Chứng minh rằng các hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc x

Với giải Bài 6 trang 169 SGK Toán lớp 11 Đại số và giải tích được biên soạn lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập môn Toán 11. Mời các bạn đón xem:

1 3,601 16/09/2022

Trang trước

Trang sau

Giải Toán 11 Bài 3: Đạo hàm của hàm số lượng giác

Bài tập 6 trang 169 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh rằng các hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc x:

a) y = sin⁶x + cos⁶x + 3sin²x.cos²x;

b) $y = \cos^{2} (\frac{π}{3} - x) + \cos^{2} (\frac{π}{3} + x) + \cos^{2} (\frac{2 π}{3} - x) + \cos^{2} (\frac{2 π}{3} + x) - 2 \sin^{2} x$ .

Lời giải:

a) y = sin⁶x + cos⁶x + 3sin²x.cos²x

Ta có:

y′ = (sin⁶x)′ + (cos⁶x)′ + (3sin²xcos²x)′

= 6sin⁵x(sinx)′ + 6cos⁵x(cosx)′ + 3.[(sin²x)′cos²x + sin²x(cos²x)′]

= 6sin⁵xcosx + 6cos⁵x(−sinx) +3[2sinxcosxcos²x + sin²x.2cosx(−sinx)]

= 6sin⁵xcosx − 6cos⁵xsinx + 6sinxcos³x − 6cosxsin³x

= (6sin⁵xcosx − 6cosxsin³x) + 6sinxcos³x − 6cos⁵xsinx

= 6sin³xcosx(sin²x − 1) + 6sinxcos³x(1 − cos²x)

= 6sin³xcosx.(−cos²x) + 6sinxcos³xsin²x

= −6sin³xcos³x + 6sin³xcos³x

= 0

$\Rightarrow$ y′ = 0, $\forall x$

Vậy y′ = 0 với mọi x, tức là y′ không phụ thuộc vào x.

Cách khác:

sin⁶x + cos⁶x = (sin²x)³ + (cos²x)³

= (sin²x + cos²x)³ − 3sin²xcos²x(sin²x + cos²x)

= 13 − 3sin²xcos²x.1

= 1 − 3sin²xcos²x

$\Rightarrow$ y = sin⁶x + cos⁶x + 3sin²xcos²x = 1

$\Rightarrow$ y′ = (1)′ = 0

Vậy y′ = 0 với mọi x, tức là y′ không phụ thuộc vào x.

b) $y = \cos^{2} (\frac{π}{3} - x) + \cos^{2} (\frac{π}{3} + x) + \cos^{2} (\frac{2 π}{3} - x) + \cos^{2} (\frac{2 π}{3} + x) - 2 \sin^{2} x$

$= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (\frac{2 π}{3} - 2 x) + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (\frac{2 π}{3} + 2 x) + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (\frac{4 π}{3} - 2 x) + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (\frac{4 π}{3} + 2 x) - 2 \cdot \frac{1 - \cos 2 x}{2} = 1 + \frac{1}{2} \cos (\frac{2 π}{3} - 2 x) + \frac{1}{2} \cos (\frac{2 π}{3} + 2 x) + \frac{1}{2} \cos (\frac{4 π}{3} - 2 x) + \frac{1}{2} \cos (\frac{4 π}{3} + 2 x) + \cos 2 x$

Do đó $y^{'} = \frac{1}{2} \cdot (- 2) \cdot [- \sin (\frac{2 π}{3} - 2 x)] + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot [- \sin (\frac{2 π}{3} + 2 x)]$

$+ \frac{1}{2} \cdot (- 2) \cdot [- \sin (\frac{4 π}{3} - 2 x)] + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot [- \sin (\frac{4 π}{3} + 2 x)] - 2 \sin 2 x = \sin (\frac{2 π}{3} - 2 x) - \sin (\frac{2 π}{3} + 2 x) + \sin (\frac{4 π}{3} - 2 x) - \sin (\frac{4 π}{3} + 2 x) - 2 \sin 2 x = 2 \cos \frac{2 π}{3} \cdot \sin (- 2 x) + 2 \cos \frac{4 π}{3} \cdot \sin (- 2 x) - 2 \sin 2 x$

= sin2x + sin2x – 2sin2x = 0

(Vì $\cos \frac{2 π}{3} = \cos = - \frac{1}{2}$ )

Vậy y′ = 0 với mọi x, do đó y′ không thuộc vào x.

Cách khác:

$y = 1 + \frac{1}{2} [\cos (\frac{2 π}{3} - 2 x) + \cos (\frac{4 π}{3} - 2 x)] + \frac{1}{2} [\cos (\frac{2 π}{3} + 2 x) + \cos (\frac{4 π}{3} + 2 x)] + \cos 2 x = 1 + \frac{1}{2} \cdot 2 \cos (π - 2 x) \cos \frac{π}{3} + \frac{1}{2} \cdot 2 \cos (π + 2 x) \cos \frac{π}{3} + \cos 2 x = 1 - \cos 2 x \cdot \frac{1}{2} - \cos 2 x \cdot \frac{1}{2} + \cos 2 x = 1 - \cos 2 x + \cos 2 x = 1 \Rightarrow y = 1, \forall x \Rightarrow y^{'} = 0, \forall x$

Vậy y′ = 0 với mọi x, do đó y′ không thuộc vào x.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 hay, chi tiết khác:

Hoạt động 1 trang 163 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tính ... bằng máy tính bỏ túi.

Hoạt động 2 trang 165 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tìm đạo hàm của hàm số...

Hoạt động 3 trang 166 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tìm đạo hàm của hàm số...

Hoạt động 4 trang 167 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tìm đạo hàm của hàm số...

Bài tập 1 trang 168 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tìm đạo hàm của hàm số sau...

Bài tập 2 trang 168 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các bất phương trình sau...

Bài tập 3 trang 169 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tìm đạo hàm của hàm số sau...

Bài tập 4 trang 169 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tìm các đạo hàm của các hàm số sau...

Bài tập 5 trang 169 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tính..., biết rằng f(x) = x² và

Bài tập 7 trang 169 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải phương trình f′(x) = 0, biết rằng...

Bài tập 8 trang 169 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải bất phương trình f′(x) > g′(x). biết rằng...

1 3,601 16/09/2022

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác:

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Giáo án lớp 1

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đề thi các môn lớp 2

Đề thi các môn lớp 2 - Kết nối tri thức

Đề thi các môn lớp 2 - Cánh diều

Đề thi các môn lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Giáo án lớp 2

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3