Chứng minh rằng các hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc x

Giải Toán 11 Bài 3: Đạo hàm của hàm số lượng giác

Bài tập 6 trang 169 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh rằng các hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc x:

a) y = sin⁶x + cos⁶x + 3sin²x.cos²x;

b) $y={\cos }^2\left(\frac{\pi }{3}-x\right)+{\cos }^2\left(\frac{\pi }{3}+x\right)+{\cos }^2\left(\frac{2\pi }{3}-x\right)+{\cos }^2\left(\frac{2\pi }{3}+x\right)-2{\sin }^{2}x$.

Lời giải:

a) y = sin⁶x + cos⁶x + 3sin²x.cos²x

Ta có:

y′ = (sin⁶x)′ + (cos⁶x)′ + (3sin²xcos²x)′

= 6sin⁵x(sinx)′ + 6cos⁵x(cosx)′ + 3.[(sin²x)′cos²x + sin²x(cos²x)′]

= 6sin⁵xcosx + 6cos⁵x(−sinx) +3[2sinxcosxcos²x + sin²x.2cosx(−sinx)]

= 6sin⁵xcosx − 6cos⁵xsinx + 6sinxcos³x − 6cosxsin³x

= (6sin⁵xcosx − 6cosxsin³x) + 6sinxcos³x − 6cos⁵xsinx

= 6sin³xcosx(sin²x − 1) + 6sinxcos³x(1 − cos²x)

= 6sin³xcosx.(−cos²x) + 6sinxcos³xsin²x

= −6sin³xcos³x + 6sin³xcos³x

= 0

$\Rightarrow$ y′ = 0,$\forall x$

Vậy y′ = 0 với mọi x, tức là y′ không phụ thuộc vào x.

Cách khác:

sin⁶x + cos⁶x = (sin²x)³ +  (cos²x)³

= (sin²x + cos²x)³ − 3sin²xcos²x(sin²x + cos²x)

= 13 − 3sin²xcos²x.1

= 1 − 3sin²xcos²x

$\Rightarrow$ y = sin⁶x + cos⁶x + 3sin²xcos²x = 1

$\Rightarrow$ y′ = (1)′ = 0

Vậy y′ = 0 với mọi x, tức là y′ không phụ thuộc vào x.

b)$y={\cos }^2\left(\frac{\pi }{3}-x\right)+{\cos }^2\left(\frac{\pi }{3}+x\right)+{\cos }^2\left(\frac{2\pi }{3}-x\right)+{\cos }^2\left(\frac{2\pi }{3}+x\right)-2{\sin }^{2}x$

$$\begin{gathered} =\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos \left(\frac{2\pi }{3}-2x\right)+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos \left(\frac{2\pi }{3}+2x\right)+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos \left(\frac{4\pi }{3}-2x\right)+\frac{1}{2} \\ +\frac{1}{2}\cos \left(\frac{4\pi }{3}+2x\right)-2\cdot \frac{1-\cos 2x}{2} \\ =1+\frac{1}{2}\cos \left(\frac{2\pi }{3}-2x\right)+\frac{1}{2}\cos \left(\frac{2\pi }{3}+2x\right)+\frac{1}{2}\cos \left(\frac{4\pi }{3}-2x\right)+\frac{1}{2}\cos \left(\frac{4\pi }{3}+2x\right)+\cos 2x \end{gathered}$$

Do đó $y^{\text{'}}=\frac{1}{2}\cdot (-2)\cdot \left[-\sin \left(\frac{2\pi }{3}-2x\right)\right]+\frac{1}{2}\cdot 2\cdot \left[-\sin \left(\frac{2\pi }{3}+2x\right)\right]$

$$\begin{gathered} +\frac{1}{2}\cdot (-2)\cdot \left[-\sin \left(\frac{4\pi }{3}-2x\right)\right]+\frac{1}{2}\cdot 2\cdot \left[-\sin \left(\frac{4\pi }{3}+2x\right)\right]-2\sin 2x \\ =\sin \left(\frac{2\pi }{3}-2x\right)-\sin \left(\frac{2\pi }{3}+2x\right)+\sin \left(\frac{4\pi }{3}-2x\right)-\sin \left(\frac{4\pi }{3}+2x\right)-2\sin 2x \\ =2\cos \frac{2\pi }{3}\cdot \sin (-2x)+2\cos \frac{4\pi }{3}\cdot \sin (-2x)-2\sin 2x \end{gathered}$$

= sin2x + sin2x – 2sin2x = 0

(Vì $\cos \frac{2\pi }{3}=\cos =-\frac{1}{2}$)

Vậy y′ = 0 với mọi x, do đó y′ không thuộc vào x.

Cách khác:

$$\begin{gathered} y=1+\frac{1}{2}\left[\cos \left(\frac{2\pi }{3}-2x\right)+\cos \left(\frac{4\pi }{3}-2x\right)\right] \\ +\frac{1}{2}\left[\cos \left(\frac{2\pi }{3}+2x\right)+\cos \left(\frac{4\pi }{3}+2x\right)\right]+\cos 2x \\ =1+\frac{1}{2}\cdot 2\cos (\pi -2x)\cos \frac{\pi }{3}+\frac{1}{2}\cdot 2\cos (\pi +2x)\cos \frac{\pi }{3}+\cos 2x \\ =1-\cos 2x\cdot \frac{1}{2}-\cos 2x\cdot \frac{1}{2}+\cos 2x \\ =1-\cos 2x+\cos 2x=1 \\ \Rightarrow y=1,\forall x \\ \Rightarrow y^{\text{'}}=0,\forall x \end{gathered}$$

Vậy y′ = 0 với mọi x, do đó y′ không thuộc vào x.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 hay, chi tiết khác:

Hoạt động 1 trang 163 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tính ... bằng máy tính bỏ túi.

Hoạt động 2 trang 165 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tìm đạo hàm của hàm số...

Hoạt động 3 trang 166 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tìm đạo hàm của hàm số...

Hoạt động 4 trang 167 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tìm đạo hàm của hàm số...

Bài tập 1 trang 168 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tìm đạo hàm của hàm số sau...

Bài tập 2 trang 168 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các bất phương trình sau...

Bài tập 3 trang 169 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tìm đạo hàm của hàm số sau...

Bài tập 4 trang 169 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tìm các đạo hàm của các hàm số sau...

Bài tập 5 trang 169 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tính..., biết rằng f(x) = x² và

Bài tập 7 trang 169 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải phương trình f′(x) = 0, biết rằng...

Bài tập 8 trang 169 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải bất phương trình f′(x) > g′(x). biết rằng...