Lý thuyết Định lí và chứng minh một định lí – Toán lớp 7 Chân trời sáng tạo

A. Lý thuyết Toán 7 Bài 4: Định lí và chứng minh một định lí - Chân trời sáng tạo

1. Khái niệm định lý

Định lý là một khẳng định được suy ra từ những khẳng định được coi là đúng.

Khi định lý được phát biểu dưới dạng “Nếu … thì …”, phần nằm giữa chữ “Nếu” và chữ “thì” là phần giả thiết (viết tắt là GT), phần nằm sau chữ “thì” là phần kết luận (viết tắt là KL).

Ví dụ: Định lý: “Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau ”

Định lý trên có thể viết dưới dạng :“Nếu hai góc $\widehat{O_1}$và $\widehat{O_2}$ đối đỉnh thì $\widehat{O_1}$ = $\widehat{O_2}$ ”

Phần giả thiết : hai góc $\widehat{O_1}$và $\widehat{O_2}$ đối đỉnh.

Phần kết luận : $\widehat{O_1}$ = $\widehat{O_2}$ .

2. Chứng minh định lý

Chứng minh định lý là dùng lập luận để từ giả thiết suy ra kết luận.

Ví dụ : Chứng minh định lý : “Nếu hai góc $\widehat{O_1}$ và $\widehat{O_2}$ đối đỉnh thì $\widehat{O_1}$ = $\widehat{O_2}$ ”

Để chứng tỏ định lý trên là đúng, ta lập luận như sau :

Do $\widehat{xOy}$ và $\widehat{zOt}$ là hai góc đối đỉnh nên Ot và Ox là hai tia đối nhau.

Suy ra $\widehat{xOz}$ và $\widehat{zOt}$ là hai góc kề bù nên :

$\widehat{xOz}+\widehat{zOt}={180}^0$ (1)

Tương tự, ta có : $\widehat{xOz}+\widehat{xOy}={180}^0$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{xOz}+\widehat{xOy}=\widehat{xOz}+\widehat{zOt}$.

Vậy $\widehat{xOy}=\widehat{zOt}$, tức là $\widehat{O_1}=\widehat{O_2}$.

Bài tập Định lí và chứng minh một định lí

Bài 1 : Vẽ hình, viết giả thiết, kết luận của định lý : “Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng còn lại ”.

Hướng dẫn giải

Bài 2 : Chứng minh định lý: “Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau”.

Hướng dẫn giải

Chứng minh

Ta có a ⊥ c suy ra $\widehat{A_1}={90}^0$ ; và b ⊥ c suy ra $\widehat{B_1}={90}^0$.

Suy ra $\widehat{A_1}=\widehat{B_1}$.

Mà hai góc $\widehat{A_1}$, $\widehat{B_1}$ là hai góc đồng vị.

Theo dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song suy ra a // b.

B. Trắc nghiệm Định lí và chứng minh một định lí (Chân trời sáng tạo 2023) có đáp án

I. Nhận biết

Câu 1. “Định lí” bao gồm các thành phần:

A. Giả thiết và định nghĩa;

B. Định nghĩa và kết luận;

C. Định nghĩa;

D. Giả thiết và kết luận.

Hướng dẫn giải

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Vì giả thiết của định lí là điều cho biết và kết luận của định lí là điều được suy ra.

Do đó một định lí bao gồm 2 thành phần là: giả thiết và kết luận.

Câu 2. Cho các phát biểu sau:

Khi định lí được phát biểu dưới dạng “ Nếu… thì…”

(I) Phần nằm giữa chữ “Nếu” và chữ “thì” là phần giả thiết.

(II) Phần nằm giữa chữ “Nếu” và chữ “thì” là phần lập luận.

(III) Phần nằm sau chữ “thì” là phần kết luận.

Chọn khẳng định đúng:

A. (I) và (II) đúng;

B. (II) và (III) đúng;

C. (I) và (III) đúng;

D. Cả 3 đều đúng.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Một định lí bao gồm phần giả thiết và kết luận. Giả thiết của định lí là điều cho biết và kết luận của định lí là điều được suy ra.

Do đó khi định lí được phát biểu dưới dạng “ Nếu… thì…”, phần nằm giữa chữ “Nếu” và chữ “thì” là phần giả thiết, phần nằm sau chữ “thì” là phần kết luận.

Nên (I) và (III) đúng còn (II) sai.

Câu 3. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Định lí là một suy luận được suy ra từ những lập luận được cho là đúng;

B. Định lí là một khẳng định được suy ra từ những khẳng định được cho là đúng;

C. Định lí là một lập luận được suy ra từ những khẳng định được cho là đúng;

D. Định lí là một giả thiết được suy ra từ những khẳng định được cho là đúng.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Định lí là một khẳng định được suy ra từ những khẳng định được cho là đúng, nên B đúng

Câu 4. Cho phát biểu: “Chứng minh định lí là dùng … để từ … suy ra …”.

Các cụm từ thích hợp điền vào chỗ trống lần lượt là:

A. Hình vẽ, giả thiết, kết luận;

B. Giả thiết, hình vẽ, kết luận;

C. Giả thiết, lập luận, kết luận;

D. Lập luận, giả thiết, kết luận.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Chứng minh định lí là dùng lập luận để từ giả thiết suy ra kết luận.

Do đó các cụm từ cần điền vào chỗ trống lần lượt là: lập luận, giả thiết, kết luận.

Câu 5. Trong các câu sau, câu nào không phải định lí

A. Nếu hai góc bằng nhau thì chúng đối đỉnh;

B. Nếu hai góc kề bù thì tổng số đo của chúng bằng 180°;

C. Nếu hai góc bù nhau thì tổng số đo của chúng bằng 180°;

D. Nếu hai góc đối đỉnh thì chúng bằng nhau.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Hai góc bù nhau là hai góc có tổng số đo bằng 180° nên C đúng.

Hai góc kề bù là hai góc vừa kề nhau, vừa bù nhau mà hai góc bù nhau là hai góc có tổng số đo bằng 180° nên B đúng.

Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau nên D đúng.

Hai góc bằng nhau chưa chắc đã đối đỉnh nên khẳng định này sai.

Chẳng hạn:

Ví dụ: $\widehat{\text{xOy}}=\widehat{\text{yOz}}$ (cùng bằng 25°) nhưng $\widehat{\text{xOy}},\widehat{\text{yOz}}$ là hai góc kề nhau, không phải là hai góc đối đỉnh.

Do đó phương án A không phải là một định lí nên A sai.

II. Thông hiểu

Câu 1. Cho định lí: “Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì hai góc so le trong bằng nhau, hai góc đồng vị bằng nhau”. Kết luận của định lí là

A. Hai góc so le trong bằng nhau;

B. Hai góc đồng vị bằng nhau;

C. Hai góc so le trong bằng nhau, hai góc đồng vị bằng nhau;

D. Cả 3 đều sai.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Khi định lí được phát biểu dưới dạng “ Nếu… thì…”, phần nằm giữa chữ “Nếu” và chữ “thì” là phần giả thiết, phần nằm sau chữ “thì” là phần kết luận.

“ Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì hai góc so le trong bằng nhau, hai góc đồng vị bằng nhau” là một định lí có:

+ Giả thiết: một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song;

+ Kết luận: hai góc so le trong bằng nhau, hai góc đồng vị bằng nhau.

Do đó C đúng, A và B sai.

Câu 2. Cho định lí: “Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau”. Giả thiết của định lí là

A. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba;

B. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba;

C. Chúng song song với nhau;

D. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Định lí “Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau” là một định lí có:

+ Giả thiết: hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba;

+ Kết luận: chúng song song với nhau.

Do đó A, C, D sai ; B đúng

Câu 3. Cho các khẳng định sau:

(1) Nếu hai đường thẳng song song thì không có điểm chung.

(2) Nếu hai đường thẳng cắt nhau thì vuông góc.

(3) Nếu hai đường thẳng có điểm chung thì cắt nhau.

(4) Nếu OA = OB thì O là trung điểm của AB.

Có bao nhiêu khẳng định là định lí?

A. 0;

B. 1;

C. 2;

D. 3.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

(1) Nếu hai đường thẳng song song thì không có điểm chung, đây là khẳng định đúng.

Do đó đây là một định lí.

(2) Nếu hai đường thẳng cắt nhau thì vuông góc, đây là khẳng định sai nên không phải là một định lí.

Vì hai đường thẳng cắt nhau nếu không tạo thành góc vuông thì hai đường thẳng đó không vuông góc với nhau.

(3) Nếu hai đường thẳng có điểm chung thì cắt nhau, đây là khẳng định sai nên không phải là một định lí.

Vì hai đường thẳng trùng nhau có vô số điểm chung.

(4) Nếu OA = OB thì O là trung điểm của AB, đây là khẳng định sai nên không phải là một định lí.

Vì nếu OA = OB mà 3 điểm O, A, B không thẳng hàng thì O không thể là trung điểm của AB.

Do đó chỉ có khẳng định (1) đúng nên có 1 định lí đúng.

Câu 4. Cho định lí: “Hai tia phân giác của hai góc kề bù thì tạo thành một góc vuông” được minh họa bởi hình vẽ dưới đây:

Kết luận của định lí là:

A. $\widehat{\text{xOu}}=90°$;

B. $\widehat{\text{yOz}}=90°$;

C. $\widehat{\text{tOu}}=90°$;

D. $\widehat{\text{zOt}}=90°$.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

“Hai tia phân giác của hai góc kề bù thì góc tạo thành một góc vuông” là định lí có:

+ Giả thiết: $\widehat{\text{xOy}}$ và $\widehat{\text{yOz}}$ là hai góc kề bù, Ot là tia phân giác của $\widehat{\text{xOy}}$, Ou là tia phân giác của $\widehat{\text{yOz}}$;

+ Kết luận: $\widehat{\text{tOu}}=90°.$

Câu 5. Phần giả thiết: c cắt a tại điểm E, c cắt b tại điểm F và ${\widehat{\text{E}}}_1={\widehat{\text{F}}}_1$ (như hình vẽ) là của định lí nào sau đây?

A. Nếu hai đường thẳng cắt một đường thẳng thứ ba tạo thành hai góc so le trong bằng nhau thì hai đường thẳng đó song song với nhau;

B. Nếu hai đường thẳng cắt một đường thẳng thứ ba tạo thành hai góc đồng vị  bằng nhau thì hai đường thẳng đó song song với nhau;

C. Nếu hai đường thẳng cắt một đường thẳng thứ ba tạo thành hai góc kề bù bằng nhau thì hai đường thẳng đó song song với nhau;

D. Nếu hai đường thẳng cắt một đường thẳng thứ ba tạo thành hai góc đối đỉnh bằng nhau thì hai đường thẳng đó song song với nhau.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Theo bài ta có: c cắt a tại điểm E, c cắt b tại điểm F và ${\widehat{\text{E}}}_1={\widehat{\text{F}}}_1.$

Mà ${\widehat{\text{E}}}_1$ và ${\widehat{\text{F}}}_1$ là hai góc ở vị trí đồng vị.

Nên định lí đúng là: “Nếu hai đường thẳng cắt một đường thẳng thứ ba tạo thành hai góc đồng vị  bằng nhau thì hai đường thẳng đó song song với nhau”.

Do đó B đúng.

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 7 sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 2: Tia phân giác

Lý thuyết Bài 3: Hai đường thẳng song song

Lý thuyết Ôn tập Chương 4

Lý thuyết Bài 1: Thu thập và phân loại dữ liệu

Lý thuyết Bài 2: Biểu đồ hình quạt tròn