Sách bài tập Toán 10 (Chân trời sáng tạo): Bài tập cuối chương 5

Giải sách bài tập Toán lớp 10 Bài tập cuối chương 5 - Chân trời sáng tạo

Giải SBT Toán 10 trang 101 Tập 1

A. Trắc nghiệm

Bài 1 trang 101 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3, BC = 4. Độ dài của vectơ $\overrightarrow{\text{AC}}$ là:

A. 5;

B. 6;

C. 7;

D. 9.

Lời giải:

Đáp án đúng là A

Chọn đáp án A.

Bài 2 trang 101 SBT Toán 10 Tập 1: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O. Số các vectơ bằng vectơ $\overrightarrow{\text{OC}}$ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là:

A. 2;

B. 3;

C. 4;

D. 6.

Lời giải:

Đáp án đúng là A

Các vectơ bằng vectơ $\overrightarrow{\text{OC}}$ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là: $\overrightarrow{\text{AB}}$, $\overrightarrow{\text{ED}}$.

Vậy có 2 vectơ thỏa mãn yêu cầu.

Bài 3 trang 101 SBT Toán 10 Tập 1: Cho ba điểm A, B, C. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng là C

Theo quy tắc ba điểm ta có: $\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{CA}}=\overrightarrow{\text{CB}}$.

Như vậy khẳng định C đúng. Khẳng định A, B, D sai.

Bài 4 trang 101 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hai điểm phân biệt A và B. Điều kiện để điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB là:

Lời giải:

Đáp án đúng là C

I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi $\overrightarrow{\text{IA}}$ + $\overrightarrow{\text{IB}}$ = 0 hay $\overrightarrow{\text{IA}}=-\overrightarrow{\text{IB}}$.

Vậy chọn đáp án C.

Bài 5 trang 101 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm và I là trung điểm của đoạn thẳng BC. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng là C

Ta có:

$\overrightarrow{\text{GA}}=-2\overrightarrow{\text{GI}}$. Khẳng định A sai.

$\overrightarrow{\text{IG}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\text{IA}}$. Khẳng định B sai.

I là trung điểm của BC nên $\overrightarrow{\text{GB}}+\overrightarrow{\text{GC}}=2\overrightarrow{\text{GI}}=-\overrightarrow{\text{GA}}$. Khẳng định C đúng. Khẳng định D sai.

Vậy chọn đáp án C.

Giải SBT Toán 10 trang 102 Tập 1

Bài 6 trang 102 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng là A

Ta có:

( vì ). Vậy khẳng định A đúng. Khẳng định C sai.

Ta có: . Do đó khẳng định B sai.

Ta lại có: . Do đó khẳng định D sai.

Vậy chọn đáp án A.

Bài 7 trang 102 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Đặt $\overrightarrow{\text{a}}=\overrightarrow{\text{BC}}$, $\overrightarrow{\text{b}}=\overrightarrow{\text{AC}}\text{}$. Các cặp vectơ nào sau đây cùng phương? 

Lời giải:

Đáp án đúng là C

Ta có thể thấy:

Như vậy  và  là cặp vectơ cùng phương.

Bài 8 trang 102 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông ở A và có $\widehat{\text{B}}$ = 50°. Khẳng định nào sau đây là sai?

Lời giải:

Đáp án đúng là D

Ta có: $\left(\overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{BC}}\right)=\left(-\overrightarrow{\text{BA}},\overrightarrow{\text{BC}}\right)=-\left(\overrightarrow{\text{BA}},\overrightarrow{\text{BC}}\right)$ là góc kề bù với $\widehat{\text{ABC}}$ 

⇒ $\left(\overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{BC}}\right)$ = 180° – 50° = 130°. Khẳng định A đúng.

$\left(\overrightarrow{\text{BC}},\overrightarrow{\text{AC}}\right)$ = $\left(\overrightarrow{\text{CB}},\overrightarrow{\text{CA}}\right)$ = $\widehat{\text{ACB}}$ = 90° – 50° = 40°. Khẳng định B đúng.

$\left(\overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{CB}}\right)$ = $\left(\overrightarrow{\text{BA}},\overrightarrow{\text{BC}}\right)$ = $\widehat{\text{ABC}}$ = 50°. Khẳng định C đúng.

$\left(\overrightarrow{\text{AC}},\overrightarrow{\text{CB}}\right)=\left(-\overrightarrow{\text{CA}},\overrightarrow{\text{CB}}\right)=-\left(\overrightarrow{\text{CA}},\overrightarrow{\text{CB}}\right)$ là góc kề bù với $\widehat{\text{ACB}}$ 

⇒ $\left(\overrightarrow{\text{AC}},\overrightarrow{\text{CB}}\right)$ = 180° – 40° = 140°. Khẳng định D sai.

Vậy chọn đáp án D.

Bài 9 trang 102 SBT Toán 10 Tập 1: Cho $\overrightarrow{\text{a}}$ và $\overrightarrow{\text{b}}$ là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ $\overrightarrow{0}$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng là A

Ta có:

Do $\overrightarrow{\text{a}}$ và $\overrightarrow{\text{b}}$ là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ $\overrightarrow{\text{0}}$ nên  = cos0° = 1.

Vậy . Đáp án A đúng.

Bài 10 trang 102 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Khẳng định nào sau đây là sai?

Lời giải:

Đáp án đúng là D

Do AB ⊥ AC nên 

Ta lại có (vì $\widehat{B}$ là góc nhọn nên cos$\widehat{B}$ > 0). Do đó $\overrightarrow{\text{AB}}.\overrightarrow{\text{AC}}<\overrightarrow{\text{BA}}.\overrightarrow{\text{BC}}\text{}$.

Khẳng định A đúng.

$\left(\overrightarrow{\text{AC}},\overrightarrow{\text{CB}}\right)=\left(-\overrightarrow{\text{CA}},\overrightarrow{\text{CB}}\right)=-\left(\overrightarrow{\text{CA}},\overrightarrow{\text{CB}}\right)$ là góc tù nên $\overrightarrow{\text{AC}}.\overrightarrow{\text{CB}}=\overrightarrow{\left|\text{AC}\right|}.\left|\overrightarrow{\text{CB}}\right|.\cos \left(\overrightarrow{\text{AC}}.\overrightarrow{\text{CB}}\right)$ < 0;

$\left(\overrightarrow{\text{AC}}.\overrightarrow{\text{BC}}\right)$ là góc nhọn nên $\overrightarrow{\text{AC}}.\overrightarrow{\text{BC}}=\left|\overrightarrow{\text{AC}}\right|.\overrightarrow{\left|\text{BC}\right|}.\cos \left(\overrightarrow{\text{AC}}.\overrightarrow{\text{BC}}\right)$> 0. Suy ra $\overrightarrow{\text{AC}}.\overrightarrow{\text{CB}}<\overrightarrow{\text{AC}}.\overrightarrow{\text{BC}}\text{}$. Khẳng định B đúng.

$\left(\overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{BC}}\right)=\left(-\overrightarrow{BA},\overrightarrow{\text{BC}}\right)=-\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{\text{BC}}\right)$ là góc tù nên $\overrightarrow{\text{AB}}.\overrightarrow{\text{BC}}$ < 0; $\left(\overrightarrow{\text{CA}}.\overrightarrow{\text{CB}}\right)$ là góc nhọn nên $\overrightarrow{\text{CA}}.\overrightarrow{\text{CB}}$ > 0. Suy ra $\overrightarrow{\text{AB}}.\overrightarrow{\text{BC}}<\overrightarrow{\text{CA}}.\overrightarrow{\text{CB}}$. Khẳng định C đúng.

$\left(\overrightarrow{\text{AC}}.\overrightarrow{\text{BC}}\right)$ là góc nhọn nên $\overrightarrow{\text{AC}}.\overrightarrow{\text{BC}}$ > 0; $\left(\overrightarrow{\text{BC}}.\overrightarrow{\text{AB}}\right)$ là góc tù nên $\overrightarrow{\text{BC}}.\overrightarrow{\text{AB}}$ < 0. Suy ra $\overrightarrow{\text{AC}}.\overrightarrow{\text{BC}}>\overrightarrow{\text{BC}}.\overrightarrow{\text{AB}}$.

Khẳng định D sai.

Vậy chọn đáp án D.

B. Tự luận

Bài 1 trang 102 SBT Toán 10 Tập 1: Cho ba điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng. Trong trường hợp nào thì hai vectơ $\overrightarrow{\text{AB}}$ và $\overrightarrow{\text{AC}}$:

a) cùng hướng?

b) ngược hướng?

Lời giải:

a) Hai vectơ $\overrightarrow{\text{AB}}$ và $\overrightarrow{\text{AC}}$ cùng hướng khi B nằm giữa A và C.

b) Hai vectơ $\overrightarrow{\text{AB}}$ và $\overrightarrow{\text{AC}}$ ngược hướng khi A nằm giữa B và C.

Bài 2 trang 102 SBT Toán 10 Tập 1: Cho ba vectơ  cùng phương. Chứng tỏ rằng có ít nhất hai vectơ cùng hướng trong ba vectơ đó.

Lời giải:

Trong ba vectơ  chọn hai vectơ tùy ý:

- Nếu chúng cùng hướng thì đó là hai vectơ cần tìm.

- Nếu chúng ngược hướng thì vectơ còn lại sẽ cùng hướng với một trong hai vectơ đã chọn.

Bài 3 trang 102 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Gọi H là trực tâm tam giác ABC và B’ là điểm đối xứng với B qua tâm O. Hãy so sánh các vectơ $\overrightarrow{\text{AH}}$ và $\overrightarrow{\text{B'C}}$, $\overrightarrow{\text{AB'}}$ và $\overrightarrow{\text{HC}}$.

Lời giải:

Do BB’ là đường kính nên $\widehat{\text{BCB'}}$ = 90° ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )

⇒ BC ⊥ B’C.

H là trực tâm tam giác ABC nên BC ⊥ AH.

Suy ra AH // B’C ( do đều vuông góc với BC ).

Do BB’ là đường kính nên $\widehat{\text{BAB'}}$= 90° ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )

⇒ BA ⊥ B’A.

H là trực tâm tam giác ABC nên CH ⊥ BA.

Suy ra CH // B’A ( do đều vuông góc với BA ).

Như vậy AB’CH là hình bình hành ( DHNB hình bình hành )

Giải SBT Toán 10 trang 103 Tập 1

Bài 4 trang 103 SBT Toán 10 Tập 1: Chứng minh rằng với hai vectơ không cùng phương $\overrightarrow{\text{a}}$ và $\overrightarrow{\text{b}}$, ta có:

Vẽ ba điểm O, A, B sao cho . Ta có 

Trong tam giác OAB ta có bất đẳng thức:

$\left|\text{OA}-\text{AB}\right|$ ≤ OB ≤ OA + AB

Suy ra  $\overrightarrow{\left|\text{a}\right|}-\overrightarrow{\left|\text{b}\right|}<\left|\overrightarrow{\text{a}}+\overrightarrow{\text{b}}\right|<\overrightarrow{\left|\text{a}\right|}+\overrightarrow{\left|\text{b}\right|}$.

Bài 5 trang 103 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình ngũ giác đều ABCDE tâm O. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{\text{OA}}+\overrightarrow{\text{OB}}+\overrightarrow{\text{OC}}+\overrightarrow{\text{OD}}+\overrightarrow{\text{OE}}=\overrightarrow{0}$.

Lời giải:

Đặt $\overrightarrow{\text{u}}$ = $\overrightarrow{\text{OA}}+\overrightarrow{\text{OB}}+\overrightarrow{\text{OC}}+\overrightarrow{\text{OD}}+\overrightarrow{\text{OE}}$

Ta có: $\overrightarrow{\text{u}}$ = $\overrightarrow{\text{OA}}+\left(\overrightarrow{\text{OB}}+\overrightarrow{\text{OE}}\right)+\left(\overrightarrow{\text{OC}}+\overrightarrow{\text{OD}}\right)$

Do OA nằm trên đường phân giác của $\widehat{\text{BOE}}$ và $\widehat{\text{DOC}}$ của hai tam giác cân BOE và DOC nên ta có các vectơ $\left(\overrightarrow{\text{OB}}+\overrightarrow{\text{OE}}\right)$ và $\left(\overrightarrow{\text{OC}}+\overrightarrow{\text{OD}}\right)$ nằm trên đường thẳng OA, suy ra $\overrightarrow{\text{u}}$ nằm trên đường thẳng OA.

Chứng minh tương tự ta có $\overrightarrow{\text{u}}$ cũng đồng thời nằm trên đường thẳng OB. Như vậy $\overrightarrow{\text{u}}$ = $\overrightarrow{\text{0}}$

Vậy  

Bài 6 trang 103 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC, gọi A’ là điểm đối xứng với B qua A, gọi B’ là điểm đối xứng với C qua B, gọi C’ là điểm đối xứng với A qua C. Chứng minh rằng với một điểm O tùy ý, ta có: $\overrightarrow{\text{OA}}+\overrightarrow{\text{OB}}+\overrightarrow{\text{OC}}=\overrightarrow{\text{OA'}}+\overrightarrow{\text{OB'}}+\overrightarrow{\text{OC'}}$.

Lời giải:

A’ là điểm đối xứng với B qua A nên $\overrightarrow{\text{AB}}$ = $\overrightarrow{\text{AA'}}$.

B’ là điểm đối xứng với C qua B nên $\overrightarrow{\text{BC}}$ = $\overrightarrow{\text{BB'}}$.

C’ là điểm đối xứng với A qua C nên $\overrightarrow{\text{CA}}$ = $\overrightarrow{\text{CC'}}$.

Ta có:

Vậy $\overrightarrow{\text{OA}}+\overrightarrow{\text{OB}}+\overrightarrow{\text{OC}}=\overrightarrow{\text{OA'}}+\overrightarrow{\text{OB'}}+\overrightarrow{\text{OC'}}$.

Bài 7 trang 103 SBT Toán 10 Tập 1: Tam giác ABC là tam giác gì nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện sau đây?

a) $\left|\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}\right|=\left|\overrightarrow{\text{AB}}-\overrightarrow{\text{AC}}\right|$;

b) Vectơ $\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}$ vuông góc với vectơ $\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{CA}}$.

Lời giải:

a) Gọi M là trung điểm BC ta có:

Khi đó tam giác ABC vuông tại A.

b) Vectơ $\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}\text{}$vuông góc với vectơ $\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{CA}}$ ⇔ $\left(\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}\text{}\right)$.$\left(\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{CA}}\right)$ = $\overrightarrow{\text{0}}$

hay $\left(\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}\text{}\right)$.$\left(\overrightarrow{\text{AB}}-\overrightarrow{\text{AC}}\text{}\right)$ = $\overrightarrow{\text{0}}$.

Suy ra AB²  – AC² = 0 hay AB = AC. Khi đó tam giác ABC cân tại A.

Vậy Vectơ $\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}\text{}$ vuông góc với vectơ $\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{CA}}\text{}$ khi tam giác ABC cân tại A.

Bài 8 trang 103 SBT Toán 10 Tập 1: Tứ giác ABCD là tứ giác gì nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện sau đây?

a) $\overrightarrow{\text{AC}}-\overrightarrow{\text{BC}}=\overrightarrow{\text{DC}}$;

b) $\overrightarrow{\text{DB}}=\text{k}\overrightarrow{\text{DC}}+\overrightarrow{\text{DA}}$.

Lời giải:

a) ⇒ ABCD là hình bình hành.

b) 

Như vậy ta có ABCD là hình thang.

Bài 9 trang 103 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC, trên cạnh AB lấy hai điểm M, N sao cho AM = MN = NB. Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNC có cùng trọng tâm.

Lời giải:

Ta có: MA = NB và hai vectơ $\text{}\overrightarrow{\text{MA}}$, $\overrightarrow{\text{NB}}$ cùng phương, ngược chiều ⇒ $\text{}\overrightarrow{\text{MA}}$ + $\overrightarrow{\text{NB}}$ = $\overrightarrow{\text{0}}$

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.

Ta có: 

Vậy G cũng là trọng tâm tam giác MNC.

Vậy hai tam giác ABC và MNC có cùng trọng tâm.

Bài 10 trang 103 SBT Toán 10 Tập 1: Cho ba điểm O, M, N và số thực k. Lấy các điểm M’ và N’ sao cho $\overrightarrow{\text{OM'}}=\text{k}\overrightarrow{\text{OM}}$, $\overrightarrow{\text{ON'}}=\text{k}\overrightarrow{\text{ON}}$. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{\text{M'N'}}=\text{k}\overrightarrow{\text{MN}}$.

Lời giải:

Ta có:

Vậy .

Bài 11 trang 103 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC, O là điểm sao cho ba vectơ có độ dài bằng nhau và . Tính các góc $\widehat{\text{AOB}}$, $\widehat{\text{BOC}}$, $\widehat{\text{COA}}$.

Lời giải:

Ta có OA = OB = OC nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Lại có  nên O cũng là trọng tâm tam giác ABC.

Suy ra ABC là tam giác đều ( vì tâm đường tròn ngoại tiếp và trọng tâm trùng nhau).

⇒ AB = BC = CA.

Như vậy $\widehat{\text{AOB}}$ = $\widehat{\text{BOC}}$= $\widehat{\text{COA}}$ = $\frac{360°}{3}$ = 120° ( vì đều là góc ở tâm chắn các cung bằng nhau ).

Bài 12 trang 103 SBT Toán 10 Tập 1: Cho ngũ giác ABCDE. Gọi M, N, P, Q, R lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE, EA. Chứng minh hai tam giác EMP và NQR có cùng trọng tâm.

Lời giải:

Gọi G là trọng tâm tam giác NRQ, ta có 

N là trung điểm của AB nên 

Tương tự ta có: và 

( Do M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD nên 

và

Suy ra G cũng là trọng tâm tam giác EMP.

Vậy hai tam giác EMP và NQR có cùng trọng tâm.

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 4

Bài 1: Khái niệm vectơ

Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ

Bài 3: Tích của một số với một vectơ

Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ

Xem thêm tài liệu Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài tập cuối chương 5