(1;-2\right)$ .

Mặt khác đường thẳng BC đi qua điểm M(1; 2) (do M là trung điểm của BC).

Vậy phương trình tham số của đường thẳng BC là: $\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2-2t\end{array}\right.$ .

b) Gọi d là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Ta có d đi qua trung điểm M của BC và vuông góc với BC.

Do đó, $\overrightarrow{n_d}=\overrightarrow{u_{BC}}=\left(1;-2\right)$  là vectơ pháp tuyến của đường thẳng d.

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng d là:

1(x – 1) – 2(y – 2) = 0 hay x – 2y + 3 = 0.

Bài 14 trang 72 SBT Toán 10 Tập 2: Cho đường thẳng ∆: 3x + 4y – 25 = 0. Gọi (C) là đường tròn tâm O và tiếp xúc với ∆.

a) Viết phương trình đường tròn (C).

b) Tìm toạ độ tiếp điểm H của ∆ và (C).

Lời giải:

a) Do đường tròn (C) tiếp xúc với ∆ nên bán kính của đường tròn (C) bằng:

R = d(O, ∆) = $\frac{\left|3.0+4.0-25\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{25}{5}=5$ .

Vậy phương trình đường tròn (C) là: (x – 0)² + (y – 0)²  = 5² hay x² + y² = 25.

b) Vì ∆ tiếp xúc với (C) tại điểm H nên ta có OH ⊥ ∆. Do đó, $\overrightarrow{u_{OH}}=\overrightarrow{n_{\Delta }}=\left(3;4\right)$ .

Suy ra một vectơ pháp tuyến của đường thẳng OH là $\overrightarrow{n_{OH}}=\left(4;-3\right)$ .

Phương trình của đường thẳng OH là: 4(x – 0) – 3(y – 0) = 0 hay 4x – 3y = 0.

Vì H là giao điểm của ∆ và OH nên tọa độ của điểm H là nghiệm của hệ phương trình

$\left\{\begin{array}{l}3x+4y-25=0\\ 4x-3y=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=4\end{array}\right.$.

Vậy H(3; 4).

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác: 

Giải SBT Toán 10 trang 70 Tập 2

Giải SBT Toán 10 trang 71 Tập 2

Giải SBT Toán 10 trang 73 Tập 2