Tìm đạo hàm của hàm số sau y = 5sinx – 3cosx

Với giải Bài 3 trang 169 SGK Toán lớp 11 Đại số và giải tích được biên soạn lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập môn Toán 11. Mời các bạn đón xem:

1 12,584 07/11/2024

Trang trước

Trang sau

Giải Toán 11 Bài 3: Đạo hàm của hàm số lượng giác

Bài tập 3 trang 169 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tìm đạo hàm của hàm số sau:

a) y = 5sinx – 3cosx ;

b) $y = \frac{\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x}$ ;

c) y = xcotx ;

d) $y = \frac{\sin x}{x} + \frac{x}{\sin x}$ ;

e) $y = \sqrt{1 + 2 \tan x}$ ;

f) $y = \sin \sqrt{1 + x^{2}}$ .

Lời giải:

a) y = 5sinx – 3cosx

$\Rightarrow$ y′ = 5(sinx)′ – 3(cosx)′

= 5cosx – 3(–sinx)

= 5cosx + 3sinx

Vậy y′ = 5cosx + 3sinx.

b) $y = \frac{\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x}$

$\Rightarrow y^{'} = \frac{{(\sin x + \cos x)}^{'} (\sin x - \cos x) - (\sin x + \cos x) {(\sin x - \cos x)}^{'}}{{(\sin x - \cos x)}^{2}}$

$= \frac{(\cos x - \sin x) (\sin x - \cos x) - (\sin x + \cos x) (\cos x + \sin x)}{{(\sin x - \cos x)}^{2}}$

$= \frac{2 \sin x \cos x - 1 - 1 - 2 \sin x \cos x}{{(\sin x - \cos x)}^{2}}$

$= \frac{- 2}{{(\sin x - \cos x)}^{2}}$

Vậy $y^{'} = \frac{- 2}{{(\sin x - \cos x)}^{2}}$ .

c) y = xcotx

$\Rightarrow$ y′ = (x)′cotx + x(cotx)′ $= \cot x + x (- \frac{1}{\sin^{2} x}) = \cot x - \frac{x}{\sin^{2} x}$

Vậy $y^{'} = \cot x - \frac{x}{\sin^{2} x}$ .

d) $y = \frac{\sin x}{x} + \frac{x}{\sin x}$

$\Rightarrow y^{'} = {(\frac{\sin x}{x})}^{'} + {(\frac{x}{\sin x})}^{'} = \frac{(\sin x)^{'} . x - \sin x . (x)^{'}}{x^{2}} + \frac{(x)^{'} . \sin x - x . (\sin x)^{'}}{\sin^{2} x} = \frac{x \cos x - \sin x}{x^{2}} + \frac{\sin x - x \cos x}{\sin^{2} x} = (x \cos x - \sin x) (\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{\sin^{2} x})$

Vậy $y^{'} = (x \cos x - \sin x) (\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{\sin^{2} x})$ .

e) $y = \sqrt{1 + 2 \tan x}$

$\Rightarrow y^{'} = \frac{(1 + 2 \tan x)^{'}}{2 \sqrt{1 + 2 \tan x}} = \frac{2 (\tan x)^{'}}{2 \sqrt{1 + 2 \tan x}} = \frac{(\tan x)^{'}}{\sqrt{1 + 2 \tan x}} = \frac{\frac{1}{\cos^{2} x}}{\sqrt{1 + 2 \tan x}}$

$= \frac{1}{\cos^{2} x . \sqrt{1 + 2 \tan x}}$

Vậy $y^{'} = \frac{1}{\cos^{2} x . \sqrt{1 + 2 \tan x}}$ .

f) $y = \sin \sqrt{1 + x^{2}}$

$\Rightarrow y^{'} = \cos \sqrt{1 + x^{2}} \cdot {(\sqrt{1 + x^{2}})}^{'} = \cos \sqrt{1 + x^{2}} . \frac{{(1 + x^{2})}^{'}}{2 \sqrt{1 + x^{2}}} = \cos \sqrt{1 + x^{2}} . \frac{2 x}{2 \sqrt{1 + x^{2}}} = \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cos \sqrt{1 + x^{2}}$

Vậy $y^{'} = \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cos \sqrt{1 + x^{2}}$ .

*Phương pháp giải:

Nắm chắc bảng đạo hàm đã học

*Lý thuyết:

$(\mathrm{C})^{\prime}=0$

$\left(\mathrm{x}^a\right)^{\prime}=a \cdot \mathrm{x}^{a-1}$ với $a \in \mathrm{R}$

$\left(\mathrm{u}^a\right)^{\prime}=a \cdot \mathrm{u}^{a-1} \cdot \mathrm{u}^{\prime}$ với $a \in \mathrm{R}$

$(\sqrt{\mathrm{x}})^{\prime}=\frac{1}{2 \sqrt{\mathrm{x}}}$

$\left(\frac{1}{\mathrm{x}}\right)^{\prime}=-\frac{1}{\mathrm{x}^2}$

$(\sqrt{\mathrm{u}})^{\prime}=\frac{\mathrm{u}^{\prime}}{2 \sqrt{\mathrm{u}}}$

$\left(\frac{1}{\mathrm{u}}\right)^{\prime}=-\frac{\mathrm{u}^{\prime}}{\mathrm{u}^2}$

$(\sqrt[n]{x})^{\prime}=\frac{1}{n \sqrt[n]{x^{n-1}}} \quad n \in N^*, n>1$

$(\sqrt[n]{u})^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{n \sqrt[n]{u^{n-1}}} \quad n \in N^*, n>1$

$(\operatorname{Sin} x)^{\prime}=\operatorname{Cos} x$

$(\operatorname{Sin} u)^{\prime}=u^{\prime} \cdot \operatorname{Cos} u$

$(\operatorname{Cos} x)^{\prime}=-\operatorname{Sin} x$

$(\operatorname{Cos} u)^{\prime}=-u^{\prime} \cdot \operatorname{Sin} u$

$(\tan x)^{\prime}=1+\tan ^2 x=\frac{1}{\cos ^2 x}$

$(\tan u)^{\prime}=u^{\prime} .\left(1+\tan ^2 u\right)=\frac{u^{\prime}}{\operatorname{Cos}^2 u}$

$(\operatorname{Cot} x)^{\prime}=-\left(1+\operatorname{Cot}^2 x\right)=-\frac{1}{\operatorname{Sin}^2 x}$

$(\operatorname{Cot} u)^{\prime}=-u^{\prime} \cdot\left(1+\operatorname{Cot}^2 u\right)=-\frac{u^{\prime}}{\operatorname{Sin}^2 u}$

$\left(e^x\right)^{\prime}=e^x$

$\left(e^u\right)^{\prime}=u^{\prime} \cdot e^u$

$\left(a^x\right)^{\prime}=a^x \cdot \ln a$

$\left(a^u\right)^{\prime}=u^{\prime} \cdot a^u \cdot \ln a$

$(\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x}$

$(\ln u)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{u}$

$\left(\log _a x\right)^{\prime}=\frac{1}{x.\ln a}$

$\left(\log _a u\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{u \cdot \ln a}$

$\left(\frac{\mathrm{ax}+\mathrm{b}}{\mathrm{cx}+\mathrm{d}}\right)^{\prime}=\frac{\mathrm{ad}-\mathrm{bc}}{(\mathrm{cx}+\mathrm{d})^2}$

$\left(\frac{\mathrm{ax}{ }^2+\mathrm{bx}+\mathrm{c}}{\mathrm{ex}+\mathrm{f}}\right)^{\prime}=\frac{\mathrm{aex}^2+2 \mathrm{af} \cdot \mathrm{x}+(\mathrm{bf}-\mathrm{ce})}{(\mathrm{ex}+\mathrm{f})^2}$