Lý thuyết Phép nhân và phép chia đa thức một biến – Toán lớp 7 Chân trời sáng tạo

A. Lý thuyết Toán 7 Bài 4: Phép nhân và phép chia đa thức một biến - Chân trời sáng tạo

1. Phép nhân đa thức một biến

Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi đơn thức của đa thức này với từng đơn thức của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.

Ví dụ 1: Thực hiện phép nhân:

a) 3x. (2x² – 4x + 5);

b) (2x + 3). (x + 1).

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: 3x. (2x² – 4x + 5) = 3x. 2x² + 3x. (–4x) + 3x. 5

= 6x³ – 12x + 15x;

b) Ta có: (2x + 3). (x + 1) = 2x. (x + 1) + 3. (x + 1)

= 2x. x + 2x. 1 + 3. x + 3. 1

= 2x² + 2x + 3x + 3

= 2x² + (2x + 3x) + 3

= 2x² + 5x + 3.

2. Phép chia đa thức một biến

Trường hợp 1: Chia đa thức cho đa thức (chia hết)

Cho hai đa thức P và Q (với Q ≠ 0). Ta nói đa thức P chia hết cho đa thức Q nếu có đa thức M sao cho P = Q. M.

Ta gọi P là đa thức bị chia, Q là đa thức chia và M là đa thức thương (gọi tắt là thương).

Kí hiệu M = P : Q hoặc M = $\frac{P}{Q}$.

Ví dụ: Thực hiện phép chia 6x⁶− 8x⁵ + 10x⁴ cho 2x³.

Hướng dẫn giải:

Ta có: (6x⁶ − 8x⁵ + 10x⁴): 2x³

= (6x⁶ : 2x³) – (8x⁵: 2x³) + (10x⁴ : 2x³)

= 3x³ − 4x² + 5x.

Chú ý: Để thực hiện phép chia đa thức, người ta thường viết các đa thức đó thành đa thức thu gọn và sắp xếp các đơn thức theo lũy thừa giảm dần rồi thực hiện phép chia.

Trường hợp 2: Chia đa thức cho đa thức (phép chia có dư)

Khi chia đa thức A cho đa thức B với thương là Q, dư là R thì A = B. Q + R, trong đó bậc của R nhỏ hơn bậc của B.

Ví dụ: Thực hiện phép chia: P(x) = 3x² − 5x + 2 cho Q(x) = x – 2.

Hướng dẫn giải: Thực hiện phép chia, ta được:

Do đó phép chia đa thức P(x) cho Q(x) là phép chia có dư với số dư là 4.

Vậy 3x² − 5x + 2= (x – 2). (3x + 1) + 4.

3. Tính chất của phép nhân đa thức một biến

Tính chất: Cho A, B, C là các đa thức một biến với cùng một biến số.

-Tính chất giao hoán: A. B = B. A;

-Tính chất kết hợp: A. (B. C) = (A. B). C.

Ví dụ: Thực hiện phép tính: 6. (x² – 2).$\frac{1}{2}$;

Hướng dẫn giải:

Ta có: 6. (x² – 2).$\frac{1}{2}$= 6. $\left((x^2-2).\frac{1}{2}\right)=\left(6.\frac{1}{2}\right).(x^2-2)$

= 3. (x² – 2) = 3x² – 6.

Bài tập Phép nhân và phép chia đa thức một biến

Bài 1. Thực hiện phép nhân

a) (4x – 3)(x + 2);

b) (5x + 2)(–x² + 3x +1);

c) (2x² – 7x + 4)(–3x² + 6x + 5).

Hướng dẫn giải:

a) (4x – 3)(x + 2) = 4x(x + 2) – 3(x + 2)

= 4x² + 8x – 3x – 6 = 4x² + 5x – 6;

b) (5x + 2)(–x² + 3x +1)

= 5x(–x² + 3x +1) + 2(–x² + 3x +1)

= –5x³ + 15x² + 5x – 2x² + 6x + 2

= –5x³ + (15x²– 2x²) + (5x + 6x) + 2

= –5x³ + 13x² + 11x + 2.

c) (2x² – 7x + 4)(–3x² + 6x + 5)

= 2x²(–3x² + 6x + 5) – 7x(–3x² + 6x + 5) + 4(–3x² + 6x + 5)

= –6x⁴ + 12x³ + 10x² + 21x³ – 42x² – 35x – 12x² + 24x + 20

= –6x⁴ + (12x³ + 21x³) + (10x² – 42x² – 12x²) + (– 35x + 24x) + 20

= –6x⁴ + 33x³ – 44x² – 11x + 20.

Bài 2: Thực hiện phép chia:

a) (8x⁶ − 4x⁵ + 12x⁴ – 20x³): 4x³;

b) (2x² − 5x + 3): (2x – 3).

Hướng dẫn giải:

a) (8x⁶ − 4x⁵ + 12x⁴ – 20x³) : 4x³

= (8x⁶ : 4x³) – (4x⁵ : 2x³) + (12x⁴ : 4x³) – (20x³ : 4x³)

= 2x³ − 2x² + 3x – 5;

b) Ta có:

Vậy (2x²− 5x + 3) = (2x – 3)$\left(x-\frac{1}{2}\right)$ + 2.

Bài 3. Rút gọn biểu thức bằng cách nhanh nhất:

a) 5. (x² + 3).$\frac{2}{5}$;

b) (x – 2).(2x³ – x² + 1) + (x – 2)x²(1 – 2x).

Hướng dẫn giải:

a) 5. (x²+ 3). $\frac{2}{5}$= $\left(5.\frac{2}{5}\right)$. (x²+ 3)

=2. (x²+ 3) = 2x² + 6

b) (x – 2)(2x³ – x² + 1) + (x – 2)x²(1 – 2x)

= (x – 2)(2x³ – x² + 1) + (x – 2)(x².1 – x².2x)

= (x – 2)(2x³ – x² + 1) + (x – 2)(x² – 2x³)

= (x – 2)(2x³ – x² + 1 + x² – 2x³)

= (x – 2).1

= (x – 2).

Bài 4:Không thực hiện phép chia, hãy xét xem đa thức A có chia hết cho đa thức B hay không?

a) A = 15x⁴ – 8x³ + x²; B = $\frac{1}{2}$x²;

b) A = x² – 2x + 1; B = x + 1.

Hướng dẫn giải:

a)Ta có: Vì 15x⁴; 8x³; x² đều chứa phần từ x² nên đều chia hết cho $\frac{1}{2}$x²

Do đó đa thức A chia hết cho B.

b) Ta có:

A = x² + 2x + 1

= x(x + 1) + (x + 1)

= (x + 1)(x + 1)

= (x + 1)²

Vì (x + 1)² chứa phần tử (x + 1) nên chia hết cho (x + 1)

Do đó đa thức A chia hết cho B.

B. Trắc nghiệm Phép nhân và phép chia đa thức một biến (Chân trời sáng tạo 2023) có đáp án

Câu 1. Kết quả của phép nhân (5x − 2)(2x + 1) là đa thức nào trong các đa thức sau?

A. 10x² − 3x − 2;

B. 10x² − x + 4;

C. 10x² + x − 2;

D. 10x² − x − 2.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: (5x − 2)(2x + 1)

= 5x . (2x + 1) + (−2) . (2x + 1)

= 10x² + 5x − 4x − 2 = 10x² + x – 2.

Câu 2. Kết quả của phép nhân (x + 2)(3x² + 4x − 1) là đa thức nào trong các đa thức sau?

A. 4x³ + 6x² + 7x − 2;

B. 3x³ + 10x² + 7x + 2;

C. 3x³ + 10x² + 7x − 2;

D. 2x³ + 10x² + 8x − 2.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: (x + 2)(3x² + 4x − 1)

= x . (3x² + 4x − 1) + 2 . (3x² + 4x − 1)

= 3x³ + 4x² − x + 6x² + 8x − 2

= 3x³ + (4x² + 6x²) + (8x − x) − 2

= 3x³ + 10x² + 7x – 2.

Câu 3. Kết quả của phép nhân (−2x² + 5x +3)(2x² − 3x − 1)là đa thức nào trong các đa thức sau?

A. 4x⁴ + 16x³ − 7x² − 14x − 3;

B. −4x⁴ + 16x³ − 7x² − 4x − 3;

C. −4x⁴ + 16x³ − 7x² − 14x − 3;

D. −4x⁴ + 16x³ − 7x² − 14x + 3.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: (−2x² + 5x +3)(2x² − 3x − 1)

= ( −2x²) . (2x² − 3x − 1) + 5x . (2x² − 3x − 1) + 3 . (2x² − 3x − 1)

= −4x⁴ + 6x³ + 2x² + 10x³ − 15x² − 5x + 6x² − 9x − 3

= −4x⁴ + (6x³ + 10x³) + (2x² − 15x² + 6x²) + (−5x − 9x) − 3

= −4x⁴ + 16x³ − 7x² − 14x – 3.

Câu 4. Kết quả của phép nhân 2x . (3x³ + 7x − 9) là đa thức nào trong các đa thức sau?

A. 6x² + 14x − 18;

B. 6x³ + 14x² − 18x;

C. 6x³ + 14x² − 11x;

D. 5x³ + 9x² − 7x.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có: 2x . (3x³ + 7x − 9)

= 2x . (3x³) + 2x . (7x) + 2x . (−9)

= 6x³ + 14x² − 18x.

Câu 5. Kết quả của phép chia (3x⁵ − 6x³ + 9x²) : 3x²là đa thức nào trong các đa thức sau?

A. x³ − 3x + 3;

B. x³ − 2x² + 3x;

C. x³ − 2x² + 3;

D. x³ − 2x + 3.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có: (3x⁵ − 6x³ + 9x²) : 3x²

= (3x⁵ : 3x²) + (−6x³ : 3x²) + (9x² : 3x²)

= x³ − 2x + 3.

Vậy thương của phép chia đa thức trên bằng x³ − 2x + 3.

Câu 6. Phép chia đa thức (4x² + 5x − 6) cho đa thức (x + 2) được đa thức thương là:

A. 4x − 3;

B. 4;

C. 4x + 3;

D. 3x + 2.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Thực hiện phép tính chia, ta được:

Vậy thương của phép chia đa thức trên bằng 4x – 3.

Câu 7. Phép chia đa thức (6x³ + 5x + 3) cho đa thức (2x² + 1) được đa thức dư là:

A. 2x − 3;

B. 2x + 3;

C. x − 3;

D. 0.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Thực hiện phép tính chia, ta được:

Vậy đa thức dư của phép chia đa thức trên bằng 2x + 3.

Câu 8. Phép chia đa thức (12x³ + 12x² − 15x − 9) cho đa thức (2x + 1) được đa thức thương là:

A. 6x² + 3x − 9;

B. 6x² + 6x − 9;

C. 6x² + 3x + 9;

D. 6x² + 5x − 9.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Thực hiện phép tính chia, ta được:

Vậy đa thức thương của phép chia đa thức trên bằng 6x² + 3x – 9.

Câu 9. Tính giá trị của biểu thức sau: 12 . (8x² − 4) . $\frac{1}{6}$ :

A. 6;

B. 8x² − 4;

C. 96x² − 48;

D. 16x² − 8.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có: 12 . (8x² − 4) . $\frac{1}{6}$

= 12. $\frac{1}{6}$.(8x² - 4)

= 2(8x² − 4) = 16x² – 8.

Câu 10. Đa thức theo biến x biểu thị thể tích của hình hộp chữ nhật (như hình bên dưới) là:

A. 3x³ − x² − 22x + 24;

B. 3x² − 10x + 8;

C. x³ − x² − 30x +16;

D. 3x³ + 2x² − 26x + 12.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Thể tích của hình hộp chữ nhật bằng tích độ dài ba kích thước của hình hộp chữ nhật nên ta có:

V = (3x − 4)(x − 2)(x + 3)

= [3x(x − 2) + (−4)(x − 2)](x + 3)

= (3x² − 6x − 4x + 8)(x + 3)

= (3x² − 10x + 8)(x + 3)

= x(3x² − 10x + 8) + 3 . (3x² − 10x + 8)

= 3x³ − 10x² + 8x + 9x² − 30x + 24

= 3x³ − x² − 22x + 24

Vậy thể tích của hình hộp chữ nhật như hình vẽ trên được biểu thị bởi đa thức 3x³ − x² − 22x + 24.

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 7 sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Ôn tập Chương 6

Lý thuyết Bài 1: Biểu thức số, biểu thức đại số

Lý thuyết Bài 2: Đa thức một biến

Lý thuyết Bài 3: Phép cộng và phép trừ đa thức một biến

Lý thuyết Ôn tập Chương 7