Bài 1.4 trang 16 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 11

Giải Toán lớp 11 Bài 1: Giá trị lượng giác của góc lượng giác  

Bài 1.4 trang 16 Toán 11 Tập 1: Tính các giá trị lượng giác của góc α, biết:

a) cos α = $\frac{1}{5}$ và 0 < α < $\frac{\pi }{2}$;

b) sin α = $\frac{2}{3}$ và $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$;

c) tan α = $\sqrt{5}$ và $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$;

d) cot α = $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ và $\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi$. 

Lời giải:

a) Vì 0 < α < $\frac{\pi }{2}$ nên sin α > 0. Mặt khác, từ sin² α + cos² α = 1 suy ra

$\sin \alpha =\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=\sqrt{1-{\left(\frac{1}{5}\right)}^2}=\frac{2\sqrt{6}}{5}$.

Do đó, $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{2\sqrt{6}}{5}}{\frac{1}{5}}=2\sqrt{6}$ và $\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{1}{2\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{12}$.

b) Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên cos α < 0. Mặt khác, từ sin² α + cos² α = 1 suy ra

$\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\sqrt{1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^2}=-\frac{\sqrt{5}}{3}$.

Do đó, $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{2}{3}}{-\frac{\sqrt{5}}{3}}=-\frac{2}{\sqrt{5}}=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$ và $\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{1}{-\frac{2\sqrt{5}}{5}}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$.

c) Ta có: $\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$.

Vì $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$ nên cos α < 0. Mặt khác, từ $1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$ suy ra

$\cos \alpha =-\sqrt{\frac{1}{1+{\tan }^2\alpha }}=-\sqrt{\frac{1}{1+{\left(\sqrt{5}\right)}^2}}=-\frac{\sqrt{6}}{6}$.

Mà $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\Rightarrow \sin \alpha =\tan \alpha .\cot \alpha =\sqrt{5}.\left(-\frac{\sqrt{6}}{6}\right)=-\frac{\sqrt{30}}{6}$.

d) Ta có: $\tan \alpha =\frac{1}{\cot \alpha }=\frac{1}{-\frac{1}{\sqrt{2}}}=-\sqrt{2}$.

Vì $\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi$ nên cos α > 0. Mặt khác, từ $1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$ suy ra

$\cos \alpha =\sqrt{\frac{1}{1+{\tan }^2\alpha }}=\sqrt{\frac{1}{1+{\left(-\sqrt{2}\right)}^2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Mà $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\Rightarrow \sin \alpha =\tan \alpha .\cot \alpha =-\sqrt{2}.\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=-\frac{\sqrt{6}}{3}$