Sách bài tập Toán 10 (Chân trời sáng tạo) Bài tập cuối chương 9

Giải sách bài tập Toán lớp 10 Bài tập cuối chương 9 - Chân trời sáng tạo

Giải SBT Toán 10 trang 77 Tập 2

Câu 1 trang 77 SBT Toán 10 Tập 2: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ = (4; 3) và $\overrightarrow{b}$ = (1; 7). Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$  và $\overrightarrow{b}$  là:

A. 90°;

B. 60°;

C. 45^o;

D. 30^o.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có  $\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=\frac{4.1+3.7}{\sqrt{4^2+3^2}.\sqrt{1^2+7^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Vậy $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$  = 45^o.

Câu 2 trang 77 SBT Toán 10 Tập 2: Cho hai điểm M = (1; – 2) và N = (– 3; 4). Khoảng cách giữa hai điểm M và N là:

A. 4;

B. 6;

C. $3\sqrt{6}$ ;

D. $2\sqrt{13}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có MN = $\sqrt{{\left(x_N-x_M\right)}^2+{\left(y_N-y_M\right)}^2}$  = $\sqrt{{\left(-3-1\right)}^2+{\left(4+2\right)}^2}=2\sqrt{13}$ .

Câu 3 trang 77 SBT Toán 10 Tập 2: Tam giác ABC có A = (– l; 1); B = (1; 3) và C = (1; –1).

Trong các phát biểu sau đây, phát biểu nào đúng?

A. ABC là tam giác có ba cạnh bằng nhau;

B. ABC là tam giác có ba góc đều nhọn;

C. ABC là tam giác cân tại B (có BA = BC);

D. ABC là tam giác vuông cân tại A.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Xét tam giác ABC có:

$\overrightarrow{AB}=\left(2;2\right)$ ⇒ AB = $\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$ ;

$\overrightarrow{BC}=\left(0;-4\right)$ ⇒ BC = $\sqrt{0^2+4^2}=4$

$\overrightarrow{AC}=\left(2;-2\right)$ ⇒ AC = $\sqrt{2^2+{\left(-2\right)}^2}=2\sqrt{2}$

Phát biểu A, C sai

Ta có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=2.2+2.(-2)=0$

⇒ $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$  = 90^o  $\Rightarrow$ $\widehat{A}$ = 90^o

Vậy tam giác ABC vuông cân tại A. Do đó phát biểu D đúng và B sai.

Câu 4 trang 77 SBT Toán 10 Tập 2: Cho phương trình tham số của đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{c}x=5+t\\ y=-9-2t\end{array}\right.$

Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình tổng quát của (d)?

A. $2x+y-1=0$

B. $2x+3y+1=0$

C. $x+2y+2=0$

D. $x+2y-2=0$

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Xét đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{c}x=5+t\\ y=-9-2t\end{array}\right.$

Đường thẳng d đi qua M(5; – 9) có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$  (1; – 2) và vectơ pháp tuyến

$\overrightarrow{n}$(2; 1).

Phương trình tổng quát của đường thẳng d là: 2(x – 5) + 1(y + 9) = 0 ⇔ 2x + y – 1 = 0.

Câu 5 trang 77 SBT Toán 10 Tập 2: Đường thẳng đi qua điểm M(1; 0) và song song với đường thẳng d: 4x + 2y + 1 = 0 có phương trình tổng quát là:

A. 4x + 2y + 3 = 0;

B. 2x + y + 4 = 0;

C. 2x + y – 2 = 0;

D. x – 2y + 3 = 0.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Gọi đường thẳng ∆ đi qua M(1; 0) và song song với đường thẳng d: 4x + 2y + 1 = 0 có phương trình tổng quát là 4x + 2y + c = 0 (c ≠ 1).

Vì M  ∆ nên ta có: 4.1 + 2.0 + c = 0 ⇔ c = – 4 (thỏa mãn).

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: 4x + 2y – 4 = 0 ⇔ 2x + y – 2 = 0.

Câu 6 trang 77 SBT Toán 10 Tập 2: Bán kính của đường tròn tâm I(0; – 2) và tiếp xúc với đường thẳng $\Delta :3x-4y-23=0$ là:

A. 15;

B. 5;

C. $\frac{3}{5}$ ;

D. 3.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Đường tròn tâm I(0; – 2) và tiếp xúc với đường thẳng ∆: 3x – 4y – 23 = 0 có bán kính R = d_{(I, ∆)} = $\frac{\left|3.0-4.(-2)-23\right|}{\sqrt{3^2+{(-4)}^2}}=3$ .

Vậy bán kính đường tròn cần tìm là 3.

Câu 7 trang 77 SBT Toán 10 Tập 2: Cho đường tròn (C): x² + y² + 2x + 4y – 20 = 0. Trong các mệnh đề sau đây, phát biểu nào sai?

A. (C) có tâm I(1; 2);

B. (C) có bán kính R = 5;

C. (C) đi qua điểm M(2; 2);

D. (C) không đi qua điểm A(1; 1).

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Đường tròn (C): x² + y² + 2x + 4y – 20 = 0 có a = – 1; b = – 2; c = – 20

Suy ra đường tròn (C) có tâm I(– 1; – 2); bán kính R = $\sqrt{{(-1)}^2+{(-2)}^2+20}=5$ .

Phát biểu A sai, phát biểu B đúng.

Thay điểm M(2; 2) vào phương trình đường tròn (C) ta có: 2² + 2² + 2.2 + 4.2 – 20 = 0 thoả mãn phương trình đường tròn. Suy ra (C) đi qua điểm M

Phát biểu C đúng.

Thay điểm A(1; 1) vào phương trình đường tròn (C) ta có: 1² + 1² + 2.1 + 4.1 – 20 = – 12 ≠ 0 không thoả mãn phương trình đường tròn. Suy ra (C) không đi qua điểm A

Phát biểu D đúng.

Vậy đáp án đúng là A.

Giải SBT Toán 10 trang 78 Tập 2

Câu 8 trang 78 SBT Toán 10 Tập 2: Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(3; 4) với đường tròn (C): $x^2+y^2-2x-4y-3=0$là:

A. $x+y-7=0$ ;

B. $x+y+7=0$ ;

C. $x-y-7=0$ ;

D. $x+y-3=0$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có 3² + 4² – 2.3 – 44 – 3 = 0 nên điểm M thuộc đường tròn (C)

Đường tròn (C) có tâm I(1; 2)

Phương trình tiếp tuyến của d với (C) tại điểm M(3; 4)

(1 – 3)(x – 3) + (2 – 4)(y – 4) = 0

⇔ – 2x – 2y + 14 = 0

⇔ x + y – 7 = 0.

Câu 9 trang 78 SBT Toán 10 Tập 2: Phương trình chính tắc của elip có hai đỉnh là (–3; 0); (3; 0) và hai tiêu điểm là (–1; 0); (1; 0) là:

A. $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{1}=1$

B. $\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{9}=1$

C. $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1$

D. $\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{9}=1$

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có a = 3; c = 1 suy ra b = a² – c² = 3² – 1² = 8.

Phương trình chính tắc của Elip là: $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1$ .

Câu 10 trang 78 SBT Toán 10 Tập 2: Phương trình chính tắc của hypebol có hai đỉnh là (– 4; 0); (4; 0) và hai tiêu điểm là (– 5; 0); (5; 0) là:

A. $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{25}=1$

B. $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$

C. $\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{9}=1$

D. $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1$

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có a = 4; c = 5 suy ra  $b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$

Vậy phương trình chính tắc của Hypebol là:  $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$

Câu 11 trang 78 SBT Toán 10 Tập 2: Phương trình chính tắc của parabol có tiêu điểm (2; 0) là:

A. y² = 8x;

B. y² = 4x;

C. y² = 2x;

D. y = 2x².

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có tiêu điểm $F\left(\frac{p}{2};0\right)$  suy ra p = 4

Vậy phương trình chính tắc của parabol là: y² = 8x.

Câu 12 trang 78 SBT Toán 10 Tập 2: Elip với độ dài hai trục là 20 và 12 có phương trình chính tắc là:

A. $\frac{x^2}{40}+\frac{y^2}{12}=1$

B. $\frac{x^2}{1600}+\frac{y^2}{144}=1$

C. $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{36}=1$

D. $\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{36}=1$

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Elip có độ dài hai trục lần lượt là:

Trục lớn 2a = 20 ⇒ a = 10;

Trục bé 2b = 12 ⇒ b = 6.

Vậy phương trình chính tắc của Elip là:  $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{36}=1$

Bài 1 trang 78 SBT Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A(2; 2); B(1; 3); C(– 1; 1).

a) Chứng minh OABC là một hình chữ nhật;

b) Tìm toạ độ tâm I của hình chữ nhật OABC.

Lời giải:

a) Ta có $\overrightarrow{OA}=(2;2);\overrightarrow{CB}=(2;2),\overrightarrow{OA}=(-1;1)$ .

$\Rightarrow \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{CB}$ nên hai vectơ cùng phương hay OA song song với BC và OA = BC = $\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$ .

Do đó tứ giác OABC là hình bình hành.

Ta có  $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OC}=2.(-1)+2.1=0$ $\Rightarrow \overrightarrow{OA}\perp \overrightarrow{OC}$ hay OA $\perp$  OC

Tứ giác OABC là hình bình hành và có 1 góc vuông nên tứ giác OABC là hình chữ nhật.

b) Tâm I(x; y) của hình chữ nhật OABC là trung điểm của OB

Ta có  $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{x_O+x_B}{2}=\frac{0+1}{2}=\frac{1}{2}\\ y=\frac{y_O+y_B}{2}=\frac{0+3}{2}=\frac{3}{2}\end{array}\right.$

Vậy  $I\left(\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right)$.

Bài 2 trang 78 SBT Toán 10 Tập 2: Tìm góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂.

a) $d_1:5x-9y+2019=0$ và  $d_2:9x+5y+2020=0$ ;

b) $d_1:\left\{\begin{array}{c}x=9+9t\\ y=7+18t\end{array}\right.$ và  $d_2:4x-l2y+13=0$ ;

c)  $d_1:\left\{\begin{array}{c}x=11-5t\\ y=13+9t\end{array}\right.$và $d_2:\left\{\begin{array}{c}x=13+10t\text{'}\\ y=11-18t\text{'}\end{array}\right.$ .

Lời giải:

a) $d_1:5x-9y+2019=0$ và $d_2:9x+5y+2020=0$

Hai đường thẳng d₁ và d₂ có các vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_1}$  = (5; – 9); $\overrightarrow{n_2}$ = (9; 5)

Ta có $\overrightarrow{n_1}$ . $\overrightarrow{n_2}$ = 5.9 + (– 9).5 = 0  $\Rightarrow \overrightarrow{n_1}\perp \overrightarrow{n_2}$

Vậy (d₁, d₂) = 90^o.

b)  $d_1:\left\{\begin{array}{c}x=9+9t\\ y=7+18t\end{array}\right.$và $d_2:4x-l2y+13=0$ ;

Hai đường thẳng d₁ và d₂ có các vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_1}$  = (2; - 1); $\overrightarrow{n_2}$ = (1; -3)

Ta có  ${\text{cos(d}}_1,d_2)=\frac{\left|2.1+(-1).(-3)\right|}{\sqrt{2^2+{(-1)}^2}.\sqrt{1^2+{(-3)}^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Vậy (d₁, d₂) = 45^o

c) Ta có:

Đường thẳng $d_1:\left\{\begin{array}{c}x=11-5t\\ y=13+9t\end{array}\right.$  có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_1}=\left(-5;9\right)$  nên vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_1}$  = (9; 5);

Đường thẳng $d_2:\left\{\begin{array}{c}x=13+10t\text{'}\\ y=11-18t\text{'}\end{array}\right.$  có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_2}=\left(10;-18\right)=2\left(5;-9\right)$  nên vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_2}$ = (9; 5)

Khi đó: ${\text{cos(d}}_1,d_2)=\frac{\left|9.9+5.5\right|}{\sqrt{9^2+5^2}.\sqrt{9^2+5^2}}=1$ .

Vì vậy (d₁, d₂) = 0^o.

Giải SBT Toán 10 trang 79 Tập 2

Bài 3 trang 79 SBT Toán 10 Tập 2: Cho tam giác ABC với toạ độ ba đỉnh là A(1; 1); B(3; l); C(1; 3). Tính độ dài đường cao AH.

Lời giải:

Ta có phương trình đường thẳng BC đi qua điểm B(3; 1) có vectơ chỉ phương là vectơ $\overrightarrow{BC}=(-2;2)$ và có vectơ pháp tuyến là vectơ $\overrightarrow{n}$  (1; 1)

Phương trình tổng quát của BC là: (x – 3) + (y – 1) = 0 ⇔ x + y – 4 = 0.

Đường cao AH đi qua điểm A(1; 1) có véc tơ pháp tuyến là vectơ $\overrightarrow{BC}$  (– 2; 2) có phương trình là: – 2(x – 1) + 2(y – 1) = 0 ⇔ – x + y = 0.

Toạ độ điểm H là giao điểm của đường thẳng AH và đường thẳng BC ta có hệ

$\left\{\begin{array}{l}x+y-4=0\\ -x+y=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=2\end{array}\right.$.

Suy ra toạ độ điểm H(2; 2)

Ta có AH = $\sqrt{{(x_H-x_A)}^2+{(y_H-y_A)}^2}$  = $\sqrt{{(2-1)}^2+{(2-1)}^2}=\sqrt{2}$ .

Vậy độ dài đường cao AH là $\sqrt{2}$ .

Bài 4 trang 79 SBT Toán 10 Tập 2: Tính bán kính của đường tròn tâm J(1; 0) và tiếp xúc với đường thẳng $d:8x-6y+22=0$

Lời giải:

Bán kính của đường tròn tâm J(1; 0) và tiếp xúc với đường thẳng d: 8x – 6y + 22 = 0 là R = d_{(J, d)} = $\frac{\left|8.1-6.0+22\right|}{\sqrt{8^2+{(-6)}^2}}=3$ .

Vậy bán kính của đường tròn đã cho là 3.

Bài 5 trang 79 SBT Toán 10 Tập 2: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:

$\Delta :ax+by+c=0$ và $\Delta \text{'}:ax+by+d=0$  (biết ∆ // ∆’).

Lời giải:

Lấy điểm M(0; $\frac{-c}{b}$ ) ∈ ∆. Vì ∆ // ∆’ nên M ∉ ∆’.

Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng ∆ và ∆’ bằng khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆’ và bằng:

d_{(∆, ∆’)} = d_(M,∆’) $=\frac{\left|a.0+b.\frac{-c}{b}+d\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{\left|d-c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$.

Bài 6 trang 79 SBT Toán 10 Tập 2: Tìm tâm và bán kính của các đường tròn có phương trình:

a) (x + 1)² + (y + 2)² = 225;

b) x² + (y – 7)² = 5;

c) x² + y² – 10x – 24y = 0.

Lời giải:

a) (x + 1)² + (y + 2)² = 225 ⇔ (x + 1)² + (y + 2)² = 15²

Vì vậy đường tròn có tâm I(– 1; – 2), bán kính R = 15.

b) x² + (y – 7)² = 5 ⇔ x² + (y – 7)² =${\left(\sqrt{5}\right)}^2$

Vì vậy đường tròn có tâm I(0; 7), bán kính R = $\sqrt{5}$ .

c) x² + y² – 10x – 24y = 0 ⇔ x² + y² – 2.5x – 2.12.y = 0

Phương trình đường tròn có dạng x² + y² – 2ax – 2by + c = 0 với a = 5; b = 12; c = 0

Ta có R² = a² + b² – c = 25 + 144 – 0 = 169 ⇒ R = $\sqrt{169}=13$ .

Vậy đường tròn có tâm I(5; 12) bán kính R = 13.

Bài 7 trang 79 SBT Toán 10 Tập 2: Lập phương trình đường tròn trong các trường hợp sau:

a) Có tâm I(2; 2) và bán kính bằng 7;

b) Có tâm J( 0; -3) và đi qua điểm M(-2; -7);

c) Đi qua hai điểm A(2; 2); B(6; 2) và có tâm nằm trên đường thẳng x - y = 0;

d) Đi qua gốc toạ độ và cắt hai trục toạ độ tại các điểm có hoành độ là 8; tung độ là 6.

Lời giải:

a) Đường tròn tâm I(2; 2) và bán kính bằng 7 có phương trình:

(x – 2)² + (y – 2)² = 49.

Vậy phương trình đường tròn là (x – 2)² + (y – 2)² = 49.

b) Đường tròn tâm J(0; - 3) đi qua điểm M(- 2; - 7) có bán kính R = JM

Ta có JM = $\sqrt{{(x_M-x_J)}^2+{(y_M-y_J)}^2}$  =  $\sqrt{{\left(-2-0\right)}^2+{\left(-7+3\right)}^2}=2\sqrt{5}$

Đường tròn tâm J(0; - 3) bán kính R = $2\sqrt{5}$  có phương trình là

(x – 0)² + (y + 3)² = 20 $\iff$  x² + (y + 3)² = 20

c) Gọi tâm I(a; b) vì tâm I thuộc đường thẳng x – y = 0 nên ta có a – b = 0 $\iff$  a = b

Vậy tâm I(a; a)

Đường tròn đi qua hai điểm A(2; 2); B(6; 2) nên ta có AI² = BI²

$\iff$ (a – 2)² + (a – 2)² = (a – 6)² + (a – 2)²

$\iff$ a² – 4a + 4 = a² – 12a + 36

$\iff$ 8a = 32

$\iff$ a = 4

Vậy tâm I(4; 4)

Ta có bán kính R = IA =  $\sqrt{{(4-2)}^2+{(4-2)}^2}=2\sqrt{2}$

Phương trình đường tròn tâm I(4; 4) bán kính R = $2\sqrt{2}$ có phương trình

(x – 4)² +(y – 4)² = 8

d) Phương trình đường tròn đi qua O(0; 0); A(8; 0); B(0; 6)

Gọi tâm I(a; b)

Vì đường tròn đi qua 3 điểm O, A, B nên ta có  $\left\{\begin{array}{l}O{I}^2=A{I}^2\\ O{I}^2=B{I}^2\end{array}\right.$

 $$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}{a}^2+b^2= {(a-8)}^2+b^2\\ a^2+b^2=a^2+ {(b-6)}^2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}{a}^2+b^2=a^2-16a+64+b^2\\ a^2+b^2=a^2+b^2-12b+36\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}16a=64\\ 12b=36\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=4\\ b=3\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy tâm I(4; 3)

Bán kính R = OI =  $\sqrt{4^2+3^2}=5$

Phương trình đường tròn tâm I(4; 3) bán kính R = 5 có phương trình

(x – 4)² +(y – 3)² = 25

Bài 8 trang 79 SBT Toán 10 Tập 2: Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn  tại điểm A(4; 5).

Lời giải:

Ta thay toạ độ điểm A vào phương trình đường tròn (C):  (4 – 1)² + (5 – 1)² = 25. Suy ra A thuộc đường tròn (C)

Đường tròn (C) có tâm I(1; 1)

Phương trình tiếp tuyến tại của đường tròn (C) tại A là

(1 – 4)(x – 4) + (1 – 5)(x – 5) = 0 ⇔ – 3x – 4y + 32 = 0.

Bài 9 trang 79 SBT Toán 10 Tập 2: Gọi tên các đường conic sau:

Lời giải:

a) Hình vẽ đã cho biểu diễn đường Elip.

b) Hình vẽ đã cho biểu diễn đường Parabol.

c) Hình vẽ đã cho biểu diễn đường Hypebol.

Bài 10 trang 79 SBT Toán 10 Tập 2: Tìm tọa độ các tiêu điểm; toạ độ các đỉnh; độ dài trục lớn và trục nhỏ của các elip sau:

a) $\frac{x^2}{169}+\frac{y^2}{25}=1;$

b) $x^2+4y^2=1$

Lời giải:

a) $\frac{x^2}{169}+\frac{y^2}{25}=1\iff \frac{x^2}{{13}^2}+\frac{y^2}{5^2}=1$

Phương trình Elip có dạng  $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

Suy ra a = 13; b = 5 và c =  $\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{{13}^2-5^2}=12$

Tọa độ các đỉnh của Elip là: A₁(- 13; 0); A₂(13; 0); B₁(0; - 5); B₂(0; 5).

Tọa độ tiêu điểm của Elip là: F₁(- 12; 0); F₂(12; 0).

Độ dài trục lớn 2a = 26; độ dài trục nhỏ 2b = 10.

b) $x^2+4y^2=1$

 $\iff \frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{\frac{1}{4}}=1$

Phương trình Elip có dạng  $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

Vậy ta có a = 1; b = $\frac{1}{2}$   và c =  $\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{1^2-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Các đỉnh của Elip là: A₁(- 1; 0); A₂(1; 0);  $B_1\left(0;-\frac{1}{2}\right);B_2\left(0;\frac{1}{2}\right)$

Tiêu điểm của Elip là:  $F_1\left(-\frac{\sqrt{3}}{2};0\right);F_2\left(\frac{\sqrt{3}}{2};0\right)$

Độ dài trục lớn 2a = 2; độ dài trục nhỏ 2b = 1

Giải SBT Toán 10 trang 80 Tập 2

Bài 11 trang 80 SBT Toán 10 Tập 2: Viết phương trình chính tắc của elip thoả mãn các điều kiện sau:

a) Độ đài trục lớn 26; độ dài trục nhỏ 10;

b) Độ dài trục lớn 10; tiêu cự 6.

Lời giải:

a) Ta có 2a = 26 ⇒ a = 13; 2b = 10 ⇒ b = 5.

Suy ra phương trình chính tắc của Elip là: $\frac{x^2}{{13}^2}+\frac{y^2}{5^2}=1\iff \frac{x^2}{169}+\frac{y^2}{25}=1$ .

Vậy phương trình chính tắc của Elip là: $\frac{x^2}{169}+\frac{y^2}{25}=1$ .

b) Ta có 2a = 10 ⇒ a = 5; 2c = 6 ⇒ c = 3 và b =  $\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$

Suy ra phương trình chính tắc của Elip là: $\frac{x^2}{5^2}+\frac{y^2}{4^2}=1\iff \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ .

Vậyphương trình chính tắc của Elip là: $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ .

Bài 12 trang 80 SBT Toán 10 Tập 2: Tìm toạ độ các tiêu điểm; toạ độ các đỉnh; độ đài trục thực và trục ảo của các hypebol sau:

a) $\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{144}=1$ ;

b) $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$

Lời giải:

a)$\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{144}=1\iff \frac{x^2}{5^2}-\frac{y^2}{{12}^2}=1$

Suy ra a = 5; b = 12 và $c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{5^2+{12}^2}=13$ .

Toạ độ các đỉnh A₁(- 5; 0); A₂(5; 0)

Tiêu điểm F₁(- 13; 0); F₂(13; 0)

Độ dài trục thực 2a = 10; độ dài trục ảo 2b = 24.

b)$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1\iff \frac{x^2}{4^2}-\frac{y^2}{3^2}=1$

Suy ra a = 4; b = 3 và  $c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$

Khi đó:

Toạ độ các đỉnh A₁(- 4; 0); A₂(4; 0);

Tiêu điểm F₁(- 5; 0); F₂(5; 0).

Độ dài trục thực 2a = 8; độ dài trục ảo 2b = 6.

Bài 13 trang 80 SBT Toán 10 Tập 2: Viết phương trình chính tắc của hypebol thoả mãn các điều kiện sau:

a) Đỉnh (-6; 0) và (6; 0); tiêu điểm (-10; 0) và (10; 0);

b) Độ dài trục thực là 10; độ dài trục ảo là 20.

Lời giải:

a) Ta có các đỉnh A₁(- 6; 0); A₂(6; 0) $\Rightarrow$  a = 6

Các tiêu điểm F₁(- 10; 0); F₂(10; 0) $\Rightarrow$  c = 10

$\Rightarrow$ b =  $\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{{10}^2-6^2}=8$

Khi đó phương trình chính tắc của Hypebol là: $\frac{x^2}{6^2}-\frac{y^2}{8^2}=1\iff \frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{64}=1$ .

Vậy phương trình chính tắc của Hypebol là: $\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{64}=1$ .

b) Ta có:

Độ dài trục thực 2a = 10 $\Rightarrow$  a = 5;

Độ dài trục ảo 2b = 20 $\Rightarrow$  b = 10.

Khi đó phương trình chính tắc của Hypebol là: $\frac{x^2}{5^2}-\frac{y^2}{{10}^2}=1\iff \frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{100}=1$ .

Vậy phương trình chính tắc của Hypebol là: $\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{100}=1$ .

Bài 14 trang 80 SBT Toán 10 Tập 2: Tìm toạ độ tiêu điểm, phương trình đường chuẩn của các parabol sau:

a) y² = 4x;

b) y² = 2x;

c) y² = – 6x.

Lời giải:

a) Xét parabol y² = 4x

Ta có 2p = 4 ⇔ p = 2 suy ra tiêu điểm F(1; 0) và đường chuẩn ∆: x + 1 = 0.

b) Xét parabol y² = 2x

Ta có 2p = 2 ⇔ p = 1 suy ra tiêu điểm $F\left(\frac{1}{2};0\right)$  và đường chuẩn ∆: $x+\frac{1}{2}=0$ .

c) Xét parabol y² = – 6x

Ta có 2p = – 6 ⇔ p = – 3 suy ra tiêu điểm $F\left(-\frac{3}{2};0\right)$  và đường chuẩn ∆: $x-\frac{3}{2}=0$ .

Bài 15 trang 80 SBT Toán 10 Tập 2: Viết phương trình chính tắc của parabol thoả mãn các điều kiện:

a) Tiêu điểm (8; 0);

b) Khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn bằng 4.

Lời giải:

a) Ta có tiêu điểm F(8; 0) nên $\frac{p}{2}=8$  ⇒ p = 16

Vì vậy phương trình chính tắc của Parabol: y² = 32x.

b) Ta có khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn bằng 4 nên p = 4

Vì vậy phương trình chính tắc của Parabol: y² = 8x.

Bài 16 trang 80 SBT Toán 10 Tập 2: Một nhà mái vòm có mặt cắt hình nửa elip cao 6 m rộng l6 m.

a) Hãy chọn hệ toạ độ thích hợp và viết phương trình của elip nói trên;

b) Tính khoảng cách thẳng đứng từ một điểm cách chân vách 4 m lên đến mái vòm.

Lời giải:

a) Giả sử mái nhà vòm có dạng như hình vẽ, ta có:

2a = 16 $\Rightarrow$  a = 8 và b = 6

Phương trình chính tắc của Elip là: $\frac{x^2}{8^2}+\frac{y^2}{6^2}=1\iff \frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{36}=1$ .

b) Gọi điểm A là điểm có khoảng cách 4m từ chân vách nên OA = 8 – 4 = 4 m. Từ điểm A dõng lên cắt mái vòm tại B khi đó B(4; y).

Suy ra độ dài AB là khoảng cách từ chân vách đến mái vòm và bằng y.

Vì B thuộc Elip nên ta có $\frac{4^2}{64}+\frac{y^2}{36}=1\iff y=\sqrt{36\left(1-\frac{4^2}{64}\right)}=3\sqrt{3}$ .

Vậy khoảng cách từ điểm cách chân vách 4m lên đến mái vòm là $3\sqrt{3}$  ≈ 5,2 m.

Bài 17 trang 80 SBT Toán 10 Tập 2: Cho biết Mặt Trăng chuyển động quanh Trái Đất theo quỹ đạo là elip (E) với Trái Đất là một tiêu điểm. Cho biết độ dài hai trục của (E) là 768800 km và 767619 km. Viết phương trình chính tắc của elip (E).

Lời giải:

Ta có:

2a = 768800 $\Rightarrow$  a = 384400;

2b = 767619 $\Rightarrow$  b = $\frac{767619}{2}$ .

Khi đó phương trình chính tắc của Elip là: $\frac{x^2}{{384400}^2}+\frac{4y^2}{{767619}^2}=1$ .

Bài 18 trang 80 SBT Toán 10 Tập 2: Gương phản chiếu của một đèn pha có mặt cắt là một parabol (P) với tim bóng đèn đặt ở tiêu điểm F. Chiều rộng giữa hai mép gương là 50 cm; chiều sâu của gương là 40 cm. Viết phương trình chính tắc của (P).

Lời giải:

Ta có OD = 40 cm; AB = 50 cm

Gọi phương trình chính tắc của parabol là y² = 2px

Dựa vào hình vẽ ta có khi x = 40 thì y = 25

$\Rightarrow$ 25² = 2.p.40 $\Rightarrow$  p =  $\frac{125}{16}$

Phương trình chính tắc của parabol là: y² = $\frac{125}{8}$ x.

Bài 19 trang 80 SBT Toán 10 Tập 2:  Màn hình của rađa tại trạm điều khiển không lưu được thiết lập hệ toạ độ Oxy với vị trí trạm có toạ độ O(0; 0) và rađa có bán kính hoạt động là 600 km. Một máy bay khởi hành tử sân bay lúc 8 giờ. Cho biết sau t giờ máy bay có toạ độ: $\left\{\begin{array}{c}x=l+180t\\ y=1-180t\end{array}\right.$ .

a) Tìm toạ độ máy bay lúc 9 giờ;

b) Tính khoảng cách giữa máy bay và trạm điều khiển không lưu;

c) Lúc mây giờ máy bay ra khỏi tầm hoạt động của rađa?

Lời giải:

a) Máy bay khởi hành lúc 8 giờ vậy lúc 9 giờ máy bay bay được 1 giờ hay t = 1 nên toạ độ của máy báy là:

 $\left\{\begin{array}{l}x=1+180\\ y=1-180\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=181\\ y=-179\end{array}\right.$

Vậy toạ độ máy bay lúc 9 giờ là: A(181; – 179).

b) Khoảng cách giữa máy bay và trạm không điều khiển bằng OA

Ta có OA = $\sqrt{{(x_A-x_O)}^2+{(y_A-y_O)}^2}=\sqrt{{(181-0)}^2+{(-179-0)}^2}=\sqrt{64802}$  $\approx$  255 km.

Vậy khoảng cách giữa máy bay và trạm không điều khiển khoảng 255 km.

c) Sau t giờ máy bay có toạ độ:$\left\{\begin{array}{c}x=l+180t\\ y=1-180t\end{array}\right.$

Hay toạ độ máy bay sau t giờ là: B(1 + 180t; 1 – 180t).

Để máy bay ra khỏi tầm hoạt động của rađa thì OB > 600 km ⇔ OB² > 600²

Ta có OB² =  (x_B – x_O)² + (y_B – y_O)² = (1 + 180t)² + (1 – 180t)² > 600²

⇔ 32400t² + 360t +1 + 32400t² – 360t +1 > 600²

⇔ 64800t² – 359998 > 0

⇒ |t| > 2,36

Mà t > 0 nên t > 2,36

Ta lại có 2,36 giờ ≈ 2 giờ 22 phút.

Vậy lúc khoảng 10 giờ 22 phút trở đi máy bay ra khỏi tầm hoạt động của rađa.

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo với cuộc sống hay, chi tiết khác: 

Bài 3: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Bài 4: Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ

Bài 1: Không gian mẫu và biến cố

Bài 2: Xác suất của biến cố

Bài tập cuối chương 10